低能電子對單面介質加載微波部件微放電的影響*

*基金項目：湖南省自然科學基金（2017JJ3314）

0   引言

微放電效應（也被稱為二次電子倍增效應）是在真空條件下運行在微波和毫米波子系統(tǒng)中，在微波設備和微波元件中經(jīng)常能觀察到的一種高功率共振電子放電，存在于各種不同的高功率微波場景中，如衛(wèi)星通信有效載荷的無源部件、行波管、高功率射頻窗口以及粒子加速器等^[1]。

在許多現(xiàn)代射頻系統(tǒng)中，二次電子倍增效應是在真空或接近真空條件下工作的一個重要失效機制^[2]。這種現(xiàn)象表現(xiàn)為自由電子在真空器件內(nèi)的雪崩式增長，這是在射頻電場的作用下，被加速的高能電子撞擊器件表面時，從器件表面激發(fā)出新的二次電子發(fā)射引起的。在不同的射頻系統(tǒng)中，如星載通信、射頻加速器和高功率微波發(fā)生器，二次電子倍增擊穿問題變得越來越嚴重，這是為了滿足高性能的需求，微波功率不斷增加，并且盡可能減小制造微波裝置的尺寸所導致的。由于二次電子倍增放電可以顯著限制甚至損壞射頻系統(tǒng)，所以研究射頻系統(tǒng)中的二次電子倍增放電，對減少射頻系統(tǒng)的損壞有至關重要的作用^[3-6]。這項工作將對快速發(fā)展的二次電子倍增效應的研究做出重大貢獻，將使研究人員能夠更好地設計射頻系統(tǒng)，同時，也使得二次電子倍增效應成為了空間研究領域重點關注的熱點課題之一^[7]。在過去幾十年中，存在于金屬表面和介質表面之間的二次電子倍增效應已經(jīng)引起了極大的關注。介質表面的二次電子倍增與金屬表面不同，在射頻電場的作用下，二次電子不會在金屬表面積累電荷，但會在介質表面積累相應的正電荷或負電荷^[8]，這些積累在介質表面的電荷會形成一個靜電場，影響電子的運動^[9]。

本文將通過對比經(jīng)典的Vaughan 模型和Rice 模型在單面介質加載微波部件中二次電子倍增效應的差異，以獲得低能電子對單面介質加載微波部件中微放電的影響。

1   模型介紹

圖1 展示了在下表面加載了介質的金屬平行板波導的示意圖，其中金屬平行板的長度和間距分別為a 和d。加載的介質層厚度為h，介質表面和金屬表面之間的間隙為H = d-h。在模型中設置了余弦變化的射頻電場（其中，E0 的取值為2×10⁶ V/m），工作頻率為f（對應不同的諧振階數(shù)時，f 的取值有所不同），其對應的仿真時間步長設置為RF 周期的1/1 000，在每個射頻周期內(nèi)電子運動1 000 個時間步，以保證仿真的精確度。設置初始電子的數(shù)目為N₀ = 1 000，在前500 個時間步內(nèi)，每個時間步從介質表面發(fā)射出2 個初始電子。每個初始電子的權重都設置為1，為了更加高效地進行計算，將電子數(shù)目的閾值上限設置為N_th = 1×10⁶。當電子的數(shù)目超過N_th 時，會在下一步的模擬中將電子的數(shù)目隨機減少一半，同時使剩余電子的電荷和質量增加1 倍。在相反的情況下，當電子數(shù)目少于Nth 的10% 時，會在下一步的模擬中將每個電子分成2 個電子，并將電子的電荷和質量減半^[10]。以這樣的方法進行計算，既保證了計算可行性，同時又保證了參與計算的電子數(shù)目。當激發(fā)出新的二次電子時，等效的正電荷會在介質表面積聚，形成非均勻分布的靜電場。隨著正電荷的不斷積聚，靜電場的強度亦隨之增強，雙面倍增可能演變?yōu)閱蚊姹对霾⒆晕揖S持或熄滅，這容易受到許多其他因素的影響。當單面倍增發(fā)生時，電子云將在每個整數(shù)射頻周期內(nèi)沖擊介質表面。

設置材料的最大二次電子產(chǎn)額系數(shù)為δmax0 = 2.36，與之對應的入射能量為Wmax0 = 300 eV^[11]，兩種模型的SEY 隨入射能量的變化如圖2 所示。從圖中可知，經(jīng)典的Vaughan 模型將能量低于12.5 eV 的電子視為無效電子，沒有考慮其與金屬或介質表面的碰撞，而Rice模型則將其考慮在內(nèi)并視為彈性散射電子^[12]。經(jīng)典的Vaughan 二次電子發(fā)射模型如下所示：

