設(shè)計(jì)開關(guān)電源轉(zhuǎn)換器中電容陣列的數(shù)學(xué)方法

在便攜音樂播放器和筆記本/桌面計(jì)算機(jī)等消費(fèi)電子設(shè)備中，通常會(huì)包含ASIC、處理器、存儲(chǔ)器和LED背光等器件。作為系統(tǒng)負(fù)載，這些器件需在合適的電壓下才能正常工作，所以人們通常使用能改變電壓的轉(zhuǎn)換器為這些器件供電。電壓轉(zhuǎn)換器通常使用開關(guān)拓?fù)?，電容器則在負(fù)載電流發(fā)生躍變時(shí)或在負(fù)載時(shí)變的情況下被用于解耦負(fù)載。

由于還沒有一種計(jì)算方法能計(jì)算出充分且必要的電容量，所以，系統(tǒng)設(shè)計(jì)者在設(shè)計(jì)用于降壓轉(zhuǎn)換器輸出端的電容陣列時(shí)，常常面臨很多困難：或許會(huì)選擇了較小的電容量，轉(zhuǎn)換器的電壓可能達(dá)不到要求進(jìn)而導(dǎo)致負(fù)載工作不穩(wěn)定；或許選擇的電容量偏大，在元件成本和PCB面積方面造成浪費(fèi)，進(jìn)而額外增加消費(fèi)電子設(shè)備的單位成本。

降壓轉(zhuǎn)換器自身帶有電壓反饋系統(tǒng)。電壓反饋系統(tǒng)檢測負(fù)載上的電壓，然后，把檢測到的電壓與參考電壓進(jìn)行比較，將偏差放大并通過調(diào)整占空度來修正負(fù)載上的電壓(圖1)。

關(guān)于反饋環(huán)如何優(yōu)化的問題屬于另一個(gè)話題，本文暫不作探討。借助電源芯片公司提供的高級(jí)仿真工具和計(jì)算工具，我們能很容易的實(shí)現(xiàn)降壓轉(zhuǎn)換器反饋系統(tǒng)的優(yōu)化。

許多系統(tǒng)設(shè)計(jì)者沒有弄清楚波特圖、頻域分析、暫態(tài)電壓波形、以及時(shí)域分析之間的差別。實(shí)際上，它們是在兩個(gè)域進(jìn)行的分析：一個(gè)在頻域，一個(gè)在時(shí)域。頻域分析和時(shí)域分析在數(shù)學(xué)上可以通過拉氏變換函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

波特圖或頻域分析可以方便地以圖形方式顯示出給定系統(tǒng)的過零頻率(ZCF)和相位裕度，但很少能顯示轉(zhuǎn)換器在給定的階躍載荷電流下的運(yùn)行情況。這些信息也許對滿足某些內(nèi)部設(shè)計(jì)規(guī)則很有用。

圖1：降壓轉(zhuǎn)換器自身帶有電壓反饋系統(tǒng)。

為什么分析階躍響應(yīng)如此重要呢？

處理器對電壓變化范圍的要求較為嚴(yán)格，電壓范圍由上限和下限給定，或由標(biāo)稱電壓和容差(如正負(fù)50mV)給定。而硬盤或PCI總線電壓軌對電壓的要求較為寬松，能在幾百毫伏的容差范圍內(nèi)可靠地工作。如果給反饋系統(tǒng)施加階躍電流，則在反饋系統(tǒng)的輸出端會(huì)出現(xiàn)一個(gè)相應(yīng)的響應(yīng)(階躍響應(yīng))，本文中則是以輸出電壓為例。因而，如果把階躍電流或模擬負(fù)載電流施加到轉(zhuǎn)換器的輸出端，轉(zhuǎn)換器的輸出端將經(jīng)歷一個(gè)電壓變化過程。如果電壓變化過程的最小值和最大值保持在容限范圍之內(nèi)，負(fù)載將正常工作。

可以用電阻和開關(guān)FET產(chǎn)生階躍電流函數(shù)。我們需計(jì)算出電阻值和FET門的壓擺率(slew rate)，并使之與真實(shí)負(fù)載的幅度和邊緣速率相匹配。在使用電子負(fù)載時(shí)我們須非常小心，因?yàn)殚L線纜或寄生電感可能使階躍電流變形，進(jìn)而導(dǎo)致在輸出端看不到階躍響應(yīng)。當(dāng)負(fù)載邊緣速率高時(shí)尤其應(yīng)對這個(gè)問題給予關(guān)注。

在平衡態(tài)，除了開關(guān)紋波電流成分之外，開關(guān)轉(zhuǎn)換器的電感電流和負(fù)載電流是匹配的。如果電感電流偏離負(fù)載所需要的電流，能量供求差異會(huì)導(dǎo)致輸出電容的電壓發(fā)生變化，此時(shí)輸出電容就會(huì)以充電/放電的形式吸收或補(bǔ)充能量，進(jìn)而保持輸出電流穩(wěn)定。

圖2a和圖2b顯示了兩個(gè)負(fù)載躍變的暫態(tài)過程，分別對應(yīng)于經(jīng)過優(yōu)化和未經(jīng)優(yōu)化的反饋環(huán)，前者能量供求差異被降到最小，而后者能量供求差異較大。陰影區(qū)域顯示在電感和負(fù)載之間的能量供求差異。

圖2a， 圖2b：兩個(gè)負(fù)載躍變的暫態(tài)過程。

在本文中，我們假設(shè)反饋環(huán)經(jīng)過了優(yōu)化設(shè)計(jì)，能量供求關(guān)系如圖3a所示。圖3b顯示在加載過程中由輸出電容補(bǔ)充的電流量，圖3c顯示了在卸載過程中輸出電容吸收的電流量。

圖3a, 圖3b, 圖3c：反饋環(huán)經(jīng)過了優(yōu)化設(shè)計(jì)后的能量供求關(guān)系。

對電感兩端的電壓積分并除以電感值可計(jì)算出流過電感的電流。在加載過程中，轉(zhuǎn)換器的占空比變成1。因而，如果把加載過程的起始時(shí)間設(shè)為t=0，則通過輸出電容所補(bǔ)充的電流(如圖3b)為：

在卸載過程中，轉(zhuǎn)換器的占空比變成0。因而，如果把卸載暫態(tài)過程的開始時(shí)間設(shè)為t=0，則輸出電容吸收的電流(如圖3c)為：

其中，V(SUB/)in(/SUB)、V(SUB/)out(/SUB)、L分別是該降壓轉(zhuǎn)換器的輸入電壓、輸出電壓和電感值；I(SUB/)1(/SUB)是輕負(fù)載時(shí)的輸出電流電平，I(SUB/)2(/SUB)是重負(fù)載時(shí)的輸出電流電平。