基于代數(shù)方法分析FIR濾波器

　　表1:等式中多項(xiàng)式的所有根[2]

　　共有 14 個(gè)根，因?yàn)槭?14 級(jí)多項(xiàng)式（第 15 級(jí)是常數(shù)項(xiàng)，也就是 z 的零次方），其中 4 個(gè)是實(shí)數(shù)，其余為共軛復(fù)數(shù)。還記得求解二次方程的經(jīng)典公式嗎？當(dāng)平方根中的表達(dá)式為負(fù)時(shí)，就會(huì)形成根的虛數(shù)部分。正負(fù)號(hào)說(shuō)明有兩個(gè)表達(dá)式，代表虛數(shù)不分彼此相反。

　　把所有項(xiàng)（z 的根）相乘，寫(xiě)成因數(shù)形式。將復(fù)雜對(duì)結(jié)合為平方項(xiàng)，得出理想的實(shí)數(shù)系數(shù)，例如將共軛復(fù)數(shù) x+jy 和 x-jy 相乘：

　　公式3

　　對(duì)表 1 中所有根或根對(duì)都采取這種算法（選擇實(shí)部相同的兩個(gè)根），我們得到等式 4:

　　公式4

　　為了確保正確，我再次對(duì)等式[4]做乘法（利用 Excel），圖 2 說(shuō)明我們返回了相同的濾波器。

　　順便說(shuō)一句，可直接對(duì)脈沖響應(yīng)使用 Excel 的 FFT 函數(shù)來(lái)獲得響應(yīng)結(jié)果。如果手頭沒(méi)有仿真器，還可以使用另一種方法來(lái)計(jì)算頻率響應(yīng)。濾波器在脈沖響應(yīng)中只有 15 個(gè)有用的時(shí)間點(diǎn)，我用額外的零值將它擴(kuò)展到 1024 點(diǎn)，得到一個(gè)具有理想頻率間隔的平滑 FFT 圖。

　　不過(guò)您可能會(huì)感到不解，做了這么多我們到底學(xué)到了什么？其實(shí)，有用的東西在于，因數(shù)的積代表濾波器行為。濾波器包括一系列連接塊，每個(gè)塊都被因數(shù)賦予一個(gè)多項(xiàng)式，從而形成小的濾波器。通過(guò)對(duì) FIR 濾波器的大多項(xiàng)式因式分解，我們能獲得一系列小濾波器（每個(gè)具有 2 個(gè)或 3 個(gè)tap加權(quán)），串聯(lián)起來(lái)就能獲得與原濾波器相同的濾波器行為。

　　現(xiàn)在，IIR 濾波器通常被設(shè)計(jì)為二級(jí)串聯(lián)形式（即二次方程）。人們很少關(guān)心 FIR 濾波器的等效因式分解情況。這是因?yàn)?FIR 濾波器的實(shí)施已經(jīng)很簡(jiǎn)單了，因此細(xì)究也沒(méi)什么優(yōu)勢(shì)。不過(guò)，在對(duì) FIR 設(shè)計(jì)軟件得出的系數(shù)集進(jìn)行分析時(shí)，這仍是很棒的工具。

　　我的主要目的并非是用這些工具拆分別人的 FIR 濾波器，而是用來(lái)發(fā)現(xiàn)因數(shù)本身的行為。我們隨后就能分別操縱每個(gè)因數(shù)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)我們所需的功能。如果我們從頭創(chuàng)建某些因數(shù)，每個(gè)因數(shù)都能完成有用的功能，再將其組合在一起成為多項(xiàng)式，那么多項(xiàng)式系數(shù)也就是能夠同時(shí)完成所有功能的 FIR 濾波器的系數(shù)。

　　圖2:將等式[4]相乘所得多項(xiàng)式的響應(yīng)情況

　　不妨考慮一下，我們的 FIR 濾波器在阻帶有三個(gè)空值（圖 1 和圖 2）。我們將多項(xiàng)式[4]進(jìn)行因式分解后，有三個(gè)因數(shù)是常數(shù)項(xiàng)（即 z^0 的系數(shù)）。這并不是巧合。下次，我們要談?wù)勗趺打?qū)動(dòng)這一進(jìn)程，讓因數(shù)滿足特定的阻帶行為。這將說(shuō)明好的濾波器設(shè)計(jì)不止一個(gè)根！