由DAC諧波頻譜成分重構(gòu)其傳遞函數(shù)

DAC傳遞函數(shù)

圖1顯示一個理想的DAC傳遞函數(shù)，它是一條斜線，y=mx+b。數(shù)字輸入位于x軸，模擬輸出位于y軸。

圖1. 理想的DAC傳遞函數(shù)

x軸上的目標范圍是從左邊的最小碼(A)到右邊的最大碼(B)。y軸上的目標范圍是從底部的最小輸出值(C)到接近頂部的最大輸出值(D)。定義理想傳遞函數(shù)的斜率(m)和y軸截距(b)的方程式用邊界值A(chǔ)、B、C、D表示。信號g(t)代表一個無失真的正弦波，由A至B范圍內(nèi)的數(shù)字輸入組成，時間軸向下。信號u(t)代表模擬輸出，其值在C至D范圍內(nèi)，時間軸向右。輸出信號是通過傳遞函數(shù)反射的輸入信號。請注意，輸出信號是將g(t)上各點鏈接到u(t)上相應(yīng)點的結(jié)果。圖1顯示在特定時間點t=tk的傳遞操作例子，該時間點確定輸入信號上的點g(tk)。傳遞函數(shù)進而將g(tk)鏈接到輸出信號上的相應(yīng)點u(tk)。對于理想的線性傳遞函數(shù)，u(t)與g(t)成比例關(guān)系。請注意，g(tk)對應(yīng)于x軸上的點xk，它通過傳遞函數(shù)反射至y軸上的點yk。借助關(guān)于耦合點集(g(tn),u(tn))的已有知識，可以確定傳遞函數(shù)上的相關(guān)點(xn,yn)。因此，通過輸入信號g(t)上的點與輸出信號u(t)上的點之間的關(guān)系，完全可定義傳遞函數(shù)。

對于N位DAC，邊界值A(chǔ)和B取特定值，即A＝0且B＝2N–1。而為了方便起見，指定邊界值C和D為C＝A且D＝B。這樣意味實際DAC輸出信號的比例和偏移，因而其峰峰值范圍為0至2N-1。利用A、B、C、D的這些值，因為斜率m＝1且截距b＝0，所以理想傳遞函數(shù)可簡化為y＝x。

到目前為止，討論的重點還是理想的DAC傳遞函數(shù)，但現(xiàn)在我們有了可以處理失真DAC傳遞函數(shù)f(x)的工具，如圖2所示。需要注意的主要特點是：傳遞函數(shù)不再是直線y＝x，而是一個形狀函數(shù)f(x)；圖中隨意以平滑弧形來表示。f(x)對輸出函數(shù)u(t)的影響也同樣重要。理想輸入g(t)通過傳遞函數(shù)f(x)反射，產(chǎn)生失真輸出u(t)。與現(xiàn)成DAC的傳遞函數(shù)相比，圖中所示的弧形傳遞函數(shù)較為夸張，僅為加強說明效果而已?，F(xiàn)代DAC的傳遞函數(shù)與理想的直線幾乎沒有偏差，但即使最微小的偏差也會導(dǎo)致輸出頻譜中出現(xiàn)諧波雜散。

圖2. 失真的DAC傳遞函數(shù)

能否成功重構(gòu)DAC傳遞函數(shù)，取決于是否能通過已知的g(t)和u(t)確定各點(xk,f(xk))。這一過程分為兩步：首先采用一個代表理想采樣正弦波的數(shù)值序列驅(qū)動DAC輸入，利用頻譜分析儀測量DAC輸出，并記錄基波信號和盡可能多諧波成分的幅值；然后將測得的諧波幅值轉(zhuǎn)換為特定形狀的傳遞函數(shù)。如果操作得當，將g(t)代入f(x)仿真u(t)將產(chǎn)生與測量結(jié)果相同的諧波失真值。

