預(yù)測(cè)和負(fù)延遲濾波器：你應(yīng)該知道的五件事

圖3：某些數(shù)據(jù)(藍(lán)色)，巴特沃斯響應(yīng)(粉紅色)和補(bǔ)償(綠色)

我們不必使用相同的函數(shù)H來(lái)構(gòu)造補(bǔ)償濾波器。如果兩個(gè)傳遞函數(shù)HA和HB都具有整體單位DC增益和相同的DC組延遲值，則H1 =HA(2-HB)也有整體DC增益和零DC組延遲。

特別是，如果HB是T值的純時(shí)間延遲(相等于HA的DC組延遲)，我們可以得到FIR實(shí)現(xiàn)的漂亮簡(jiǎn)化。就T恰好等于N個(gè)采樣周期的傳遞函數(shù)來(lái)說(shuō)，我們得到H1 = HA(2-Z^- N)，幾乎所有的數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)都能很容易地實(shí)現(xiàn)它，因?yàn)閆圖的

這些負(fù)值直接作用于單位采樣延遲。而2N+1階的對(duì)稱FIR濾波器總能滿足該條件;如果多做點(diǎn)工作，它就可以適應(yīng)不對(duì)稱的情況，其中N不是整數(shù)。

因此，無(wú)論我們選擇工作在S域或Z域，我們都可以構(gòu)建零DC組延時(shí)的低通傳遞函數(shù)。但我們沒(méi)必要在零組延時(shí)停止;雖然我們可以很容易地使其為負(fù)，我們也在此進(jìn)入預(yù)測(cè)域。在采樣系統(tǒng)中，有一個(gè)其輸出是輸入信號(hào)在下一個(gè)采樣時(shí)刻可以預(yù)測(cè)的濾波器，會(huì)很方便。換句話說(shuō)，一個(gè)濾波器的DC組延遲是負(fù)一個(gè)采樣周期。在上面提到的FIR的情況，它簡(jiǎn)單得幾乎難以置信。我們只須使用2-z^-(N+1)，而不是2-z^-N的補(bǔ)償函數(shù)。

現(xiàn)在，如果在有能量進(jìn)入濾波器之前，它就實(shí)際輸出了一些能量，那就破壞了因果律。所以包含信息的任何信號(hào)不可能以負(fù)延遲的形式出現(xiàn)在輸出。但有些信號(hào)不包含任何信息——如果一些觀察家對(duì)其有心理上的期盼，則無(wú)論他們?cè)趺聪?p>——所以當(dāng)組延遲為負(fù)時(shí)，就沒(méi)有因果關(guān)系可去違反。

這種濾波器的表現(xiàn)如何?

這些功能有個(gè)有用的屬性。顯然，對(duì)常數(shù)(即DC)輸入，輸出電壓等于輸入，與普通低通濾波器的一樣。但現(xiàn)在當(dāng)輸入以恒定速率變化時(shí)，輸出也可以等于輸入。與“標(biāo)準(zhǔn)”低通傳輸函數(shù)不同，在階梯變化激勵(lì)下，濾波器的輸出和輸入信號(hào)間沒(méi)有“滯后”。我們?cè)O(shè)計(jì)另外一個(gè)例子，并更加仔細(xì)地檢驗(yàn)其屬性。

這次，我們以FIR為例。我們HA的起始濾波器是一個(gè)對(duì)稱的9階FIR濾波器，(因此有4個(gè)采樣周期的恒定組延遲)。這是為陷波60Hz左右有不小變化的AC線頻而設(shè)計(jì)的。我會(huì)解釋理由，且在以后的Filter Wizard中，明確如何設(shè)計(jì)這樣一款“撥空號(hào)(dial-a-null)”濾波器，但眼下，我們只是看一看。對(duì)于我們的HB，為得到零延遲濾波器，我們使用了4個(gè)采樣周期的簡(jiǎn)單延遲。這使2-HB看起來(lái)像一個(gè)系數(shù)為(2，0，0，0，-1)的5階FIR濾波器。級(jí)聯(lián)的HAHB做成一款單一FIR濾波器，將兩個(gè)Z平面序列卷積在一起，獲得一個(gè)13階的濾波器。HA和HAHB的幅度和組延時(shí)如圖4所示，這次是用LTspice仿真的。圖中，有相當(dāng)奇怪的頻率和時(shí)間，是因?yàn)檫@個(gè)濾波器是按工作在220個(gè)采樣/每秒設(shè)計(jì)的。再次，我們得到一個(gè)凹凸不平的通帶并失去了一些阻帶響應(yīng)。

現(xiàn)在，我們可以進(jìn)入預(yù)測(cè)領(lǐng)域。如果我們把HB‘的延遲設(shè)為5個(gè)采樣周期而不是4個(gè)，然后重新計(jì)算該級(jí)聯(lián)(現(xiàn)在是14個(gè)階遞)，我們得到的HAHB如圖4(綠色線段)所示。與期望的一樣，現(xiàn)在，你可以看到DC組延遲是負(fù)4.5ms左右。

