基于CORDIC算法的光相位檢測及FPGA實現(xiàn)

當(dāng)前，非接觸式測量已經(jīng)逐漸取代接觸式測量，成為測量發(fā)展的方向。而在各種各樣的非接觸式測量方法中，光纖干涉投射技術(shù)測量物體表面形貌的方法，由于其光路具有柔軟、形狀可變、傳輸距離遠(yuǎn)、抗干擾能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，得到了越來越廣泛的應(yīng)用，尤其在各種有強(qiáng)電磁干擾、易燃易爆等惡劣環(huán)境中，光纖干涉投射測量技術(shù)更是有著很高的應(yīng)用價值。

在光纖干涉投射技術(shù)中，裸露在空氣中的光纖容易受到溫度、振動的影響，使臂長差發(fā)生變化，進(jìn)而產(chǎn)生光相位的變化，導(dǎo)致干涉條紋漂移，從而影響到測量的精度[1]。交流相位跟蹤零差補(bǔ)償技術(shù)（PTAC）是實現(xiàn)光纖相位變化檢測和誤差補(bǔ)償?shù)囊环N關(guān)鍵技術(shù)[2]，其中涉及信號解調(diào)和相位求解，求解反正弦是相位求解的一種主要方法[2]。在FPGA中，傳統(tǒng)的求解反正弦函數(shù)的主要方法是查找表法[3]，查找表數(shù)據(jù)量的大小和精度緊密相關(guān)，在高精度下，查找表法需要大量存儲單元，另外也需要校正算法來計算未計入表中的點(diǎn)，這樣就對處理器資源提出很高的要求。

針對傳統(tǒng)反正弦函數(shù)求解方法的缺點(diǎn)，本文采用CORDIC算法求解反正弦值，得到光相位變化并在FPGA中設(shè)計了CORDIC算法實現(xiàn)的流水線結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到了對光相位變化的實時檢測。同時，提出采用查找表配合拋物線插值校正算法解決CORDIC算法在運(yùn)算中存在的“死區(qū)”問題。通過實驗驗證該了方法的可行性。

1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

光纖干涉投射系統(tǒng)由激光器、聚焦透鏡和3 dB耦合器等組成。激光器發(fā)出的激光經(jīng)過聚焦透鏡耦合到光纖，經(jīng)3 dB耦合器分光后由兩光纖臂輸出。兩光纖輸出端可被看作是楊氏雙孔干涉中的兩個小孔，其輸出光由同一點(diǎn)光源發(fā)出，頻率相同，具有恒定的相位差，滿足楊氏雙孔干涉條件，從而在輸出端產(chǎn)生干涉條紋。在實際測量中，溫度、振動的影響使光纖發(fā)生臂長差變化，從而使光相位發(fā)生變化，導(dǎo)致干涉條紋漂移。為解決這一問題，通過PTAC對光相位進(jìn)行調(diào)制解調(diào)得到光相位變化信息并對相位誤差進(jìn)行補(bǔ)償。

如圖1所示，光纖干涉投射交流相位跟蹤零差補(bǔ)償系統(tǒng)由激光器、聚焦透鏡、3 dB耦合器、PZT和信號調(diào)理等部分組成。兩輸出臂分別纏繞在兩個PZT上，一路作為信號臂對光相位進(jìn)行調(diào)制，另一路用作控制和補(bǔ)償。兩條輸出臂投射端面存在反射，反射的光返回到3 dB耦合器中發(fā)生干涉，構(gòu)成馬赫-澤德干涉儀[4]，干涉的光由光電探測器PD接收。信號臂反射回耦合器的光包含光相位調(diào)制信息，同時也存在著由環(huán)境影響產(chǎn)生的光相位變化信息。兩束反射光在耦合器中發(fā)生干涉，則光相位調(diào)制信息轉(zhuǎn)化為光強(qiáng)變化，再由光電探測器將光強(qiáng)變化轉(zhuǎn)化為電信號。

經(jīng)過AD轉(zhuǎn)換后，輸入FPGA進(jìn)行計算，通過求解反正弦求出?琢。改變驅(qū)動器的直流偏置，即改變待測鏡和參考鏡的相位差?琢。再經(jīng)過數(shù)模轉(zhuǎn)換、高壓放大，通過控制PZT2調(diào)整另一輸出臂的長度，使兩光纖臂相位差保持為一正弦函數(shù)，消除溫度振動等環(huán)境因素帶來的影響。

2 反正弦算法實現(xiàn)

2.1 反正弦算法原理

基于CORDIC算法計算反正弦。數(shù)字信號處理中常常會遇到求解超越函數(shù)的問題，如求解矢量旋轉(zhuǎn)、反三角函數(shù)運(yùn)算、雙曲函數(shù)等，CORDIC是為了這些問題而提出的[5]。CORDIC基本思想是用一組確定的角度不斷擺偏去逼近所求的角度，而這一組角度與運(yùn)算基數(shù)（2i）有關(guān)。在硬件電路中，CORDIC運(yùn)算可以只通過加減操作和移位操作實現(xiàn)，大大節(jié)約了資源。CORDIC算法可由式(3)、(4)、(5)、(6)給出[6]。其中，(xi，yi)是矢量的坐標(biāo)，zi為剩余未旋轉(zhuǎn)的角度。


