S波段耦合腔行波管非線性注一波互作用方程組的數(shù)值解
1 基本方程
1.1 激發(fā)方程
令第n次本征模式軸向電場為:
可得擾動電子注激勵的電場為:
式中:定義為n次諧波的耦合阻抗;
ψ(r⊥)為電子注橫向分布函數(shù)y)ds。所有本征模中只有個別模式與電子注同步,且除了電子流i(z)激發(fā)的同步波之外,還有輸入的“冷波”,即E0e-r0z,則具有外加激勵源E0e-r0z的同步場為:
式中:K0,г0,β0分別為該同步模式的耦合阻抗、傳播常數(shù)、相位常數(shù)。式(1)兩邊同時對z求導(dǎo)2次得到熟知的激發(fā)方程:
1.2 運動方程
相對論下電子的運動方程為:
能量守恒方程為:
式(4)代入式(3)可得一維電子運動方程:
又由:
所以式(5)可寫為:
其中:Ez=Ecz(線路場)+Esz(空間電荷場);y=(1一v2/c2)-1/2為相對論因子,c為真空中的光速,v為電子速度。
1.3 電子流復(fù)振幅方程
電子流是時間的非簡諧周期函數(shù),含有高次諧波,用傅氏分析。
2 慢變系統(tǒng)中歸一化
上述是在實驗室坐標(biāo)系下得到的迅變方程,為了處理問題的方便和計算結(jié)果普遍性強,通常將其歸一化到電子坐標(biāo)系內(nèi),獲得慢變方程。
為了表述方便,先引入迅變坐標(biāo)系的歸一化量:歸一化距離為ξ=ω/v0z=βez;歸一化時間為φ=ωt=2πt=/T,歸一化場為f=|e|E/mvoω。則慢變系統(tǒng)中的歸一化:歸一化軸向距離為θ=Cξ=Cβez;歸一化相位φe=ψ-ξ;歸一化場幅值為Fcn(θ)=(eE/C2mvoω)ejnθ;歸一化電流幅值為
式(8)~(10)組成了行波管大信號注一波互作用基本工作方程組。其中Cn3=I0Kcn/4V0為n次諧波增益參量,bn=(V0一Vpn)/C1Vpn非同步參量,dn=aon/βeCn為衰減常數(shù),rn=bn-idn。
3 空間電荷場的計算
由文獻可知z0處圓盤在z處圓盤平面上各點產(chǎn)生的平均空間電荷場為:
其中:Q為圓盤所帶電量;6為電子注半徑;a為漂移管半徑,如圖1所示,μ0n為零階Bessel函數(shù)的第n個根。由此可知場是關(guān)于z的函數(shù),可以表示為:
其中:B(| z―z0|)是以| z―z0|為變量的函數(shù),由式(11)可以做出如圖1所示曲線。
由圖1可知,如果用近似式代替式(11),所引起的誤差很小,而計算式卻大大簡化了。采用該式時,所有圓盤產(chǎn)生的空間電
,
其中:ωp為電子等離子體頻率;η為電子荷質(zhì)比;v0為電子注初速度。仿真中用式(13)代替式(9)中的Fsz。
4 休斯結(jié)構(gòu)耦合腔
休斯型耦合腔的剖面結(jié)構(gòu)為圖2(a)所示,圖2(b)為其截面圖,表1為設(shè)計s波段耦合腔行波管的結(jié)構(gòu)參數(shù)。
5 仿真結(jié)果及討論
在上述尺寸下,對2.87~3.35 GHz頻率范圍內(nèi)的休斯結(jié)構(gòu)耦合腔行波管進行了數(shù)值分析,仿真中電子注的注電壓U。一21 kV,注電流L一1 A,波的輸入功率Pin=300 w。采用四階龍格一庫塔法求解互作用方程組式(8)~(10),其結(jié)果如圖3~圖6所示。
圖3給出了在中心頻率f=3.100 7 GHz時電子的相位軌跡。由圖可知,電子在歸一化軸向距離Z=2.4附近獲得了較好的群聚,此即為最佳互作用距離。由圖4可以看出該頻率的波在此處獲得最大增益,此后電子注離開最佳互作用區(qū),效率降低,增益下降。
圖5給出了中心頻率時電子注效率隨軸向距離的變化曲線。圖中實線為不考慮空間電荷力的情況,虛線為考慮空間電荷力的情況。由圖可知,空間電荷力的作用使得飽和位置推后,增益下降,即空間電荷力起發(fā)散作用。圖中效率剛開始時為負(fù)值,是因為電子剛進入互作用區(qū)時要得到部分能量,表現(xiàn)電子效率為負(fù)值。
圖6給出考慮空間電荷場時,2.87~3.35 GHz內(nèi)各頻點的微波增益。由圖可知,在給定電子注注電壓,注電流,和波的輸入功率等參量的情況下,頻帶內(nèi)微波增益均大于18.5 dB。
6 結(jié) 語
對S波段休斯結(jié)構(gòu)耦合腔行波管非線性注一波互作用工作方程組進行了數(shù)值求解,求出考慮和不考慮空間電荷場時中心頻率.廠一3.100 7 GHz處的效率,說明空間電荷場對互作用起散焦作用,與文獻中結(jié)論很吻合。求出工作在2.87~3.35 GHz頻率范圍內(nèi)耦合腔行波瞬時帶寬。仿真中所用管子已制作完成,實驗數(shù)據(jù)對后期管子的熱測試有很好的指導(dǎo)意義。
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