FIR數(shù)字濾波器的FPGA實(shí)現(xiàn)研究
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根據(jù)單位脈沖響應(yīng)的不同，數(shù)字濾波器主要分為有限脈沖響應(yīng)(FIR)和無限脈沖響應(yīng)(IIR)2大類。在同樣的設(shè)計要求下，IIR方式計算工作量較小。但難以得到線性相位響應(yīng)，且系統(tǒng)不易穩(wěn)定；FIR方式的計算工作量稍大，但在設(shè)計任意幅頻特性時，能保證嚴(yán)格的線性相位特性；由于其實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)主要是非遞歸的，F(xiàn)lR濾波器可以穩(wěn)定工作。FIR數(shù)字濾波器是數(shù)字多普勒接收機(jī)的重要組成部分，因此，研究FIR數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)技術(shù)具有重要意義。隨著FPGA技術(shù)的不斷發(fā)展，F(xiàn)PGA逐漸成為信號處理的主流器件。而在FPGA中，數(shù)字濾波器不同的實(shí)現(xiàn)方法所消耗的FPGA資源是不同的，且對濾波器的性能影響也有較大差異。
1 FIR濾波器的原理及結(jié)構(gòu)
FIR濾波器存在N個抽頭的h(n)，N稱為濾波器的階數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：
式中，x(k)為第k時刻的采樣值，y(n)為濾波器輸出。h(k)為FIR濾波器的第k級抽頭系數(shù)。
通過對h(k)進(jìn)行Z變換得到FIR的傳遞函數(shù)H(Z)，其在Z域內(nèi)的形式如下：
因此，根據(jù)傳遞函數(shù)H(Z)和FIR濾波器系數(shù)的對稱性，可得FIR濾波器的一般實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)，如圖1所示。
從串行結(jié)構(gòu)中可以看出，F(xiàn)IR濾波過程就是一個信號逐級延遲的過程，將各級延遲輸出加權(quán)累加，得到濾波輸出，其中最主要的運(yùn)算是乘累加運(yùn)算。FIR每完成一次濾波過程需要進(jìn)行N次乘法和(N-1)次加法運(yùn)算，N為濾波器的階數(shù)。所以，濾波器的運(yùn)算量完全取決于N的大小，當(dāng)N很大時，延遲將非常長，無法實(shí)現(xiàn)高速信號處理。
根據(jù)FIR數(shù)字濾波器的對稱特性，可以先進(jìn)行加法運(yùn)算，然后對加法運(yùn)算的結(jié)果進(jìn)行串行乘累加運(yùn)算，從而得到改進(jìn)的串行結(jié)構(gòu)。與串行結(jié)構(gòu)相比，改進(jìn)的濾波器完成一次濾波的時鐘周期減半，乘累加次數(shù)減半，提高了處理速度，但同時要消耗更多的硬件資源。圖1(b)為Ⅳ位偶數(shù)時改進(jìn)的串行結(jié)構(gòu)。與串行結(jié)構(gòu)相似，濾波器的運(yùn)算量完全取決于N的大小，當(dāng)N很大時，延遲將非常長，無法實(shí)現(xiàn)高速信號處理。
將串行結(jié)構(gòu)展開，根據(jù)濾波器的信號流圖用多個乘法器和加法器并行實(shí)現(xiàn)，得到FIR濾波器的并行實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)，如圖1(c)所示。并行濾波器的濾波速度快，一個時鐘周期內(nèi)完成一次濾波，但消耗大量的FPGA資源，如乘累加器，且器件的延遲較大，工作頻率不宜太高。
FPGA具有規(guī)整的內(nèi)部邏輯陣列和豐富的連線資源，特別適合用于數(shù)字信號處理。但以前FPGA一般用于系統(tǒng)邏輯或時序控制，很少應(yīng)用在信號處理方面。其原因主要是FPGA中缺乏實(shí)現(xiàn)乘法運(yùn)算的有效結(jié)構(gòu)。隨著FPGA技術(shù)的不斷發(fā)展，查找表(LUT)技術(shù)的應(yīng)用有效地解決了這個問題，使FPGA在數(shù)字信號處理方面得到了廣泛應(yīng)用。
2 基于分布式算法的FIR濾波器的實(shí)現(xiàn)
2．1 分布式算法原理
上世紀(jì)70年代Croisie提出了分布式算法DA(Distributed Arithmetic)，但由于其特別適合用FPGA實(shí)現(xiàn)，所以直到Xilinx公司在FPGA中使用查找表(LUT)后，DA才被廣泛應(yīng)用在FPGA求乘積和中。
FIR的濾波輸出y可以表示為輸入x和系數(shù)h的內(nèi)積：
由上述推導(dǎo)可知，分布式算法是一種以實(shí)現(xiàn)乘加運(yùn)算為目的的運(yùn)算方法。它與傳統(tǒng)實(shí)現(xiàn)乘加運(yùn)算的先后順序不同。分布式算法在完成乘加功能時，是通過將各輸入數(shù)據(jù)每一對應(yīng)位產(chǎn)生的部分積預(yù)先進(jìn)行相加形成相應(yīng)部分積，然后在對各部分積預(yù)先進(jìn)行累加形成最終結(jié)果；而傳統(tǒng)算法是等到所有乘積產(chǎn)生之后再進(jìn)行相加來完成乘加運(yùn)算。
2．2 分布式FIR的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)
圖2為分布式FIR濾波器的直接實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)。對于小位寬的數(shù)據(jù)，DA算法不僅速度快，而且所占用的芯片資源少。
2．3 性能優(yōu)化方法
1)流水線結(jié)構(gòu)法 在濾波器中間增加適當(dāng)?shù)募拇嫫?，?gòu)成流水線結(jié)構(gòu)。在并行結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)中添加流水線結(jié)構(gòu)，可以提高濾波器速度，使其工作在更高的工作頻率。對于速度固定的數(shù)據(jù)，可以通過多次復(fù)用乘累加器來節(jié)省資源。
2)查找表分隔法 在用LUT實(shí)現(xiàn)分布式算法時，由于LUT的規(guī)模隨著N的增加呈現(xiàn)指數(shù)增長，如果濾波器系數(shù)N過大，則查找表的規(guī)模十分龐大。為了減小規(guī)模，可以利用部分表計算。由于FIR濾波器是線性濾波器，因此低階濾波器輸出可以相加，由此定義一個高階濾波器的輸出。例如，把16輸入的查找表分割成4個并行的查找表。
查找表的分隔技術(shù)和流水線技術(shù)可以大大減小設(shè)計規(guī)模，同時并不會降低濾波速度。使用DA算法實(shí)現(xiàn)的FlR濾波器與傳統(tǒng)的算法相比，DA算法可以極大地減少硬件電路規(guī)模，很容易實(shí)現(xiàn)流水線處理，提高電路的執(zhí)行速度。
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