2.2 反正弦程序設(shè)計

2.2.1 字長設(shè)計

輸入值范圍為[-1，1]，輸入FPGA的初值c為12位。選第一位為符號位，第二位為整數(shù)位，后10位為小數(shù)位。在FPGA中，使用浮點(diǎn)形式計算小數(shù)比較復(fù)雜，因此，將小數(shù)部分左移10位，化成定點(diǎn)形式運(yùn)算。CORDIC的計算次數(shù)取決于xi、yi的小數(shù)位數(shù)。如式(8)，用yi與輸入初值c比較，如果yi的小數(shù)位為10位，則最多進(jìn)行10次CORDIC計算，精度很難保證。因此，設(shè)計xi、yi的小數(shù)位為22位，在c后面補(bǔ)0，補(bǔ)足22位小數(shù)位，則最多可進(jìn)行22次CORDIC計算。因為z的值域范圍為[-1.570 8 rad，1.570 8 rad]，將z設(shè)計成25位，z[24]為符號位，z[23:22]為整數(shù)位，z[21:0]為小數(shù)位。

2.2.2 實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的設(shè)計

在FPGA中，CORDIC的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)可以選擇迭代結(jié)構(gòu)或流水線結(jié)構(gòu)。迭代結(jié)構(gòu)是直接由公式寫出循環(huán)語句，處理完當(dāng)前數(shù)據(jù)才可以處理下一個數(shù)據(jù)，缺點(diǎn)是效率低。本設(shè)計采用流水線結(jié)構(gòu)，流水線結(jié)構(gòu)在數(shù)據(jù)處理的同時，還能繼續(xù)輸入和處理后續(xù)數(shù)據(jù)，提高了數(shù)據(jù)吞吐率。此外，設(shè)計中采用前端數(shù)據(jù)處理加22級CORDIC計算加后端處理，第一個數(shù)據(jù)需要24個時鐘周期處理完畢，之后每個周期都可以輸出一個處理結(jié)果，可以顯著提高數(shù)據(jù)處理速度。

2.2.3 CORDIC結(jié)構(gòu)

本設(shè)計總共有22級CORDIC計算模塊，第i級CORDIC計算模塊如圖3所示。yi與|ci|比較，決定di的值，再根據(jù)式(7)來計算xi+1、yi+1、zi+1，同時傳遞輸入值的符號位，在流水線的后端處理模塊處理。若輸入c[11]為1，則結(jié)果為-arcsinc；若輸入c[11]為0，則結(jié)果為arcsinc。


3 算法校正

輸入數(shù)據(jù)范圍為[-1，1]，將計算結(jié)果與真實結(jié)果比較，得到誤差分布如圖4所示。

由圖4可見，在橫坐標(biāo)絕對值為0.6、0.8、0.9附近出現(xiàn)較大誤差，最大誤差達(dá)到10-1數(shù)量級。CORDIC算法使用的是一種數(shù)值計算逼近的思想，增減的步長值是離散的，為arctan(2i)。在橫坐標(biāo)絕對值為0.3、0.6、0.8、0.9附近，CORDIC計算存在“死區(qū)”。本文采用查找表和拋物線插值校正，在誤差值較大的區(qū)間[c1，c3]，令：

在前端數(shù)據(jù)處理中判斷輸入值是否在需要校正的區(qū)間，若在則進(jìn)行拋物線插值校正。用少量查找表存儲校正區(qū)間端點(diǎn)的反正弦值和分母的比值。選用FPGA為32 bit，在其中設(shè)計乘法運(yùn)算時，乘數(shù)和被乘數(shù)最高為16 bit才不會使數(shù)據(jù)溢出。在所有拋物線插值校正系數(shù)中，區(qū)間[0.95，0.96]上拋物線插值校正的一次項系數(shù)最大為22.108 9。因此選擇高5位為整數(shù)位，低11位為小數(shù)位進(jìn)行運(yùn)算。

4 實驗與仿真

CORDIC程序流程圖如圖5所示，初始化之后，先判斷輸入值c是否在需要校正的區(qū)間。若是，則進(jìn)入拋物線插值校正運(yùn)算；否則進(jìn)行CORDIC運(yùn)算，使x0=1/An，y0=0，z0=0。CORDIC運(yùn)算計算出一個小數(shù)的反正弦值需要24個時鐘周期，為了保證流水線的機(jī)能，當(dāng)輸入值c在需要校正的區(qū)間時，插值計算后的數(shù)據(jù)在CORDIC運(yùn)算模塊中直接傳輸。計算出反正弦值后，判斷輸入值c的符號位，如果是0，則c為正數(shù)，反正弦值也為正數(shù)；如果是1，則c為負(fù)數(shù)，反正弦值也為負(fù)數(shù)。

仿真軟件采用ModelSim SE PLUS 6.2b。輸入的c值范圍為[-1，1]，存放在ModelSim的測試激勵文件中。處理一個數(shù)據(jù)需要24個時鐘周期，之后每個周期都能輸出一個數(shù)據(jù)，如圖6所示。

將仿真后的數(shù)據(jù)導(dǎo)入Matlab得到反正弦仿真曲線，如圖7(a)所示，并與理想值對比，得到如圖7(b)所示誤差曲線，CORDIC計算部分弧度值精度達(dá)到10-4數(shù)量級，經(jīng)過校正的部分，誤差從10-1數(shù)量級降到10-4數(shù)量級。
本設(shè)計采用流水線結(jié)構(gòu)，提高了數(shù)據(jù)吞吐率。仿真實驗表明，光相位的誤差精度達(dá)到10-4數(shù)量級，精度較高，且具有較高的運(yùn)算速度，適合大數(shù)據(jù)量高速處理。