控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性標(biāo)準(zhǔn)的相關(guān)知識(shí)

在電子領(lǐng)域，振蕩器是一種能夠產(chǎn)生自激正弦信號(hào)的電路。在多種多樣的配置中，振蕩器的加速過程牽涉到采用振蕩器的電子電路固有的噪聲。上電時(shí)噪聲等級(jí)上升，此時(shí)開始振蕩及自激。此類電路可采用圖1所示的構(gòu)成模塊組成。如您所視，此配置看上去非常接近于我們控制系統(tǒng)的配置。

圖1：振蕩器實(shí)質(zhì)上是一種誤差信號(hào)，不會(huì)妨礙輸出信號(hào)變化的控制系統(tǒng)。

在我們的示例中，勵(lì)磁輸入并非噪聲，而是電壓電平Vin，它被注入為輸入變量以啟動(dòng)振蕩器。直接通道由傳遞函數(shù)H(s)構(gòu)成，而返回通道包含G(s)區(qū)塊。要分析此系統(tǒng)，我們首先通過輸出電壓與輸入變量的變化關(guān)系方程式來寫出其傳遞函數(shù)：

在此方程式中，乘積G(s)H(s)稱作環(huán)路增益，其標(biāo)記為T(s)。要將我們的系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為自激振蕩器，則必須存在輸出信號(hào)，即使輸入信號(hào)已消失。為了滿足這樣的目標(biāo)，就必須符合下列條件：

圖2：振蕩條件能以波特圖或奈奎斯特圖來表述。

在滿足這兩個(gè)方程式的條件下，我們就得到穩(wěn)態(tài)振蕩條件。這就是所謂的巴考森(Barkhausen)標(biāo)準(zhǔn)，由德國物理學(xué)家Barkhause在1921年提出。實(shí)際上講，在一個(gè)控制環(huán)路系統(tǒng)中，它表示修正信號(hào)不再抗拒輸出，而是相位形式返回，振幅恰好與勵(lì)磁信號(hào)相同。方程式(6)和(7) 在波特圖(Bode plot)中表示環(huán)路增益曲線，此曲線穿過0 dB軸，且恰好在此點(diǎn)受180°相位滯后影響。在奈奎斯特分析中，環(huán)路增益的虛數(shù)及實(shí)數(shù)部份相對(duì)頻率的變化關(guān)系被繪制成圖，此點(diǎn)對(duì)應(yīng)于-1, j0。圖2顯示了滿足振蕩條件的兩個(gè)曲線。如果系統(tǒng)略微偏離這些值(如溫度漂移、增益變化)，輸出振蕩要么會(huì)以指數(shù)形式下降至0，要么振幅發(fā)散，直到達(dá)到較高或較低的電源軌。在振蕩器中，設(shè)計(jì)人員竭力盡可能多地降低增益余量，使振蕩條件在多種工作條件下都能滿足。

穩(wěn)定條件

如您所知，控制系統(tǒng)的目標(biāo)不是構(gòu)建振蕩器。我們希望控制系統(tǒng)提供高速、精確及無振蕩的響應(yīng)。因此，我們必須避開滿足振蕩或發(fā)散條件的配置。一種方式是限制系統(tǒng)會(huì)作出反應(yīng)的頻率范圍。就定義而言，頻率范圍或帶寬，對(duì)應(yīng)于從輸入到輸出之閉合環(huán)路傳輸通道下降3 dB的頻率。閉合環(huán)路系統(tǒng)的帶寬能被視作頻率范圍，在此范圍內(nèi)系統(tǒng)被認(rèn)為會(huì)極佳地響應(yīng)其輸入(即遵循設(shè)定點(diǎn)或有效地抑制擾動(dòng))。我們?cè)诤笪臅?huì)看到，在設(shè)計(jì)階段，我們并不直接控制閉合環(huán)路帶寬，但會(huì)控制交越頻率(crossover frequency) fc——這是一項(xiàng)跟開環(huán)路分析有關(guān)的參數(shù)。這兩個(gè)變量通常被概略認(rèn)為相等，但我們會(huì)看到這僅在一種條件下成立。然而，它們相差得也不太遠(yuǎn)，在討論中這兩項(xiàng)能互換。

