運(yùn)算放大器電路固有噪聲的分析與測量(二)

噪聲的重要特性之一就是其頻譜密度。電壓噪聲頻譜密度是指每平方根赫茲的有效( RMS) 噪聲電壓（通常單位為nV/rt-Hz）。功率譜密度的單位為W/Hz。在上一篇文章中，我們了解到電阻的熱噪聲可用方程式 2.1 計(jì)算得出。該算式經(jīng)過修改也可適用于頻譜密度。熱噪聲的重要特性之一就在于頻譜密度圖較平坦（也就是說所有頻率的能量相同）。因此，熱噪聲有時(shí)也稱作寬帶噪聲。運(yùn)算放大器也存在寬帶噪聲。寬帶噪聲即為頻譜密度圖較平坦的噪聲。

表 2.1：磚墻式濾波器校正系數(shù)

既然我們有了將實(shí)際濾波器轉(zhuǎn)換為磚墻式濾波器的算式，那么我們就能很方便地進(jìn)行功率頻譜的積分運(yùn)算了。請記住，功率的積分運(yùn)算為電壓頻譜的平方。我們需將積分結(jié)果進(jìn)行平方根運(yùn)算轉(zhuǎn)換回電壓。方程式 2.3 即由此得出（見附錄 2.1）。因此，根據(jù)產(chǎn)品說明書中的數(shù)據(jù)套用方程式 2.2 、方程式 2.3便可計(jì)算出寬帶噪聲。

方程式 2.3：寬帶噪聲方程式

我們需記住，我們的目標(biāo)是測定圖 2.3 中噪聲源 Vn 的幅度。該噪聲源包括寬帶噪聲與 1/f 噪聲。我們用方程式 2.2 與 2.3 可計(jì)算出寬帶噪聲?，F(xiàn)在我們應(yīng)計(jì)算 1/f 噪聲，這就需求對噪聲頻率密度圖 1/f 區(qū)域的功率頻譜進(jìn)行積分計(jì)算（如圖 2.10所示）。我們可用方程式 2.4 和 2.5 獲得有關(guān)積分結(jié)果。方程式 2.4 將 1/f 區(qū)的噪聲測量結(jié)果歸一化為 1Hz 時(shí)的噪聲。某些情況下，我們可從圖中直接讀出該數(shù)值，有時(shí)用方程式更方便求得（見圖 2.11）。方程式2.5用歸一化噪聲、上部噪聲帶寬與下部噪聲帶寬來計(jì)算 1/f 噪聲。附錄 2.2 給出了整個(gè)演算過程。

圖 2.10：1/f 區(qū)域

方程式 2.4：頻率為 1Hz 時(shí)的噪聲 （歸一化）

圖 2.11：兩個(gè) 1/f 歸一化示例

方程式 2.5：1/f 噪聲計(jì)算

在考慮 1/f 噪聲時(shí)，我們必須選擇低頻截止點(diǎn)。這是因?yàn)?1/f 函數(shù)分母為零時(shí)無意義（即 1/0 無意義）。事實(shí)上，理論上 0 赫茲時(shí)噪聲趨近于無窮。但我們應(yīng)當(dāng)考慮到，頻率極低時(shí)，其相應(yīng)的時(shí)間也非常長。舉例來說，0.1Hz 對應(yīng)于 10 秒，而 0.001Hz則對應(yīng)于 1000 秒。對極低的頻率而言，對應(yīng)的時(shí)間有可能為數(shù)年（如 10nHz 對應(yīng)于 3 年）。頻率間隔越大，積分計(jì)算所得的噪聲就越大。不過我們也要記住，極低頻噪聲檢測需要很長時(shí)間。我們在以后的文章中將更詳細(xì)地探討此問題。目前，我們暫且記住這一點(diǎn)，1/f 計(jì)算時(shí)通常用 0.1Hz 作為低頻截止點(diǎn)。

既然我們已得到了寬帶與 1/f 噪聲的幅度，現(xiàn)在就用第一部分給出的無相關(guān)噪聲源算式來疊加噪聲源 （見如下方程式 2.6 與本系列文章的第一部分中的方程式 1.8）。

方程式 2.6： 1/f 與寬帶噪聲疊加結(jié)果

工程師考慮分析方法時(shí)通常會(huì)擔(dān)心，1/f 噪聲與寬帶噪聲是否應(yīng)在兩個(gè)不同的區(qū)域進(jìn)行積分計(jì)算。換言之，他們認(rèn)為，由于 1/f 噪聲與寬帶噪聲相加后會(huì)超出 1/f 區(qū)域，從而出現(xiàn)錯(cuò)誤。實(shí)際上，1/f 區(qū)域與寬帶區(qū)域一樣，都涵蓋所有頻率。我們必須記住，當(dāng)噪聲頻譜顯示在對數(shù)圖上，1/f 區(qū)在降至寬帶曲線以下后影響極小。兩條曲線結(jié)合明顯的唯一區(qū)域就在 1/f 半功率頻點(diǎn)處。在此區(qū)域中，我們看到兩區(qū)域結(jié)合部的情況與數(shù)學(xué)模型相同。圖 2.12 顯示了兩區(qū)實(shí)際重疊的情況，并給出了相應(yīng)的幅度。

圖 2.12：1/f 噪聲區(qū)與寬帶區(qū)重疊

現(xiàn)在，我們已得到了將噪聲頻譜密度曲線轉(zhuǎn)換為噪聲源所需的全部方程式。請注意，現(xiàn)在我們已推算出了電壓噪聲所需的方程式，不過相同的方法也可運(yùn)用于電流噪聲的計(jì)算。在本系列隨后的文章中，我們將討論用有關(guān)方程式來解決運(yùn)算放大器電流的噪聲分析問題。

本文總結(jié)與下一篇文章簡介

在噪聲系列文章中，本文介紹了運(yùn)算放大器的噪聲模型與噪聲頻譜密度曲線。此外，我們還介紹了基本的噪聲計(jì)算方程式。本系列的第三部分將用實(shí)例說明實(shí)際電路中的噪聲計(jì)算過程。

致謝！

特別感謝以下人員提供的技術(shù)意見

TIBurr-Brown 產(chǎn)品部：

Rod Bert，高級模擬 IC 設(shè)計(jì)經(jīng)理
Bruce Trump，線性產(chǎn)品經(jīng)理
Tim Green，應(yīng)用工程設(shè)計(jì)經(jīng)理
Neil Albaugh，高級應(yīng)用工程師

參考書目

Robert V. Hogg 與 Elliot A Tanis 共同編著的《概率與統(tǒng)計(jì)推斷》，第三版，麥克米蘭出版公司 (Macmillan Publishing Co.)出版；

C. D. Motchenbacher 與 J. A. Connelly 共同編著的《低噪聲電子系統(tǒng)設(shè)計(jì)》，Wiley-Interscience Publication 出版。
關(guān)于作者：

Arthur Kay是 TI 的高級應(yīng)用工程師。他專門負(fù)責(zé)傳感器信號調(diào)節(jié)器件的支持工作。他于 1993 年畢業(yè)于佐治亞理工學(xué)院 (Georgia Institute of Technology)并獲得電子工程碩士學(xué)位。他曾在 Burr-Brown與 Northrop Grumman 公司擔(dān)任過半導(dǎo)體測試工程師。

附錄 2.1：

附錄 2.2：

一階濾波器“磚墻”校正系數(shù)的演算過程。