圖4：FIR例子，正延遲和負(fù)一個(gè)采樣周期的情況

那么這里回報(bào)是什么?好，我們看看時(shí)間域的行為。三個(gè)濾波器的激勵(lì)源都是上升又下降的三角形信號(hào)。激勵(lì)和響應(yīng)如圖5所示。

圖5：無(wú)補(bǔ)償和有補(bǔ)償FIR濾波器對(duì)三角波激勵(lì)的響應(yīng)

由最初的低通濾波器HA引起的“滯后”顯而易見(jiàn)。如果你試圖檢測(cè)信號(hào)通過(guò)某些極限點(diǎn)的哪個(gè)點(diǎn)，你會(huì)清楚地體驗(yàn)到在檢測(cè)響應(yīng)時(shí)的延遲。HAHB線段顯示我們零DC組延遲濾波器的輸出——它具有零延遲!這突顯了對(duì)于一般低通濾波器來(lái)說(shuō)極為重要的一個(gè)事實(shí)：這種濾波器的輸出和輸入之間的斜坡滯后在數(shù)值上等于DC組延遲值。因此，如果我們補(bǔ)償濾波器的設(shè)計(jì)，使DC組延遲為零，我們就得以消除滯后。當(dāng)然，代價(jià)總是有的，我們可以看到，在輸入波形斜坡發(fā)生突變后，這種濾波器有些疲于應(yīng)付。

如果你放大HAHB曲線，你會(huì)看到，每個(gè)新采樣都正好在輸入斜坡曲線上。預(yù)測(cè)版本HAHB的輸出值移動(dòng)到斜坡將在下一個(gè)采樣周期開始時(shí)該有的那個(gè)值，我猜，會(huì)與我們預(yù)測(cè)的一樣。

這種濾波器可在哪里派上用場(chǎng)?

有許多工業(yè)監(jiān)測(cè)應(yīng)用，其“正常”行為意味著信號(hào)穩(wěn)定(但嘈雜，信號(hào)可以是溫度、壓力、物理結(jié)構(gòu)內(nèi)的應(yīng)力等)。 所謂“異常”行為，是指一些被測(cè)的系統(tǒng)參數(shù)變得不可控，并不按規(guī)矩“出牌”。

在反饋路徑需要濾波的控制系統(tǒng)，這種零延遲類型的濾波器很有用。消除很低頻率下的組延時(shí)，可以顯著增加抑制這些頻率上某些感知行為的控制回路的功效。工程師習(xí)慣于操控系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零以強(qiáng)迫實(shí)施所需的回路行為，這正是我們?cè)诖艘愿叻治龅囊馓N(yùn)所做的。我們的傳遞函數(shù)算法生成取消極點(diǎn)DC組延遲特性的零。我已經(jīng)說(shuō)過(guò)，不是嗎!

這種零或負(fù)延遲濾波器通常還用來(lái)處理非電子信號(hào)。例如，如果一種金融工具(如股票)的價(jià)格被認(rèn)為呈斜坡線性變化，但該斜坡被短期交易噪聲破壞，零延遲濾波器就可用于有效地提取基本行為。雖然，如圖5所示，當(dāng)三角形改變方向時(shí)，你可以從濾波器的行為進(jìn)行推斷，但一段時(shí)間內(nèi)，這種濾波器會(huì)給出極不準(zhǔn)確的結(jié)果，直到價(jià)格行為再次按平穩(wěn)的斜坡變化。圖3的神秘?cái)?shù)據(jù)，事實(shí)上是個(gè)股票價(jià)值序列。

這些金融工具的交易員實(shí)際上對(duì)其價(jià)格數(shù)據(jù)序列使用了一些相當(dāng)復(fù)雜的濾波流程。我常常被告知，若電子市場(chǎng)股價(jià)暴跌，在金融部門，濾波器向?qū)Э隙〞?huì)有份工作，用來(lái)從巨大的價(jià)格數(shù)據(jù)集中梳理出有趣信號(hào)。但讓我們繞過(guò)暗礁險(xiǎn)灘，戴上安全的堅(jiān)固工程的護(hù)身符，并重回正軌!

諸如此類的延遲操控可以大有作為的一個(gè)工程應(yīng)用是補(bǔ)償數(shù)字D類放大器的電源電壓變化。對(duì)于給定的分度：間隙因數(shù)由輸出開關(guān)輸出，其放大器的平均輸出電壓與電源電壓成正比——即，它沒(méi)有電源抑制。當(dāng)人們似乎不想在消費(fèi)類音頻設(shè)備的電源上下大本錢的時(shí)候，這并非好事。