人工智能之PCA算法

　　PCA算法本質(zhì)：

　　PCA算法本質(zhì)就是找一些投影方向，使得數(shù)據(jù)在這些投影方向上的方差最大，而且這些投影方向是相互正交的。這其實(shí)就是找新的正交基的過程，計(jì)算原始數(shù)據(jù)在這些正交基上投影的方差，方差越大，就說明在對(duì)應(yīng)正交基上包含了更多的信息量。原始數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的特征值越大，對(duì)應(yīng)的方差越大，在對(duì)應(yīng)的特征向量上投影的信息量就越大。反之，如果特征值較小，則說明數(shù)據(jù)在這些特征向量上投影的信息量很小，可以將小特征值對(duì)應(yīng)方向的數(shù)據(jù)刪除，從而達(dá)到了降維的目的。

　　PCA把可能具有相關(guān)性的高維變量合成線性無關(guān)的低維變量，稱為主成分( principal components)。新的低維數(shù)據(jù)集會(huì)盡可能保留原始數(shù)據(jù)的變量。

　　簡(jiǎn)而言之，PCA本質(zhì)上是將方差最大的方向作為主要特征，并且在各個(gè)正交方向上將數(shù)據(jù)“離相關(guān)”，也就是讓它們?cè)诓煌环较蛏蠜]有相關(guān)性。

　　PCA算法中術(shù)語：

　　1、樣本“信息量”

　　樣本的“信息量”指的是樣本在特征方向上投影的方差。方差越大，則樣本在該特征上的差異就越大，因此該特征就越重要。在分類問題里，樣本的方差越大，越容易將不同類別的樣本區(qū)分開。

　　2、方差

　　希望投影后投影值盡可能分散，而這種分散程度，可以用數(shù)學(xué)上的方差來表述。在統(tǒng)計(jì)描述中，方差用來計(jì)算每一個(gè)變量(觀察值)與總體均數(shù)之間的差異。此處，一個(gè)字段的方差可以看做是每個(gè)元素與字段均值的差的平方和的均值，即：

　　3、協(xié)方差

　　對(duì)于二維降成一維的問題來說，找到使得方差最大的方向就可以了。但是對(duì)于更高維的問題，需要用到協(xié)方差來表示其相關(guān)性。即：

　　PCA理論基礎(chǔ)：

　　PCA理論基礎(chǔ)如下：

　　1)最大方差理論。

　　2)最小錯(cuò)誤理論。

　　3)坐標(biāo)軸相關(guān)度理論。

　　PCA算法流程：

　　1)去平均值，即每一位特征減去各自的平均值;

　　2)計(jì)算協(xié)方差矩陣;

　　3)計(jì)算協(xié)方差矩陣的特征值與特征向量;

　　4)對(duì)特征值從大到小排序;

　　5)保留最大的個(gè)特征向量;

　　6)將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到個(gè)特征向量構(gòu)建的新空間中。

　　PCA降維準(zhǔn)則：

　　1) 最近重構(gòu)性：樣本集中所有點(diǎn)，重構(gòu)后的點(diǎn)距離原來的點(diǎn)的誤差之和最小。

　　2) 最大可分性：樣本在低維空間的投影盡可能分開。

　　PCA算法優(yōu)點(diǎn)：

　　1)使得數(shù)據(jù)集更易使用;

　　2)降低算法的計(jì)算開銷;

　　3)去除噪聲;

　　4)使得結(jié)果容易理解;

　　5)完全無參數(shù)限制。

　　PCA算法缺點(diǎn)：

　　1) 如果用戶對(duì)觀測(cè)對(duì)象有一定的先驗(yàn)知識(shí)，掌握了數(shù)據(jù)的一些特征，卻無法通過參數(shù)化等方法對(duì)處理過程進(jìn)行干預(yù)，可能會(huì)得不到預(yù)期的效果，效率也不高;

　　2) 特征值分解有一些局限性，比如變換的矩陣必須是方陣;

　　3) 在非高斯分布情況下，PCA方法得出的主元可能并不是最優(yōu)的。

　　PCA算法應(yīng)用：

　　PCA算法已經(jīng)被廣泛的應(yīng)用于高維數(shù)據(jù)集的探索與可視化，還可以用于數(shù)據(jù)壓縮，數(shù)據(jù)預(yù)處理等領(lǐng)域。在機(jī)器學(xué)習(xí)當(dāng)中應(yīng)用很廣，比如圖像，語音，通信的分析處理。PCA算法最主要的用途在于“降維”，去除掉數(shù)據(jù)的一些冗余信息和噪聲，使數(shù)據(jù)變得更加簡(jiǎn)單高效，提高其他機(jī)器學(xué)習(xí)任務(wù)的計(jì)算效率。

　　結(jié)語：

　　PCA是一種常用的數(shù)據(jù)分析方法。PCA通過線性變換將原始數(shù)據(jù)變換為一組各維度線性無關(guān)的表示，可用于識(shí)別和提取數(shù)據(jù)的主要特征分量，通過將數(shù)據(jù)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)到數(shù)據(jù)角度上那些最重要的方向(方差最大);然后通過特征值分析，確定出需要保留的主成分個(gè)數(shù)，舍棄其他非主成分，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的降維。降維使數(shù)據(jù)變得更加簡(jiǎn)單高效，從而實(shí)現(xiàn)提升數(shù)據(jù)處理速度的目的，節(jié)省大量的時(shí)間和成本。降維也成為了應(yīng)用非常廣泛的數(shù)據(jù)預(yù)處理方法。PCA算法已經(jīng)被廣泛的應(yīng)用于高維數(shù)據(jù)集的探索與可視化，還可以用于數(shù)據(jù)壓縮，數(shù)據(jù)預(yù)處理，圖像，語音，通信的分析處理等領(lǐng)域。