基于DSP的NURBS曲線插補控制

1 引言

運動控制卡是一種基于工業(yè)PC機、用于各種運動控制場合（包括位移、速度、加速度等）的上位控制單元，而插補模塊是運動控制單元不可缺少的。本文所設(shè)計的基于PCI總線的DSP運動控制卡，可完成數(shù)控系統(tǒng)中實時性要求較高的插補、位置控制、實現(xiàn)數(shù)控系統(tǒng)中多軸聯(lián)動的插補計算、位置控制等功能。傳統(tǒng)的插補器一般都具有直線和圓弧的插補功能，使用不同算法處理直線、圓弧、螺旋線運動。使用這種方法并非所有的控制特征被編程到每種插補類型，而添加一種新的插補類型需要大幅度改動軟件結(jié)構(gòu)。而該DSP運動控制卡的插補器采用基于非均勻有理B樣條NURBS的通用插補器，把所有編程的插補類型轉(zhuǎn)換為公共的數(shù)學(xué)表達式，使所有的功能不依賴于編程類型。通用插補器是一種能準確表達曲率的插補模型，能夠精確表達出各種曲線、曲面的軌跡?；贜URBS原理的通用插補器模型包含任何曲線、曲面，所有傳統(tǒng)的插補類型（直線、圓弧）也不例外，克服了傳統(tǒng)插補器的缺點，提高了控制精度。

2 運動控制卡的硬件設(shè)計

運動控制卡的硬件設(shè)計基于PCI總線規(guī)范，采用DSP和FPGA的結(jié)合，再配以其它輔助電路，可適用于各種PC機及其兼容機系統(tǒng)，其硬件方框圖如圖1所示，以下分別介紹圖1中各芯片功能及其在該硬件電路中的作用。

核心處理器DSP：TMS320LF2407a是TI公司專為電機控制和其他控制系統(tǒng)設(shè)計的DSP^[1]。主要完成位置速度PID控制,插補迭代運算,開關(guān)量輸入和輸出以及程序和數(shù)據(jù)存儲和上下機的通信。

模擬量控制電路：將速度信號數(shù)字量用數(shù)據(jù)線接4路12位數(shù)模轉(zhuǎn)換芯片DAC7625,將數(shù)字信號轉(zhuǎn)換為-10～10V的模擬信號,輸出接模擬信號輸入的電機伺服驅(qū)動模塊。

反饋電路：在大多數(shù)運動系統(tǒng)中,采用光電編碼器作為閉環(huán)控制的反饋元件。光電編碼器輸出的是兩組相位相差90的脈沖信號Ａ和Ｂ, 先將信號差分整形以消除干擾信號的影響，然后對A、B兩相信號進行四倍頻，同時進行鑒相確定出DIR，根據(jù)DIR對四倍頻的脈沖進行加計數(shù)或減計數(shù)。計數(shù)器和位置捕捉寄存器均為32位，DSP可對其進行讀取或清零。

通訊電路：通過PCI接口從模式3.3V芯片PLX9030和雙口RAM芯片70V24與PC機的PCI總線相連,可以進行高速數(shù)據(jù)傳輸。其中雙口RAM70V24作為上下機交換數(shù)據(jù)公共緩沖區(qū)。70V24芯片具有8個異步仲裁標志位,更好地保證雙方對數(shù)據(jù)的準確操作。另外,使用FPGA芯片F(xiàn)LEX10KA來實現(xiàn)PLX9030對雙口RAM70V24的時序轉(zhuǎn)換。

開關(guān)量電路：包括通用16/16通用I/O點、能使4個電機輸出,4個軸左右的極限輸入和原點中斷輸入。

圖一 硬件結(jié)構(gòu)框圖

3 運動控制卡的插補計算

數(shù)控系統(tǒng)中插補的作用是讀取用戶程序經(jīng)解釋器解釋之后的位置指令，由軌跡的起點、終點、軌跡的類型、軌跡的方向，計算出軌跡運動的各個中間點坐標。插補程序在每一個插補周期算出坐標軸在一個周期中的位置增量，由此位置增量算出坐標軸相應(yīng)的指令位置，作為位置閉環(huán)控制系統(tǒng)的輸入^[2]。該DSP運動控制卡中，設(shè)計一種基于NURBS原理的通用插補器，下面簡要說明NURBS的原理。

圖二

一條曲線的形狀由控制點的位置決定，見圖二中的B_i。圖二中a、b曲線的B₇點的位置不同，使a、b曲線在與B₇相鄰的部分曲線形狀發(fā)生變化，而其余控制點附近的曲線形狀保持不變。在任意時刻t，曲線的位置為各個控制點加權(quán)平均值。離控制點越近，加權(quán)值越大，反之越小。一條K 次NURBS 曲線可以表示為一分段有理多項式矢函數(shù)：

