一種分?jǐn)?shù)階微分IIR濾波器的設(shè)計方法和改進

基于Rectangular算子的分?jǐn)?shù)階微分器傳輸函數(shù)可以寫為：

這里使用連續(xù)分?jǐn)?shù)擴充(CFE)法將展開上式，實現(xiàn)對函數(shù)的有限階逼近。下面列出T=0．001 s時，O．5階微分Rectangular分?jǐn)?shù)階微分濾波器傳遞函數(shù)GvRn(z)：

GvRn(z)中v表示微分階數(shù)；n表示濾波器階數(shù)。
1．3 基于Tustin算子的IIR分?jǐn)?shù)階數(shù)字微分濾波器
Tustin算子表示為：

基于Tustin算子的分?jǐn)?shù)階微分器傳輸函數(shù)可以寫為：

使用連續(xù)分?jǐn)?shù)擴充(CFE)方法將上式展開，完成對函數(shù)的有限階逼近。下面列出了T=0．001 s時，0．5階微分Tustin分?jǐn)?shù)階微分濾波器傳遞函數(shù)GvTn(z)：

GvTn中v表示微分階數(shù)；n表示濾波器階數(shù)。
圖2是基于典型Rectangular算子、Tustin算子和simpson算子的0．5階微分濾波器的頻率特性曲線，所實現(xiàn)的濾波器階數(shù)都是5階。從圖2中可以看出3種濾波器在低頻區(qū)域，幅度曲線還能與理想幅度一致，但隨著頻率增加，特別是在高頻區(qū)域，誤差迅速增大。

從圖2中可以看出，基于Rectangular濾波器的幅度特性最好，但相位特性明顯比另兩種算子的差。Tustin的優(yōu)點在于其相位特性非常好，相位曲線絕大部分區(qū)域都與理想頻率響應(yīng)相位曲線重合。Tustin和Sirepson有很強互補性。因為兩者在低頻的表現(xiàn)都比較好，雖然在高頻都有明顯誤差，但兩者的幅度曲線分別位于理想頻率曲線的上下兩側(cè)。因此，這里認(rèn)為通過這3種算子的相互結(jié)合，可以得到一種新的、頻率特性更好的微分算子。

2 通過內(nèi)插結(jié)合形成新分?jǐn)?shù)階微分濾波器
2．1 基于Rectangular算子和Tustin算子內(nèi)插結(jié)合的分?jǐn)?shù)階微分濾波器
通過觀察發(fā)現(xiàn)矩形(Rectangular)濾波器和梯形(Tustin)濾波器分別具有最好的幅頻和相頻特性，因此將這兩種濾波器通過內(nèi)插結(jié)合，可獲得更好的近似理想積分器。
由于微分和積分的互逆性，首先推導(dǎo)新的積分算子HA(z)。用下標(biāo)A表示結(jié)合后積分器，用下標(biāo)R表示矩形積分器，用下標(biāo)T表示梯形積分器，其積分算子的傳輸函數(shù)由Rectangular算子和Tustin算子按3：1的比率結(jié)合獲得。積分器傳輸函數(shù)如下所示：

其零點不在單位圓內(nèi)將零點z=一7映射到z=一1／7，通過乘以7對幅度進行相應(yīng)補償，獲得最小相位積分器如下：

下面是T=O．001 s時，使用該算子實現(xiàn)0．5階微分的IIR分?jǐn)?shù)階微分濾波器傳遞函數(shù)GvAn(z)：

2．2 基于Tustin算子和Simpson算子內(nèi)插結(jié)合的分?jǐn)?shù)階微分濾波器
同樣通過觀察發(fā)現(xiàn)Tustin算子和Simpson算子雖然在高頻都有明顯誤差，但兩者的幅度曲線分別位于理想頻率曲線的上下兩側(cè)，以期通過內(nèi)插結(jié)合相互抵消，而獲得性能更好的濾波器。新的積分算子HB(z)傳輸函數(shù)通過梯形(Tustin)算子和辛普森(Simpson)算子按2：3比例結(jié)合獲得。