系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型―微分方程與傳輸算子

不涉及任何數(shù)學(xué)變換，而直接在時(shí)間變量域內(nèi)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析，稱(chēng)為系統(tǒng)的時(shí)域分析。其方法有兩種：時(shí)域經(jīng)典法與時(shí)域卷積法。

時(shí)域經(jīng)典法就是直接求解系統(tǒng)微分方程的方法。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是直觀，物理概念清楚，缺點(diǎn)是求解過(guò)程冗繁，應(yīng)用上也有局限性。所以在20世紀(jì)50年代以前，人們普遍喜歡采用變換域分析方法(例如拉普拉斯變換法)，而較少采用時(shí)域經(jīng)典法。20世紀(jì)50年代以后，由于δ(t)函數(shù)及計(jì)算機(jī)的普遍應(yīng)用，時(shí)域卷積法得到了迅速發(fā)展，且不斷成熟和完善，已成為系統(tǒng)分析的重要方法之一。時(shí)域分析法是各種變換域分析法的基礎(chǔ)。

在本章中，首先建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——微分方程，然后用經(jīng)典法求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，用時(shí)域卷積法求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，再把零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)相加，即得系統(tǒng)的全響應(yīng)。其思路與程序是：

其次，將介紹：系統(tǒng)相當(dāng)于一個(gè)微分方程；系統(tǒng)相當(dāng)于一個(gè)傳輸算子H(p)；系統(tǒng)相當(dāng)于一個(gè)信號(hào)——沖激響應(yīng)h(t)。對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析，就是研究激勵(lì)信號(hào)f(t)與沖激響應(yīng)信號(hào)h(t)之間的關(guān)系，這種關(guān)系就是卷積積分。

2-1 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——微分方程與傳輸算子

研究系統(tǒng)，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——微分方程。建立電路系統(tǒng)微分方程的依據(jù)是電路的兩種約束：拓?fù)浼s束(KCL，KVL)與元件約束(元件的時(shí)域伏安關(guān)系)。為了使讀者容易理解和接受，我們采取從特殊到一般的方法來(lái)研究。

圖2-1(a)所示為一含有三個(gè)獨(dú)立動(dòng)態(tài)元件的雙網(wǎng)孔電路，其中 為激勵(lì)， ， 為響應(yīng)。對(duì)兩個(gè)網(wǎng)孔回路可列出KVL方程為

上兩式為含有兩個(gè)待求變量 ， 的聯(lián)立微分積分方程。

為了得到只含有一個(gè)變量的微分方程，

須引用微分算子 ，即

， ，…，

在引入了微分算子 后，上述微分方程即可寫(xiě)

即

(2-1)

根據(jù)式(2-1)可畫(huà)出算子形式的電路模型，如圖2-1(b)所示。將圖2-1(a)與(b)對(duì)照，

可很容易地根據(jù)圖2-1(a)畫(huà)出圖2-1(b)，即將L改寫(xiě)成Lp，將C改寫(xiě)成 ，

其余一切均不變。當(dāng)畫(huà)出了算子電路模型后，即可很容易地根據(jù)圖2-1(b)算子電路模型列寫(xiě)出式(2-1)。

給式(2-1)等號(hào)兩端同時(shí)左乘以p，即得聯(lián)立的微分方程，即

將已知數(shù)據(jù)代入上式，得

(2-2)

用行列式法從式(2-2)中可求得響應(yīng)i1(t)為

注意，在上式的演算過(guò)程中，消去了分子與分母中的公因子p。這是因?yàn)樗芯康碾娐肥侨A的，

因而電路的微分方程也應(yīng)是三階的。但應(yīng)注意，并不是在任何情況下分子與分母中的公因子都可消去。

有的情況可以消去，有的情況則不能消去，視具體情況而定。故有

即

即

上式即為待求變量為i1(t)的三階常系數(shù)線性非齊次常微分方程。

方程等號(hào)左端為響應(yīng)i1(t)及其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合，

等號(hào)右端為激勵(lì)f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合。

利用同樣的方法可求得i2(t)為

即

即

即

上式即為描述響應(yīng)i2(t)與激勵(lì)f(t)關(guān)系的微分方程。

推廣之，對(duì)于n階系統(tǒng)，若設(shè)y(t)為響應(yīng)變量， f(t)為激勵(lì)，如圖2-2所示，則系統(tǒng)微分方程的一般形式為

(2-3)

用微分算子 表示則為

或?qū)懗?/p>

又可寫(xiě)成

式中

稱(chēng)為系統(tǒng)或微分方程式(2-3)的特征多項(xiàng)式；

(2-4)

H(p)稱(chēng)為響應(yīng)y(t)對(duì)激勵(lì)f(t)的傳輸算子或轉(zhuǎn)移算子，它為p的兩個(gè)實(shí)系數(shù)有理多項(xiàng)式之比，

其分母即為微分方程的特征多項(xiàng)式D(p)。H(p)描述了系統(tǒng)本身的特性，與系統(tǒng)的激勵(lì)和響應(yīng)無(wú)關(guān)。

這里指出一點(diǎn)：字母p在本質(zhì)上是一個(gè)微分算子，但從數(shù)學(xué)形式的角度，以后可以人為地把它看成是

一個(gè)變量(一般是復(fù)數(shù))。這樣，傳輸算子H(p)就是p的兩個(gè)實(shí)系數(shù)有理多項(xiàng)式之比。

例2-1 圖2-3(a)所示電路。求響應(yīng)u1(t),u2(t)對(duì)激勵(lì) 的傳輸算子及u1(t),u2(t)分別對(duì)i(t)的微分方程。

解 其算子形式的電路如圖2-3(b)所示。對(duì)節(jié)點(diǎn)①，②列算子形式的KCL方程為

代入數(shù)據(jù)得

對(duì)上式各項(xiàng)同時(shí)左乘以p，并整理得

用行列式法聯(lián)解得

故得u1(t)對(duì)i(t)，u2(t)對(duì)i(t)的傳輸算子分別為

進(jìn)而得u1(t),u2(t)分別對(duì)i(t)的微分方程為

即

可見(jiàn)，對(duì)不同的響應(yīng)u1(t),u2(t)，其特征多項(xiàng)式 都是相同的，

這就是系統(tǒng)特征多項(xiàng)式的不變性與相同性。