基于狀態(tài)變量摩擦模型的振動(dòng)控制*
*基金項(xiàng)目:2020年產(chǎn)業(yè)技術(shù)基礎(chǔ)公共服務(wù)平臺——工業(yè)機(jī)器人核心關(guān)鍵技術(shù)驗(yàn)證與支撐保障服務(wù)平臺建設(shè)項(xiàng)目(2020-0097-1-1)
本文引用地址:http://www.ex-cimer.com/article/202108/427334.htm作者簡介:梁學(xué)修(1987—),男,山東青島人,博士,研究方向?yàn)橹悄軝z測與控制。
0 引言
非線性摩擦是影響工業(yè)機(jī)器人低速運(yùn)動(dòng)性能的主要因素之一,機(jī)器人關(guān)節(jié)摩擦力會(huì)使機(jī)器人產(chǎn)生跟蹤誤差,帶來極限環(huán)振蕩、滯滑運(yùn)動(dòng)等問題[1]。為此,對機(jī)械臂的非線性摩擦建模與補(bǔ)償研究成為工業(yè)機(jī)器人控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[2-6]。為了解決關(guān)節(jié)摩擦力的問題,通過實(shí)驗(yàn)總結(jié)出了各種摩擦力模型。建立機(jī)器人關(guān)節(jié)摩擦模型是實(shí)現(xiàn)摩擦力實(shí)時(shí)補(bǔ)償?shù)暮诵牟襟E。摩擦的時(shí)變、強(qiáng)非線性等性質(zhì),使得精確建立摩擦力的模型幾乎無法實(shí)現(xiàn)。工程中使用的靜態(tài)摩擦模型和動(dòng)態(tài)摩擦模型[7]也僅僅是摩擦力模型的一種近似模型。借助這種近似的摩擦力模型,只能在一定程度上消弱摩擦力的影響。在靜態(tài)摩擦模型中,應(yīng)用最廣泛的是圖1 中的Stribeck 指數(shù)模型[8],該模型對真實(shí)摩擦力的擬合精度達(dá)80%。本文研究了在極低速度下如何實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定控制的問題,通過摩擦建模,引入了考慮瞬態(tài)摩擦的狀態(tài)摩擦模型,通過基于狀態(tài)變量摩擦模型的動(dòng)力學(xué)方程,完成了基于狀態(tài)摩擦模型的動(dòng)力學(xué)方程的穩(wěn)定性分析。
圖1 Stribeck模型
1 摩擦力模型
剛體材料之間通過潤滑劑潤滑時(shí)的特征摩擦- 速度曲線就是圖1 中所示Stribeck 曲線。通常由靜摩擦fs 、庫倫摩擦fc 和黏性摩擦構(gòu)成。在相對運(yùn)動(dòng)的方向沒有逆轉(zhuǎn)的條件下,接觸面穩(wěn)定滑動(dòng)的摩擦力是速度的連續(xù)函數(shù)。這條曲線的斜率取決于材料的成分和它們之間的潤滑狀況。對于圓圈標(biāo)記出的低速范圍,曲線存在一個(gè)陡峭的負(fù)斜率段,這一段正是本文將要討論的低速區(qū)摩擦- 速度曲線。
通常用于模型補(bǔ)償?shù)哪Σ? 速度曲線,包括Stribeck曲線,代表穩(wěn)定滑動(dòng)的摩擦。摩擦力模型只依賴于當(dāng)前的速度值。然而,摩擦實(shí)驗(yàn)[9]表明,摩擦也取決于過去的運(yùn)動(dòng)歷史。
Sampson[10] 等人最早注意到摩擦力的這種現(xiàn)象。考慮過去的運(yùn)動(dòng)歷史,摩擦力模型f(t) 的函數(shù)關(guān)系可以表示為:
其中, V 為接觸面相對滑動(dòng)速度, σ n 為法向壓應(yīng)力。也就是說摩擦力不僅僅和當(dāng)前時(shí)刻的速度V t ( ) 和法向壓應(yīng)力σ n(t)有關(guān),還和過去時(shí)刻的速度V (τ )和法向壓應(yīng)力σ τ n( )有關(guān)。
本文考慮的狀態(tài)變量摩擦模型具有以下3 個(gè)特征(假設(shè)正應(yīng)力恒定):
● 依賴于速度的摩擦力穩(wěn)定狀態(tài);
● 依賴于速度的摩擦力瞬時(shí)狀態(tài);
● 特征滑移距離。