第一步：測量DAC諧波

第一步需要一個輸入序列，用來代表一個以等距時間間隔采樣的理想正弦波周期。目標是重構(gòu)DAC傳遞函數(shù)，因此從0到2N–1的每個DAC碼必須在輸入信號中至少出現(xiàn)一次。輸入序列需要2N以上的采樣點才能以等距間隔使用每個DAC碼，實際上至少需要2N+3個采樣才能保證每個碼都出現(xiàn)。下式可產(chǎn)生2K DAC碼的理想正弦序列(K ≥ N+3)。函數(shù)round{x}將x舍入為最近的整數(shù)。

其中n=0,1,2,3, ... 2K-1

此方程式假設(shè)DAC將標準二進制格式的數(shù)字輸入字解碼為0至2N–1范圍內(nèi)的無符號整數(shù)。對于偏移二進制或二進制補碼DAC，必須調(diào)整gn以表示負值。

數(shù)值序列(gn)以采樣速率fs重復(fù)提供給DAC，因此DAC輸出頻譜含有頻率f0=fs/2k的基波信號。諧波出現(xiàn)在2f0、3f0、4f0和f0的其它整數(shù)倍。由于DAC輸出頻譜具有采樣性質(zhì)，因此這些諧波的幅度受sin(x)/x響應(yīng)的限制。不過，f0與fs相比微不足道，因此sin(x)/x響應(yīng)實際上是平坦的，可忽略不計。例如，對于一個8位DAC，K ≥ 11且f0 ≤fs/2048，100次諧波的sin(x)/x將不超過0.39% (0.034 dB)。

為了準確重構(gòu)傳遞函數(shù)f(x)，需要根據(jù)諧波數(shù)(h)集盡可能記錄更多諧波的幅值。這些整數(shù)從h＝1（基波頻率）至h=H，其中H表示取測量幅值的最高諧波數(shù)。例如，對于10次諧波的測量，H＝10，該諧波數(shù)集為h={1, 2, 3, .. 10}。

然后，將各測量諧波的幅值(M)與其諧波數(shù)關(guān)聯(lián)。例如，M1是1次諧波（基波）的幅值，M2是2次諧波的幅值，依此類推至MH。諧波幅值通常用相對于基波幅值的分貝數(shù)(dBc)來衡量。dBc轉(zhuǎn)換為線性單位的公式如下：

其中D表示測得的諧波幅值，單位為dBc。例如，如果3次諧波的幅值為–40 dBc，則線性幅值M3＝10–40/20或0.01。M1始終等于1，因為根據(jù)定義，基波的幅值為0 dBc。

第二步：重構(gòu)DAC傳遞函數(shù)

該過程的第二步涉及到將諧波測量結(jié)果與傳遞函數(shù)相關(guān)。f(x)上的點取決于g(t)和u(t)上對應(yīng)點之間的關(guān)系，因此首先必須將頻域中的諧波幅值轉(zhuǎn)換到時域。請注意，組成g(t)的DAC碼與g(t)正弦形式的相關(guān)時間點一一對應(yīng)。因此，構(gòu)成g(t)的DAC碼與時域相關(guān)。此外，u(t)通過f(x)與g(t)相關(guān)，而g(t)是一個時域函數(shù)，因此u(t)也必須表示為時域函數(shù)。這樣就能將g(t)中的各時間點tk鏈接到u(t)中的相關(guān)時間點，從而由g(t)和u(t)確定f(x)。

將諧波幅值轉(zhuǎn)換到時域非常困難，因為f(x)必須明確與g(t)中的各可能DAC碼（0至2N–1）相關(guān)。g(t)是一個理想正弦波，因此確保唯一性的唯一方法是將范圍限制在該正弦波單調(diào)增加的位置，如圖3加粗部分所示。如果沒有這一限制條件，f(x)上的一個點可能會映射到g(t)上的兩個點，從而導(dǎo)致不明確。

為演示這種不定性，請想象將區(qū)間T向下移動?，F(xiàn)在，f(x)上的點(xk, fkxk))可以與g(t)上的兩個點相關(guān)，這是不可接受的。將范圍T限制在圖中所示位置，將不存在不定性。g(t)為正弦波，因此所需范圍T對應(yīng)于1/2周期，其初始相位偏移為3π/2弧度。