我們已經(jīng)看到，開環(huán)路增益是我們系統(tǒng)中的一項(xiàng)重要參數(shù)。當(dāng)增益存在時(shí)(即|T(s)|>1)，系統(tǒng)以動(dòng)態(tài)閉合環(huán)路工作，能補(bǔ)償輸入的擾動(dòng)或?qū)υO(shè)定點(diǎn)變化作出反應(yīng)。然而，系統(tǒng)反應(yīng)也存在限制：系統(tǒng)必須在擾動(dòng)信號(hào)所涉及的頻率提供增益。如果設(shè)定點(diǎn)變化的擾動(dòng)太快，勵(lì)磁信號(hào)的頻率成分就低于系統(tǒng)帶寬，表示這些頻率缺少增益：系統(tǒng)變慢且不會(huì)作出反應(yīng)，工作狀態(tài)就像環(huán)路對(duì)波形變化沒有響應(yīng)。那么，是否就要求無限大的帶寬呢？不是的，因?yàn)樵黾訋捑拖笫峭貙捖┒返闹睆剑耗?dāng)然可以收集到更多信息，并對(duì)輸入振動(dòng)更快地作出反應(yīng)，但系統(tǒng)也將接收到偽信號(hào)(spurious signal)，如轉(zhuǎn)換器在某些情況下自己產(chǎn)生的噪聲及寄生參數(shù)(如開關(guān)電源中的輸出漣波)。因此，強(qiáng)制要求將帶寬限制在您應(yīng)用真正要求的范圍。采用的帶寬太寬將削弱系統(tǒng)的抗噪聲性能(如其抑制外部寄生信號(hào)的強(qiáng)固性)。

限制帶寬

我們?cè)鯓酉拗瓶刂葡到y(tǒng)的帶寬？方法就是通過補(bǔ)償器區(qū)塊G改變環(huán)路增益曲線。此區(qū)塊將確保在一定量的頻率fc后，環(huán)路增益的大小|T(fc)|下降至低于1或0 dB。如同我們所闡述的，一旦環(huán)路閉合，它大致就是您的控制系統(tǒng)的帶寬。發(fā)生此現(xiàn)象時(shí)的頻率稱作交越頻率，標(biāo)作fc。這就是否足夠獲得強(qiáng)健的系統(tǒng)？不是的，我們需要確保另一個(gè)重要參數(shù)：幅值為1的點(diǎn)的相位T(s)必須低于-180°。從我們的實(shí)驗(yàn)來看，我們已經(jīng)看到當(dāng)環(huán)路增益在交越頻率處低于-180°時(shí)，我們獲得了朝穩(wěn)態(tài)收斂的響應(yīng)。這很明顯是我們控制系統(tǒng)極想要的一種特征。為了確保我們?cè)诮辉綍r(shí)避開-180°，補(bǔ)償器G(s)必須在選定的交越頻率處訂制環(huán)路幅角(argument)以構(gòu)建相位余量(phase margin, PM或φm)。相位余量可以被視作一項(xiàng)設(shè)計(jì)或安全限制，確保在即使存在外部擾動(dòng)或不可避免的生產(chǎn)差異范圍(production spread)的情況下，環(huán)路增益的變化不會(huì)破壞穩(wěn)定性。我們?cè)诤笪臅?huì)看到，相位余量還會(huì)影響系統(tǒng)的瞬時(shí)響應(yīng)。因此，相位余量的選擇并不只是取決于穩(wěn)定性考慮因素，還取決于您期望的瞬時(shí)響應(yīng)類型。相位余量的數(shù)學(xué)定義如下所示：

其中T代表開環(huán)路增益，其中包括分級(jí)的控體H和補(bǔ)償器G增益。