FFT的前世今生（三）

窗函數(shù)對于FFT結(jié)果的影響

所謂頻譜泄露，就是信號頻譜中各譜線之間相互干擾，使測量的結(jié)果偏離實際值，同時在真實譜線的兩側(cè)的其它頻率點上出現(xiàn)一些幅值較小的假譜。產(chǎn)生頻譜泄露的主要原因是采樣頻率和原始信號頻率不同步，造成周期的采樣信號的相位在始端和終端不連續(xù)。簡單來說就是因為計算機的 FFT 運算能力有限，只能處理有限點數(shù)的 FFT，所以在截取時域的周期信號時，沒有能夠截取整數(shù)倍的周期。信號分析時不可能取無限大的樣本。只要有截斷不同步就會有泄露。

在圖1和圖2中，為了最大化FFT運算之后的頻率分辨率，我們使用了矩形窗。圖中的時域信號是500MHz正弦波信號，在頻譜上應(yīng)該僅在500MHz頻點上看到譜線。FFT運算研究的是整個時間域(-∞，+∞)與頻域的關(guān)系，所以對于矩形窗函數(shù)截取的波形應(yīng)該認(rèn)為是無窮延續(xù)的，因此，矩形窗100ns時間窗內(nèi)，包含了500MHz正弦波整50個周期，所以波形的首尾能夠整周期得無縫連接，F(xiàn)FT之后的頻譜會在500MHz頻點看到較為純凈的能量值。如下圖1所示：

圖1：矩形時間窗口內(nèi)包含整數(shù)倍周期的信號，首尾可以“無縫”連接

事實上，大多數(shù)類型的信號都不滿足上面的這種特殊情況，絕大多數(shù)信號在時間窗口內(nèi)都不是整周期的倍數(shù)，在這種情況下，F(xiàn)FT之后的頻譜就不能看做連續(xù)的正弦波了。例如，如果該正弦波的頻率是495MHz，在100ns時間窗口內(nèi)包含49.5個周期，因此在截取窗口的首尾部分就存在很大程度上的“不連續(xù)”，這種“不連續(xù)”會直接影響FFT之后的結(jié)果。“不連續(xù)”部分的能量會散落在整個頻譜范圍內(nèi)，使用100ns時間窗口，F(xiàn)FT之后的頻率分辨率是10MHz，495MHz頻點即落在490MHz與500MHz之間，所以495MHz正弦波信號的能量分成兩部分，所以從頻譜上看，峰值譜線明顯降低了，這被稱作是頻譜泄露(Leakage)。如下圖2所示：

不同的窗函數(shù)對信號頻譜的影響是不一樣的，這主要是因為不同的窗函數(shù)，產(chǎn)生泄漏的大小不一樣，頻率分辨能力也不一樣。信號的截短產(chǎn)生了能量泄漏，而用FFT算法計算頻譜又產(chǎn)生了柵欄效應(yīng)，從原理上講這兩種誤差都是不能消除的，但是我們可以通過選擇不同的窗函數(shù)對它們的影響進行抑制。(矩形窗主瓣窄，旁瓣大，頻率識別精度最高，幅值識別精度最低;布萊克曼窗主瓣寬，旁瓣小，頻率識別精度最低，但幅值識別精度最高)

為了減少頻譜旁瓣和柵欄效應(yīng)的影響，我們在FFT運算中使用窗函數(shù)，圖3顯示了Hanning(漢寧窗)使用后的效果。窗函數(shù)位于下圖中左上角的柵格中紅色的波形，疊加在黃色的時域信號上。窗函數(shù)與時域信號時域相乘。結(jié)果顯示在左下角的藍色波形。右下角的粉色波形顯示了進行FFT計算之后的頻譜圖，相對于右上角的使用窗函數(shù)之前的頻譜圖來說，旁瓣的幅度已經(jīng)大大減低。

對于不同的應(yīng)用需求還有多種不同的窗函數(shù)供工程師選擇，Hanning(漢寧窗)是使用最廣泛的一種窗函數(shù)，除此之外，Hamming(海明窗)，F(xiàn)lat-top窗和Balckman-Harris窗的效果，在下圖中做了對比，圖中的信號使用500MHz正弦波，矩形窗產(chǎn)生最窄的譜線，加Flat-top窗譜線最寬。

下圖4中顯示了同樣的窗函數(shù)對比，但是采用495MHz正弦波進行FFT運算，矩形窗顯示了最差旁瓣效果，F(xiàn)lat-top窗函數(shù)基本上保持了與圖3一樣的旁瓣效果，所以我們看到旁瓣的影響和精確頻率分辨率有時候是不可兼得的。(矩形窗主瓣窄，旁瓣大，頻率識別精度最高，幅值識別精度最低;Flat-top窗主瓣寬，旁瓣小，頻率識別精度最低，但幅值識別精度最高)

圖5中顯示了不同的窗函數(shù)對于柵欄效應(yīng)的抑制效果，圖中的正弦波頻率從450MHz增加到550MHz，步進值為500KHz，F(xiàn)lat-top窗在整個頻段上基本保持相同的值，矩形窗函數(shù)有約4dB的差值。

我們把關(guān)于窗函數(shù)的一些重要的結(jié)論總結(jié)如下：

1、 連續(xù)的FFT運算并沒有窗函數(shù)的概念，因為信號是充滿時間坐標(biāo)軸的，F(xiàn)FT之后的頻率分辨率是0，并不存在柵欄效應(yīng)。但是，示波器采集和處理的信號全部是離散的采樣點，是非連續(xù)的，所以DFT之后的頻譜一定存在柵欄效應(yīng)。

2、 如果能夠保證示波器時間窗口內(nèi)的信號是整數(shù)倍周期的(并且在信號時間窗口之前和之后的信號都是嚴(yán)格周期重復(fù)的)，或者采集信號時間足夠長，基本上可以覆蓋到整個有效信號的時間跨度。這種方法經(jīng)常在瞬態(tài)捕捉中被使用到，比如說沖擊試驗，如果捕捉的時間夠長，捕捉到的信號可以一直包括了振動衰減為零的時刻。在這種情況下，可以不加窗函數(shù)。

3、 如果不滿足1和2，那么FFT計算之后的頻譜就不可避免受到頻譜泄露(Leakage)的影響，如頻點分裂，幅值能量不精確等等，總之就是頻譜線比較難看，這時候就需要使用適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)，以滿足我們工程測量的需要。

4、 示波器中的FFT運算，不加窗和加矩形窗是一回事。

5、 窗函數(shù)會改變頻域波形，讓頻譜形成人們“喜歡”的形狀，但是不會本質(zhì)上消除頻譜泄露，不同的窗函數(shù)都有其獨特的特性，我們只需要根據(jù)工程測試的需要，選擇一款合適的就可以了。