圖3. f(x)與g(t)之間的關(guān)系 作者：Ken Gentile 來源：電子工程專輯

g(t)的范圍受T限制意味著u(t)也具有類似的范圍限制。因此，將所記錄的諧波幅值轉(zhuǎn)換到時域時，必須確保將u(t)限制在與g(t)相同的范圍T，如圖4所示。

圖4. g(t)和u(t)的時域范圍

請注意，實際的時間范圍T無關(guān)緊要，因為f(x)僅在g(t)和u(t)二者的幅值之間起轉(zhuǎn)換作用。為簡化分析，將基波頻率(f0)歸一化為1。因此，2次諧波的頻率為2，3次諧波的頻率為3，如此類推。所以，諧波頻率與諧波數(shù)(h)相等：fh=h。這一便捷關(guān)系可簡化從諧波測量結(jié)果Mh創(chuàng)建u(t)的數(shù)學計算。

正弦波的一般時域表達式為：

其中β為峰值振幅，θ為初始相位偏移。

用h代替f，并用Mh代替β，可以獲得各諧波uh(t)的時域表達式。不過應(yīng)記住，g(t)偏移3π/2弧度。此外，g(t)與u(t)之間通過f(x)關(guān)聯(lián)意味著g(t)和u(t)在相位上是對準的。用3π/2代替θ可提供所需的對準。下式中，請注意0 ≤t 1且π取代了2π，目的是將基波限制在范圍T所表示的半個周期：

利用各諧波uh(t)的時域表達式，便可以重構(gòu)復(fù)合輸出u(t)，表示為基波和諧波信號的和：

如前所述，我們的目標是將g(t)與u(t)相關(guān)以重構(gòu)DAC傳遞函數(shù)f(x)。此外，g(t)必須恰好由2N個樣本組成，以便與f(x)上的點一一對應(yīng)。因此，g(t)的樣本計算公式為：

(n=0,1,2,3 .. 2N–1)

g(t)由2N個樣本組成，因此由包括2N個采樣的u(t)采樣值集重構(gòu)f(x)似乎是合理的。然而，事實卻是至少需要2N+3個采樣才能為較小的Mh值提供適當?shù)木?。這種情況下，u(t)各采樣點的計算公式應(yīng)如下：

(n=0,1,2,3 .. 2N+3– 1)

請注意，這將導(dǎo)致u(t)所含的采樣數(shù)多于g(t)，u(t)的多個樣本可能與f(x)和g(t)上的一個點對應(yīng)，從而使u(t)和g(t)到f(x)的映射關(guān)系復(fù)雜化。因此，必須對特定的樣本組求平均值，以便提供到f(x)的合理映射。下面的偽代碼反映了所需的映射關(guān)系，其中假設(shè)使用一個N位DAC，g(t)有2N個點，u(t)有2N+3個點。陣列DacXfr含有2N個元素，初始值均為0。執(zhí)行該代碼后，陣列DacXfr的元素包含歸一化的DAC傳遞函數(shù)。

驗證

為驗證本文所述的方法，使用一臺頻譜分析儀來測量一個14位DAC的輸出；該DAC由一個代表理想正弦波的輸入序列驅(qū)動。記錄了前14次諧波的幅值（2次到15次，單位dBc），并利用這些值重構(gòu)DAC傳遞函數(shù)f(x)。然后，將理想正弦輸入序列g(shù)(t)代入重構(gòu)的DAC傳遞函數(shù)f(x)進行模擬，產(chǎn)生一個輸出序列。一個FFT將u(t)轉(zhuǎn)換為頻域等效值U(ω)。從U(ω)提取諧波幅值，并將其與頻譜分析儀的測量結(jié)果相比較，如表1所示。請注意，與7次諧波相關(guān)的最大誤差僅為0.065 dB。

由于比例關(guān)系，重構(gòu)傳遞函數(shù)的圖形呈現(xiàn)為一條直線(y＝x)。事實上，該傳遞函數(shù)與y＝x的偏差足以產(chǎn)生表1所示的諧波成分。為幫助理解，圖5僅顯示了該傳遞函數(shù)與理想直線的偏差。垂直軸的單位為LSB。

圖5. DAC傳遞函數(shù)的殘差