周末燒腦：論頻譜中負(fù)頻率成分的物理意義

　　在對(duì)任何信號(hào)進(jìn)行傅立葉分析時(shí)，得出的頻譜為復(fù)數(shù)，且其頻率范圍將從-∞~∞。對(duì)于負(fù)頻率以及該范圍的頻譜，應(yīng)當(dāng)如何理解?它有沒有物理意義?是一個(gè)還缺乏討論，因而沒有統(tǒng)一看法的問題，本文將對(duì)此進(jìn)行討論。

　　摘要：本文討論了信號(hào)經(jīng)過傅立葉變換所得頻譜的物理意義，其中著重于負(fù)頻率成分。許多信號(hào)與系統(tǒng)的教材中，都認(rèn)為負(fù)頻率成分沒有物理意義。本文以多方面的實(shí)例證明了負(fù)頻率成分不但具有明確的物理意義，而且有重要的工程應(yīng)用價(jià)值。文章還用Matlab程序演示了如何用幾何方法求傅立葉反變換，把集總頻譜合成為時(shí)域信號(hào)，從中也可鮮明地看出負(fù)頻率成分的意義。

　　1.負(fù)頻率與復(fù)信號(hào)

　　頻率 f 的原始定義是每秒出現(xiàn)的次數(shù)，可用以衡量機(jī)械運(yùn)動(dòng)、電信號(hào)、乃至任何事件重復(fù)出。

　　(a) 三維圖形

　　(b)x-y 平面的二維圖形現(xiàn)的頻度，這當(dāng)然不存在

　　有“負(fù)”的概念。當(dāng)用頻率描述圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)(即進(jìn)入了二維信號(hào)平面)，產(chǎn)生了角頻率 ω”的概念，從機(jī)械旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)出發(fā)，定義為角速度，對(duì)于周期運(yùn)動(dòng)，角速度也就是角頻率。通常 θ以反時(shí)針為正，因此轉(zhuǎn)動(dòng)的正頻率是反時(shí)針旋轉(zhuǎn)角速度，負(fù)頻率就是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角速度。正、負(fù)號(hào)是非常自然形成的，沒有物理意義的有無問題。電的單位向量(電壓或電流)圍繞原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，可以用表示，這是在電路中都清楚的。θ的正負(fù)所代表的物理意義從未有什么爭(zhēng)議，它的導(dǎo)數(shù)的物理意義不言自明，取正取負(fù)都不影響定義，為什么取負(fù)就會(huì)失去物理意義了呢?在信號(hào)與系統(tǒng)課程中，為了簡(jiǎn)化問題，便于初學(xué)者掌握概念，開宗明義地把研究范圍限定于實(shí) 信 號(hào) f(t) ， 也就是 在 電 壓 旋 轉(zhuǎn) 向 量中，只研究它在實(shí)平面或虛平面上的一個(gè)投影 sin(ωt)或 cos(ωt)，研究復(fù)信號(hào)的特性與只研究實(shí)信號(hào) sin(ωt)或 cos(ωt) 是兩個(gè)不同的層次。前者是反映信號(hào)在空間的全面特性，如圖1 所示。后者只研究了信號(hào)在一個(gè)平面(x-t或y-t組成的平面)上投影的特性。這就必然要丟掉一些重要的信息，以致 x=sin(ωt) 與sin(-ωt)在x-t平面中的波形沒有任何差別，這是人們對(duì)負(fù)頻率的意義產(chǎn)生疑問的直接原因之一。很顯然，在x-t或y-t的平面內(nèi)，是不可能看出旋轉(zhuǎn)的。既看不到θ，更看不到ω。只有在x-y平面上才能看到這兩個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)。

　　2.復(fù)信號(hào)與實(shí)信號(hào)的頻譜

　　同樣，用ejtω或 sin(ωt)或 cos(ωt)作為核來做傅立葉變換所得的結(jié)果也是前者全面，后者片面。對(duì)實(shí)信號(hào)做傅立葉變換時(shí)，如果用指數(shù)為核，將得到雙邊頻譜。以角頻率為?的余弦信號(hào)為例，它有具有位于±?兩處的、幅度各為 0.5、相角為零的頻率特性。它的幾何關(guān)系可以用圖2表示。兩個(gè)長(zhǎng)度為 0.5 的向量，分別以±?等速轉(zhuǎn)動(dòng)，它們的合成向量就是沿實(shí)軸方向的余弦向量。而沿虛軸方向的信號(hào)為零。可見必須有負(fù)頻率的向量存在，才可能構(gòu)成純 粹的實(shí)信 號(hào) 。 所以歐公式是有其明確的幾何意義(即物理意義)的。在文獻(xiàn)[1]中給出了動(dòng)畫，并給出了正、負(fù)數(shù)字頻率的幾何解釋。