控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性標準的相關知識

在電子領域，振蕩器是一種能夠產(chǎn)生自激正弦信號的電路。在多種多樣的配置中，振蕩器的加速過程牽涉到采用振蕩器的電子電路固有的噪聲。上電時噪聲等級上升，此時開始振蕩及自激。此類電路可采用圖1所示的構成模塊組成。如您所視，此配置看上去非常接近于我們控制系統(tǒng)的配置。

圖1：振蕩器實質(zhì)上是一種誤差信號，不會妨礙輸出信號變化的控制系統(tǒng)。

在我們的示例中，勵磁輸入并非噪聲，而是電壓電平Vin，它被注入為輸入變量以啟動振蕩器。直接通道由傳遞函數(shù)H(s)構成，而返回通道包含G(s)區(qū)塊。要分析此系統(tǒng)，我們首先通過輸出電壓與輸入變量的變化關系方程式來寫出其傳遞函數(shù)：

在此方程式中，乘積G(s)H(s)稱作環(huán)路增益，其標記為T(s)。要將我們的系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為自激振蕩器，則必須存在輸出信號，即使輸入信號已消失。為了滿足這樣的目標，就必須符合下列條件：

圖2：振蕩條件能以波特圖或奈奎斯特圖來表述。

在滿足這兩個方程式的條件下，我們就得到穩(wěn)態(tài)振蕩條件。這就是所謂的巴考森(Barkhausen)標準，由德國物理學家Barkhause在1921年提出。實際上講，在一個控制環(huán)路系統(tǒng)中，它表示修正信號不再抗拒輸出，而是相位形式返回，振幅恰好與勵磁信號相同。方程式(6)和(7) 在波特圖(Bode plot)中表示環(huán)路增益曲線，此曲線穿過0 dB軸，且恰好在此點受180°相位滯后影響。在奈奎斯特分析中，環(huán)路增益的虛數(shù)及實數(shù)部份相對頻率的變化關系被繪制成圖，此點對應于-1, j0。圖2顯示了滿足振蕩條件的兩個曲線。如果系統(tǒng)略微偏離這些值(如溫度漂移、增益變化)，輸出振蕩要么會以指數(shù)形式下降至0，要么振幅發(fā)散，直到達到較高或較低的電源軌。在振蕩器中，設計人員竭力盡可能多地降低增益余量，使振蕩條件在多種工作條件下都能滿足。

穩(wěn)定條件

如您所知，控制系統(tǒng)的目標不是構建振蕩器。我們希望控制系統(tǒng)提供高速、精確及無振蕩的響應。因此，我們必須避開滿足振蕩或發(fā)散條件的配置。一種方式是限制系統(tǒng)會作出反應的頻率范圍。就定義而言，頻率范圍或帶寬，對應于從輸入到輸出之閉合環(huán)路傳輸通道下降3 dB的頻率。閉合環(huán)路系統(tǒng)的帶寬能被視作頻率范圍，在此范圍內(nèi)系統(tǒng)被認為會極佳地響應其輸入(即遵循設定點或有效地抑制擾動)。我們在后文會看到，在設計階段，我們并不直接控制閉合環(huán)路帶寬，但會控制交越頻率(crossover frequency) fc——這是一項跟開環(huán)路分析有關的參數(shù)。這兩個變量通常被概略認為相等，但我們會看到這僅在一種條件下成立。然而，它們相差得也不太遠，在討論中這兩項能互換。

我們已經(jīng)看到，開環(huán)路增益是我們系統(tǒng)中的一項重要參數(shù)。當增益存在時(即|T(s)|>1)，系統(tǒng)以動態(tài)閉合環(huán)路工作，能補償輸入的擾動或?qū)υO定點變化作出反應。然而，系統(tǒng)反應也存在限制：系統(tǒng)必須在擾動信號所涉及的頻率提供增益。如果設定點變化的擾動太快，勵磁信號的頻率成分就低于系統(tǒng)帶寬，表示這些頻率缺少增益：系統(tǒng)變慢且不會作出反應，工作狀態(tài)就像環(huán)路對波形變化沒有響應。那么，是否就要求無限大的帶寬呢？不是的，因為增加帶寬就象是拓寬漏斗的直徑：您當然可以收集到更多信息，并對輸入振動更快地作出反應，但系統(tǒng)也將接收到偽信號(spurious signal)，如轉(zhuǎn)換器在某些情況下自己產(chǎn)生的噪聲及寄生參數(shù)(如開關電源中的輸出漣波)。因此，強制要求將帶寬限制在您應用真正要求的范圍。采用的帶寬太寬將削弱系統(tǒng)的抗噪聲性能(如其抑制外部寄生信號的強固性)。

限制帶寬

我們怎樣限制控制系統(tǒng)的帶寬？方法就是通過補償器區(qū)塊G改變環(huán)路增益曲線。此區(qū)塊將確保在一定量的頻率fc后，環(huán)路增益的大小|T(fc)|下降至低于1或0 dB。如同我們所闡述的，一旦環(huán)路閉合，它大致就是您的控制系統(tǒng)的帶寬。發(fā)生此現(xiàn)象時的頻率稱作交越頻率，標作fc。這就是否足夠獲得強健的系統(tǒng)？不是的，我們需要確保另一個重要參數(shù)：幅值為1的點的相位T(s)必須低于-180°。從我們的實驗來看，我們已經(jīng)看到當環(huán)路增益在交越頻率處低于-180°時，我們獲得了朝穩(wěn)態(tài)收斂的響應。這很明顯是我們控制系統(tǒng)極想要的一種特征。為了確保我們在交越時避開-180°，補償器G(s)必須在選定的交越頻率處訂制環(huán)路幅角(argument)以構建相位余量(phase margin, PM或φm)。相位余量可以被視作一項設計或安全限制，確保在即使存在外部擾動或不可避免的生產(chǎn)差異范圍(production spread)的情況下，環(huán)路增益的變化不會破壞穩(wěn)定性。我們在后文會看到，相位余量還會影響系統(tǒng)的瞬時響應。因此，相位余量的選擇并不只是取決于穩(wěn)定性考慮因素，還取決于您期望的瞬時響應類型。相位余量的數(shù)學定義如下所示：

其中T代表開環(huán)路增益，其中包括分級的控體H和補償器G增益。