其中,B_i(i= 0,1,…,n)為控制點, 每個控制點附有一個權(quán)因子W_i(i=0,1,…,n),首末權(quán)因子W₀,Wn>0,其余W_i≥0,N_i,_k為K次規(guī)范B樣條基函數(shù),可由下式遞推計算:

U=[u_0,u_1,…,u_n+k+1]稱為節(jié)點矢量。以三次NURBS曲線為例，即k＝3時，第i段曲線可以寫成下列矩陣形式：

其中 ，

由于控制頂點及權(quán)因子均已知,則Y₀、Y₁、Y₂、Y₃、Y₀’、Y₁’、Y₂’、Y₃’與參數(shù)無關(guān),可在插補計算之前預(yù)先算出,插補計算時只需計算插補變化量Δt,從而大大加快了計算速度。

在參數(shù)空間，曲線上插補點的參數(shù)可由二階泰勒級數(shù)表示為：

t_i+1= t_i+Tt`+(T²/2)t⁽²⁾ +O(T² ) （3）

其中，T為插補周期，t`,t⁽²⁾分別為參數(shù)對t的一階和二階導(dǎo)數(shù)。若以一階差分代替微分，將

代入公式（3），整理可得參數(shù)快速遞推公式，用以預(yù)估新插補點的參數(shù)：

_i+1=2.5t_i-2t_i-1+0.5t_i-2 （4）

基于上述算法可進一步推導(dǎo)NURBS插補的誤差,加減速控制等算法,從而完善運動控制卡的NURBS插補運算功能。

圖三 插補子程序框圖

插補子程序流程如圖三所示，具體插補過程包括以下幾個步驟：

1） 設(shè)定參數(shù)初始值，在選取t₂點時，需要對插補步長進行預(yù)算，在滿足弓高誤差、進給速度、進給加速度的約束條件時才可采用、否則需進行校正。

2） 預(yù)估插補參數(shù)，得出預(yù)估參數(shù)后需取t的整數(shù)部分來確定取哪一段曲線的Y系數(shù)數(shù)組，這里0≤t_i≤n，若t_i超出n則說明該曲線已到盡頭 這時插補參數(shù)應(yīng)取為n，取第n-1段曲線的Y參數(shù)數(shù)組，實際插補參數(shù)取值為1。

3） 根據(jù)預(yù)估插補參數(shù)計算預(yù)估插補點F_i+1，預(yù)估插補步長L_i。

4） 求期望步長，需要先分別根據(jù)弓高誤差、進給速度、進給加速度的約束條件算出各自步長，然后取其最小值即為期望步長。

5） 根據(jù)希望步長計算插補偏差，判斷插補偏差是否符合精度要求，若符合則該插補點即為所求，否則需對其進行校正。

6） 確定符合要求的插補參數(shù)后，計算新插補點，并算出各軸增量。

當運動控制系統(tǒng)的精度要求較高時，僅根據(jù)進給速度及插補周期生成插補軌跡是不夠的， 需要進一步對步長進行調(diào)整，方法是在插補中實時監(jiān)控插補弓高誤差的大小，當誤差在允許誤差范圍內(nèi)時，仍按瞬時進給速度計算進給步長Li，若誤差超出了允許范圍，則按允許誤差求取約束插補步長。此外，為了獲得更好的速度穩(wěn)定性，應(yīng)直接以弦長速度為控制目標，為了滿足式（2） 的新插補點F_i+1，本文采用基于參數(shù)遞推預(yù)估與校正的參數(shù)曲線插補算法，它不僅計算速度快，而且可避免其他插補算法所需的曲線求導(dǎo)等復(fù)雜計算。

曲線所具有的有理形式分段參數(shù)方程使曲線的軌跡及其導(dǎo)數(shù)、曲率等計算異常繁瑣，因而需要通過適當?shù)牟逖a預(yù)處理，運用基于預(yù)估與校正的插補策略以及合理的近似計算等措施，有效地簡化了插補過程中的軌跡計算，避免了對曲線的直接求導(dǎo)和曲率半徑等復(fù)雜計算，確保了插補算法的良好實時性。

根據(jù)上述算法，在上位機用VC++實現(xiàn)上層控制，通過PCI總線和雙口RAM芯片與DSP交換數(shù)據(jù)，用DSP語言實現(xiàn)下層插補算法，利用DSP的高速運算能力和和實時信號處理能力，在芯片粘片機的運用中取得了良好的效果，使該運動控制卡能夠滿足運動控制系統(tǒng)中高速高精度的要求。