CT圖像重建算法的FPGA實現(xiàn) (二)

2.3 計算機實現(xiàn)的理論研究

在程序中，濾波反投影算法的步驟為：

投影數(shù)據(jù)采集

對投影數(shù)據(jù)做FFT變換

濾波

反投影數(shù)據(jù)

逆FFT變換

等式(2.8)不能以它現(xiàn)有形式直接實現(xiàn)，只要考慮公式(2.10)的解釋，就很容易理解這一點。基于傅里葉變換的特性，我們知道在傅里葉域中兩個函數(shù)相乘等價于兩個相應(yīng)空間域函數(shù)的卷積。 在空間域中的對應(yīng)函數(shù)是被測平行投影 。對應(yīng)濾波函數(shù) 的空間領(lǐng)域(或沖激響應(yīng)) ，就是該函數(shù)的傅里葉反變換，

(2.12)

并不存在。必須研究一個代替方法。一個這樣的方法是把有限帶寬函數(shù)引入公式中。例如在上式中設(shè)置t=0，讓我們考慮 的值。 代表在曲線 下面的面積。當 。因此，等式(2.8)不能以它現(xiàn)有形式實現(xiàn)。必須研究一個代替方法。一個這樣的方法是把有限帶寬函數(shù)引入公式中。

假設(shè)投影的傅里葉變換是有限帶寬的。換句話說，在頻率間隔 以外能量為0.在這個假設(shè)下，等式(2.10)可以按下面形式表示：

(2.13)

等式(2.13)指出，要計算濾波的投影 ，只需要進行投影 的傅里葉變換以得到 ，在 范圍內(nèi)乘以 ，并進行傅里葉反變換。不幸的是，有兩個因素使這個看似簡單的問題變得復(fù)雜：被截斷的濾波核的離散化以及環(huán)狀卷積的性質(zhì)。要徹底理解濾波核問題，讓我們首先在空間域中推導(dǎo)理想濾波核。為保證無混疊采樣，投影帶寬T必須滿足Nyquist(奈奎斯特)采樣準則：

(2.14)

其中 是投影采樣間隔(單位為 )。在該條件下，初始的斜變函數(shù) 實際上是與窗函數(shù) 相乘：

(2.15)

其中

濾波函數(shù) 在圖2.1中描繪?，F(xiàn)在，濾波器沖激響應(yīng)可以描述如下

. (2.16)

注意由于 的 的一個實偶函數(shù)，相應(yīng)的沖激響應(yīng) 也是t的一個實偶函數(shù)。

圖2.1 有限帶寬斜變?yōu)V波器的頻率表示

注意，投影以間隔 采樣。根據(jù)卷積理論，等式(2.9)可以寫為

(2.17)

其中 是滿足條件

的 值。這里，我們利用被掃描物體具有有限空間緊支集這一事實。在濾波投影的離散實現(xiàn)時，我們只對在 整數(shù)倍處的濾波數(shù)值感興趣。把 代入等式(2.16)中，得到

(2.18)

濾波函數(shù)的沖激響應(yīng)在圖2.2中畫出。在該圖中，我們設(shè) 。如果用

表示在角度 下投影的離散采樣，等式(2.10)中描述的濾波投影可以表達為一個空間域卷積：

(2.19)

圖2.2 斜邊濾波器的沖激響應(yīng)

這里，我們利用了每個投影在空間上具有有限緊支集的事實。即在下標范圍以外， 為0.這意味著，要確定 ，我們只需利用在范圍 內(nèi)的 。

盡管等式(2.19)的離散卷積實現(xiàn)可以直接得到被濾波的投影，當N很大時，往往在頻率域中執(zhí)行運算效率更高[使用快速傅里葉變換(FFT)運算]。對于目前一臺典型的CT掃描機，一次單獨投影的采樣數(shù)N接近1000.因此，我們希望得到 序列的頻率域形式。在有限范圍內(nèi) 的離散傅里葉變換 與等式(2.15)描述的 不同，如圖2.3所示。二者之間主要差別是直流成分。盡管差相當小，它對重建圖像CT數(shù)準確度的影響不能忽略。

現(xiàn)在我們考慮循環(huán)卷積[9]的問題。等式(2.10)中描述的原始濾波運算需要一個非周期性的卷積。當這個運算在頻率域中執(zhí)行時，只能是周期性或循環(huán)卷積。如果直接實線前面所述的運算序列，可能產(chǎn)生干涉?zhèn)蜗?。這就是所謂的卷繞(warp-around)效應(yīng)，或者周期間干涉。為了避免偽像，需要在傅里葉變換和濾波運算之前為每個投影填補足夠數(shù)量的零。零的最少數(shù)目必須等于初始投影采樣數(shù)減1(即N-1)。

圖2.3中所示斜變?yōu)V波器

的特性表明，相對于低頻成分， 更突出強調(diào)高頻成分。事實上，斜變?yōu)V波器表現(xiàn)有些好像微分運算符。因此，可以把濾波運算想象為一個反卷積過程，去掉了反投影產(chǎn)生的模糊。

函數(shù)(實線)和有限帶寬斜變?yōu)V波器傅里葉變換(虛線)的比較在等式(2.15)中，我們采用了一個簡單的矩形窗函數(shù)來限制濾波核?？梢粤硗庑薷拇昂瘮?shù)，以改變?yōu)V波器的頻率響應(yīng)。實際應(yīng)用中，窗函數(shù)經(jīng)常被作為一個工具，用來修改重建圖像的噪聲特性，以實現(xiàn)空間分辨率和圖像噪聲之間的折中。

在許多用于數(shù)值計算和圖像的高級語言軟件系統(tǒng)中，如Matlab(The MathWorks,Natick,MA)或IDL(Research Systems,Inc,Boulder,CO),矢量或矩陣可以直接表示成變量。還可以針對矢量定義不同運算符。在這樣的環(huán)境中，平行反投影的實現(xiàn)變得相當容易。對于每個被測投影(在數(shù)據(jù)預(yù)處理或預(yù)調(diào)理后)，投影被填補足夠多的0以避免“周期間”干擾。對補零后的投影進行傅里葉變換，并且被變換的投影乘以一個濾波函數(shù)[10]。然后，對結(jié)果進行傅里葉反變換，得到一個被濾波的投影。該投影被反投影(通過“像素驅(qū)動”或“射線驅(qū)動”)到圖像矩陣。為了提高空間分辨率，濾波投影經(jīng)常在反投影過程之前進行預(yù)插值。在投影數(shù)據(jù)集合中對每次投影重復(fù)整個過程。圖2.4顯示一個流程圖，描述了對于平行束投影[11]的重建過程。