圖像處理中的數(shù)學原理詳解（Part8）——傅立葉變換的來龍去脈

　　千呼萬喚始出來，我們前面已經(jīng)做了很多很多的準備，終于可以揭開傅立葉變換的面紗了。當然，在閱讀這篇文章之前，請務(wù)必保證你已經(jīng)掌握了傅立葉級數(shù)的所有內(nèi)容，可以參看

　　圖像處理中的數(shù)學原理詳解(Part4) ——傅立葉級數(shù)的概念1

　　http://www.ex-cimer.com/article/201703/344947.htm

　　圖像處理中的數(shù)學原理詳解(Part5) ——傅立葉級數(shù)的概念2

　　http://www.ex-cimer.com/article/201703/344948.htm

　　1.4.4 傅立葉變換的由來

　　這就是傅立葉變換及其反變換的表達式。一般情況下，若“傅立葉變換”一詞前不加任何限定語，則指的是“連續(xù)傅立葉變換”(連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換)。連續(xù)傅立葉變換將頻率域的函數(shù)F(w) 表示為時間域的函數(shù)f(t)的積分形式。而其逆變換則是將時間域的函數(shù)f(t)表示為頻率域的復指數(shù)函數(shù)F(w)的積分。一般可稱函數(shù)f(t)為原函數(shù)，而稱函數(shù)F(w)為傅立葉變換的像函數(shù)，原函數(shù)和像函數(shù)構(gòu)成一個傅立葉變換對。

　　若f(t)為偶函數(shù)，則F(w)將為純實數(shù)，并且同為偶函數(shù)(利用這一點便可以得到所謂的余弦變換);如果f(t)為奇函數(shù)，則F(w)將為純虛數(shù)，且同為奇函數(shù);而對任意f(t)， F(w)與F(-w) 始終共軛，這意味著|F(w)| 與|F(-w)| 恒相等，即F(w)的絕對值是偶函數(shù)。

　　傅立葉變換針對的是非周期函數(shù)，或者說是周期為無窮大的函數(shù)。所以它是傅立葉級數(shù)的一個特例。當傅立葉級數(shù)的周期 l 趨于無窮時，自然就變成了上面的傅立葉變換。這種關(guān)系從二者的表達式中大概能看出點端倪，但也不是特別明顯，畢竟它們的表達形式差別仍然很大。如果不把傅立葉級數(shù)表達成復數(shù)形式，那就更加難看出二者之間的聯(lián)系了。傅立葉變換要求 f(t)在實數(shù)域 上絕對可積，其實可以理解成“傅立葉級數(shù)要求函數(shù)在一個周期內(nèi)的積分必須收斂”。

　　傅立葉變換是信號處理中的重要工具。在信號處理中， f(t)表示的一個信號在時域上的分布情況，而F(w) 則表示一個信號在頻域(或變換域)上的分布情況。這是因為 F(w)的分布其實就代表了各角頻率波分量的分布。由于 F(w)是復數(shù)，|F(w)| 的分布正比地體現(xiàn)了各個角頻率波分量的振幅分布。F(w) 的輻角體現(xiàn)了各個角頻率波分量的相位分布。平時所說的“頻譜圖”，其實指的就是|F(w)|的函數(shù)圖像，它始終是偶函數(shù)(這個就是實數(shù)了，因為取的是|F(w)| 的幅值而不是 F(w)本身)。對于滿足傅立葉變換條件的非周期函數(shù)，他們的頻譜圖一般都是連續(xù)的;而對于周期函數(shù)，他們的頻譜則都是離散的點，只在整數(shù)倍角基頻( π/ l)的位置有非零的頻譜點存在。根據(jù)頻譜圖可以很容易判斷該原函數(shù)是周期函數(shù)還是非周期的(看頻譜圖是否連續(xù)就可以了)，而且對于周期函數(shù)，可以從頻譜圖讀出周期大小(相鄰的離散點之間的橫軸間距就是角基頻，這個角頻率對應的周期就是原函數(shù)的周期)。關(guān)于傅立葉變換在信號處理中更加深入的應用讀者有必要參閱相關(guān)資料，此處我們的介紹旨在幫助讀者搞清楚傅立葉變換的由來，并建立傅立葉變換與傅立葉級數(shù)之間的關(guān)系。