依賴于速度的摩擦力穩(wěn)定狀態(tài)就是摩擦力- 速度曲線。依賴于速度的摩擦力瞬時(shí)狀態(tài)就是速度的瞬時(shí)變化導(dǎo)致摩擦力在同一方向上的瞬時(shí)變化。第3 個(gè)性質(zhì)表示的是當(dāng)速度突然變化時(shí),摩擦力指數(shù)衰減到穩(wěn)態(tài)的摩擦力- 速度曲線需要滑動(dòng)的距離。對于法向應(yīng)力為常數(shù)的情況,狀態(tài)變量摩擦模型具有下面的摩擦力模型:
等式中θi表示狀態(tài)變量,這種形式表明,速度的突然變化不會(huì)引起狀態(tài)的突然變化,但會(huì)影響它的時(shí)間導(dǎo)數(shù)。穩(wěn)定狀態(tài)的摩擦力- 速度曲線可以通過設(shè)置gi為零,而后將狀態(tài)變量θi替換到函數(shù)f 中得到一個(gè)非常簡單的包含單個(gè)狀態(tài)變量的摩擦模型:
L特征滑移距離( f0 ,V0) 對應(yīng)于穩(wěn)態(tài)摩擦- 速度曲線上任何合適的初始點(diǎn)。在這種情況下,穩(wěn)態(tài)摩擦- 速度曲線為:
穩(wěn)態(tài)摩擦- 速度曲線中常用速度指數(shù)項(xiàng)表示從靜摩擦到動(dòng)摩擦的過渡。一種包括庫侖摩擦和黏性摩擦的模型為:
其中c0,c1,c2,c4>0。狀態(tài)變量摩擦模型是專門為模擬摩擦的低速效應(yīng)而設(shè)計(jì)的,而穩(wěn)態(tài)摩擦模型是用來制定適應(yīng)整個(gè)運(yùn)行速度范圍的模型。
2 考慮摩擦的動(dòng)力學(xué)模型
圖2 關(guān)節(jié)模型
圖2 給出了一個(gè)具有代表性的機(jī)器人關(guān)節(jié)的動(dòng)力學(xué)模型, xm 和xl 分別代表電機(jī)和關(guān)節(jié)的位置, kp 代表關(guān)節(jié)剛度或是控制增益,kv 代表附加阻尼,m是連桿質(zhì)量,f 則代表關(guān)節(jié)摩擦模型。位置控制的動(dòng)力學(xué)方程:
不考慮擾動(dòng)d(t)的情況下,由于關(guān)節(jié)摩擦f的原因,機(jī)器人在穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)下會(huì)產(chǎn)生恒定的偏置在考慮擾動(dòng)d(t)的情況下,連桿的速度存在微小的偏置最終的擾動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程為:
3 穩(wěn)定性分析
假設(shè)法相正應(yīng)力恒定,考慮依賴于當(dāng)前速度和滑動(dòng)歷史的摩擦定律:
假設(shè)摩擦力f t ( ) 可以被分離為1 個(gè)瞬態(tài)分量和1 個(gè)穩(wěn)態(tài)分量。后者趨向于在特定速度下滑移足夠距離時(shí)的穩(wěn)態(tài)值。在本文討論的低速區(qū),穩(wěn)態(tài)摩擦- 速度曲線的斜率是負(fù)值,也即
依據(jù)Rice and Ruina[11],用脈沖響應(yīng)表示f(t) 在平衡點(diǎn)附近的線性化行為,摩擦力模型可以表示為:
認(rèn)識到速度的直接影響是一個(gè)脈沖函數(shù),可以把它從卷積積分中提取出來,
結(jié)合這個(gè)方程,摩擦力關(guān)于速度的瞬態(tài)變化率為:
摩擦力關(guān)于速度的穩(wěn)態(tài)變化率為:
實(shí)驗(yàn)表明[11],摩擦與速度的瞬態(tài)關(guān)系為正,也即fv > 0 。對于負(fù)斜率的穩(wěn)態(tài)摩擦曲線,
為保證摩擦力是單調(diào)遞減的,g(t) 需要滿足條件:
將式(13)代入式(9),得到關(guān)節(jié)的動(dòng)力學(xué)方程為:
做拉普拉斯變換,得到:
3.1 考慮當(dāng)前速度摩擦力模型的穩(wěn)定性分析
考慮簡單情況的摩擦律f=f(V(t)),即不考慮過去的運(yùn)動(dòng)對摩擦模型的影響,也即:
穩(wěn)定性是由X (s)的極點(diǎn)位置決定的,在這種簡單的情況下考慮下面等式的取值:
由于m > 0,如果就會(huì)發(fā)生不穩(wěn)定性。如果摩擦系數(shù)fv 在V0 處斜率為負(fù),需要附加阻尼kv 實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定, 可以選擇的最小值, 對于0 <V <Vmax ,以實(shí)現(xiàn)整個(gè)速度范圍內(nèi)的漸進(jìn)穩(wěn)定。在這個(gè)線性分析中,對kp 的唯一要求是kp > 0 。
例如,考慮下面的摩擦力形式:
在這種情況下:
如果fv < 0 ,則需要一個(gè)正的kv 來穩(wěn)定系統(tǒng)。令可得為了滿足漸進(jìn)穩(wěn)定的條件,附加阻尼系數(shù)需要滿足,其中:
3.2 狀態(tài)變量摩擦力模型的穩(wěn)定性分析
分析使式(19)穩(wěn)定需要的控制增益。考慮下面等式的根:
下面考慮kp 的所有可能取值:
①當(dāng)kp →∞。由于G(∞) = 0,解的實(shí)部為:
由于fv 和kv都是正的,故而Re(s) < 0恒成立。因此,kp → ∞ 條件下,等式(25)始終能夠保持穩(wěn)定;
②當(dāng)kp = 0,考慮方程 。考慮到式(27),此方程對于小的s 是負(fù)的,對于大的s 是正的,故此時(shí)系統(tǒng)無法保持穩(wěn)定。
③考慮上述內(nèi)容,當(dāng)kp 從零到無窮,存在一個(gè)根或1 對根穿過虛軸。將s = 0 和s = ∞ 代入等式(25),因?yàn)閙 、fv 、kv 和kp 都是正的,可知方程無解。因此解如果存在,其只能是一對虛根±iω ,且和kp 的臨界值kcr 有關(guān):
將上述方程分解為實(shí)部和虛部,得到ω 和kcr 的方程:
使用我們的假設(shè)g(t)≥0,并得到
我們發(fā)現(xiàn)式(30)只有在滿足下面條件的時(shí)候才有解:
穩(wěn)定性結(jié)果總結(jié)如下:
對于考慮摩擦律f = f [V (t)]的動(dòng)力學(xué)模型,漸近穩(wěn)定的條件為:
對于考慮摩擦律 f = f [V (τ )], 0 <τ < t 的動(dòng)力學(xué)模型,漸近穩(wěn)定的條件為:
這樣可以依據(jù)式(32),根據(jù)僅考慮當(dāng)前速度的摩擦力模型,選擇合適附加阻尼kv 來保證動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性??梢砸罁?jù)式(33),根據(jù)同時(shí)考慮過去運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和當(dāng)前速度的狀態(tài)變量摩擦模型,選擇合適的k k v p 、來保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性,而k k v p 、就是系統(tǒng)的控制參數(shù)。
4 結(jié)束語
實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的低速度運(yùn)動(dòng)能力對機(jī)器人和任何涉及精細(xì)定位或力控制任務(wù)的機(jī)器來說都非常重要。然而,在實(shí)際應(yīng)用中,高度非線性的摩擦力會(huì)產(chǎn)生一個(gè)最小的穩(wěn)定速度,低于此速度就會(huì)發(fā)生粘滑,嚴(yán)重限制機(jī)器人位置和力控制的精度。此外,滯滑摩擦力引起極限環(huán)是機(jī)械振動(dòng)的一個(gè)主要誘因。
本文研究了用狀態(tài)變量摩擦模型表示低速運(yùn)動(dòng)中的瞬態(tài)摩擦,并提出了基于狀態(tài)變量摩擦模型的動(dòng)力學(xué)方程的穩(wěn)定性證明,依據(jù)穩(wěn)定證明給出了控制參數(shù)設(shè)置的合理指導(dǎo)。
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(本文來源于《電子產(chǎn)品世界》雜志2021年5月期)
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