基于 MATLAB 的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成圖形的動(dòng)態(tài)演示
0 引言
本文引用地址:http://www.ex-cimer.com/article/201809/388677.htm簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成是力學(xué)的主要內(nèi)容之一,在大學(xué)物理的學(xué)習(xí)中已經(jīng)對(duì)多個(gè)同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成進(jìn)行了較為詳細(xì)的討論,但研究?jī)H局限于兩、三個(gè)不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)在一、二維坐標(biāo)中的合成情況,三維無(wú)法體現(xiàn)。利用MATLAB 繪出多不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)在一、二及三維坐標(biāo)中合成的波形及軌跡, 并依據(jù)這些波形與軌跡, 探討多個(gè)不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成規(guī)律。
1 研究意義
利用MATLAB GUI 軟件的制作,對(duì)一維、二維及三維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的授課方式及仿真實(shí)驗(yàn)提供了新的方法。在傳統(tǒng)教學(xué)的過(guò)程當(dāng)中,簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成通過(guò)示波器來(lái)觀察,其合成圖像往往與理論值有較大偏差,其主要存在的問(wèn)題有以下幾個(gè)方面:
1.1 課堂時(shí)間緊迫,圖像合成演示的直觀顯示多要在實(shí)驗(yàn)課當(dāng)中進(jìn)行操作,不利于學(xué)習(xí)的及時(shí)記憶和直觀了解。
1.2 電路布線不合理引起的交叉干擾、電感漏磁容易引起合成圖像失真。
1.3 示波器無(wú)法合成及演示三維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成圖像。
1.4 示波器探頭種類(lèi)繁多,對(duì)于精確的理論圖形的演示難以企及,且探頭可提供測(cè)試需要的保真度往往較低。
1.5 對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的計(jì)算比較復(fù)雜,示波器無(wú)法高精度的實(shí)現(xiàn)圖形的模擬合成。
針對(duì)以上問(wèn)題制作的MATLAB GUI 簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的程序,能幫助授課教師在課堂上直觀的演示簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,直觀對(duì)比理論測(cè)量與實(shí)際測(cè)量。
2 基本原理
2.1 一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成原理
2.1.1 多個(gè)一維同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成
設(shè)質(zhì)點(diǎn)在x 方向上同時(shí)參與n 個(gè)同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng),振動(dòng)方程為:
分別為和振動(dòng)的振幅和初相位,由(1)式可知多個(gè)一維同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)可合成為一個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng),其軌跡是余弦(或正弦)曲線。利用MATLAB 進(jìn)行合成演示,上述推證可得到證實(shí)。
2.1.2 多個(gè)一維不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成
一般情況下,多個(gè)不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合振動(dòng)不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng),而是復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)。利用MATLAB 進(jìn)一步研究可知,多個(gè)一維頻率比為有理數(shù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合振動(dòng)雖然復(fù)雜但具有周期性,而多個(gè)一維頻率比為無(wú)理數(shù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合振動(dòng)則既復(fù)雜又無(wú)周期性。
由圖1 可知,多個(gè)一維同振幅、同相位頻率相差不大簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,其結(jié)果形成多個(gè)大小不一的拍。進(jìn)一步研究可知,多個(gè)一維同振幅、同相位頻率相差不大簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合振動(dòng)是這些簡(jiǎn)諧振動(dòng)兩兩合成的幅度減小的拍的疊加,其結(jié)果形成n -1個(gè)大小不一的拍--多拍現(xiàn)象。其中,主拍的拍幅很大(為單個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)振幅的n 倍),而次拍的拍幅則比較小。
2.2 二維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成-李薩茹圖形
2.2.1 相互垂直同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成
當(dāng)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)不同方向的振動(dòng)時(shí),一般情況下質(zhì)點(diǎn)將做平面曲線運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)軌跡的形狀將由兩個(gè)分振動(dòng)的周期、振幅和它們的相位差決定。沿兩個(gè)振動(dòng)的方向分別建立x,y 軸,并以質(zhì)點(diǎn)的平衡位置作為坐標(biāo)原點(diǎn),則這兩個(gè)分振動(dòng)可分別表示為:
在t 時(shí)刻,質(zhì)點(diǎn)的位置可由坐標(biāo)x,y 確定。上述方程是以時(shí)間t 作為參變量的運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程,從中消去t ,便得軌跡方程:
此式是橢圓方程,它表示兩個(gè)相互垂直且同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的軌跡是橢圓。隨著相位差值的不同,合成橢圓的形狀也不同。
2.2.2 相互垂直不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成
如果兩個(gè)相互垂直的振動(dòng)頻率不相同,它們的合運(yùn)動(dòng)比較復(fù)雜,若隨意選取兩種分振動(dòng),可以看到合成軌跡是不穩(wěn)定的,而且沒(méi)有規(guī)律可循。
(1)兩振動(dòng)的頻率有很小的差異,可近似看成同頻率振動(dòng)的合成,不過(guò)相位差在緩慢地變化,在范圍內(nèi)由直線變成橢圓再變成直線等。
評(píng)論