Rice 模型對經(jīng)典的Vaughan 模型進行了修改，其模型如下所示：

其中，v = (Wim-Wth) / (Wmax-Wth)，參數(shù)δ_max、W_max 和W_th 由材料和表面處理所決定。

初始電子從介質表面被隨機發(fā)射出去，初始電子的發(fā)射能量W₀ 滿足Maxwell-Boltzmann 分布，如式（3）所示：

初始電子的發(fā)射角度服從正弦分布，如式（4）所示：

圖1 單面介質加載平行板波導模型

圖2 SEY曲線

2   靜電場的計算

當電子與介質表面發(fā)生碰撞時，會在介質表面積聚電荷，然而電子與金屬表面碰撞則不會在金屬表面積聚電荷，兩者之間存在著差異。當介質表面的電荷積聚到一定數(shù)量時，就會形成一個非均勻分布的靜電場來影響電子的運動。所以，模型中靜電場的精確求解，對后續(xù)電子的運動具有重要的影響。本文采用數(shù)值的方法對介質表面由電荷積聚所產(chǎn)生的靜電場進行求解，設置電荷位于介質表面的r（x，h，0）處，靜電場的求解如式（5）所示：

為了求解模型中靜電場的分布，我們應該先對表面電荷積聚所產(chǎn)生的電勢求解，利用疊加原理，通過增加每個電荷各自的貢獻，就可以得到介質表面的電荷在波導中產(chǎn)生的電勢分布，其表達式如下所示：

其中，G 為單位電荷形成電勢的格林函數(shù)，求解出電勢的格林函數(shù)就能求解得到電勢。G的展開如式（7）所示：

為了方便計算，在本文中假設點電荷沉積的位置位于介質表面和真空區(qū)域的交界處來進行計算。所考慮問題的幾何特征和線性性質使得狄拉克函數(shù)的展開可以如式（8）（9）所示：

其中，kxn = nπ/a，kz 是沿著z 方向的傅里葉變換。

其中，是頻域中的格林函數(shù)。結合式（7）就可以求解出為：

把代入到式（5）中，就能求解出介質表面的電荷在模型中的電勢分布，從而求解出模型中靜電場的空間分布。

為了驗證所求出的靜電場在模型中的分布是否正確，下面在介質表面積聚固定數(shù)量的正電荷來進行模擬。令介質表面每個位置都均勻分布了1×10⁷ 個正電荷，在模型中產(chǎn)生的靜電場分布如圖3 所示，圖中箭頭的方向代表靜電場的方向，箭頭的長度代表靜電場的強度。從圖中可以看出，靜電場沿著介質表面呈現(xiàn)均勻分布，隨著與介質表面之間距離的增加，靜電場的強度呈現(xiàn)逐漸減弱的趨勢。取x = 5 mm 處的靜電場進行分析，靜電場的強度隨介質表面距離的變化，如圖4 所示，此時，靜電場最強的位置為介質表面達到了Edc = 1.37×10⁵，在金屬表面的靜電場的強度最弱。模擬的結果和理論的結果保持一致，驗證我們理論的可行性。

圖3 靜電場在模型中的分布

圖4 靜電場的強度隨介質表面距離的變化

3   電子的動力學方程

我們通過忽略RF 磁場簡化了模型，可以通過在每個時間步中數(shù)值求解洛倫茲方程來計算電子的軌跡。在射頻電場ERF 的作用下，電子在金屬與介質表面之間周期性地運動，當與介質表面碰撞時，在激發(fā)新二次電子的同時會積聚相應的電荷，形成靜電場從而影響電子的運動。模型中電子的動力學方程如式（12）~（19）所示：

設置初始條件，初始時刻t=0 時的速度為：

沿著x，y 方向的速度分別為：

沿著x，y 方向的位移分別為：

4   實驗結果分析

平行板波導模型的長度為a = 10 mm，間隙距離為d = 1 mm，介質層的厚度為h = 0.05 mm。因此，金屬與介質表面之間的間距為H = 0.95 mm。設置RF 電壓VRF = 1.9 kV，工作頻率f = 6 GHz，在該參數(shù)下為一階的諧振階數(shù)。兩種模型下，電子數(shù)目隨時間的變化如圖5 所示，通過對比電子數(shù)目Ne 隨時間的變化可知，Rice 模型的二次電子倍增速率要大于經(jīng)典的Vaughan模型， 并且在達到短暫的飽和時電子數(shù)目達到了Ne_R = 4×108，比經(jīng)典的Vaughan 模型達到飽和時的電子數(shù)目Ne_V = 6×106 要更多， 兩種模型在達到短暫飽和之后的趨勢也有所不同，Rice 模型在達到飽和之后，Ne_R 仍然以極小的速度繼續(xù)增長，但是經(jīng)典的Vaughan 模型在達到飽和之后，Ne_V 呈現(xiàn)下降的趨勢。與之對應的靜電場Edc 隨時間的變化如圖6 所示，兩種模型在達到飽和之后Edc 都達到了飽和并保持穩(wěn)定，但Rice 模型達到飽和時的靜電場為Edc_R = 4×105，而經(jīng)典的Vaughan 模型在達到飽和時的靜電場為Edc_V = 2.3×105。圖7 展示了兩種模型在電子數(shù)目達到飽和之后，電子相的空間分布。從圖7（a）中可以看出，在達到飽和時，經(jīng)典的Vaughan 模型的電子在波導中呈現(xiàn)均勻分布的狀態(tài)，而從圖7（b）中可知，在達到飽和時，Rice 模型的電子主要分布在波導的介質表面附近，隨著與介質表面距離的增加，電子數(shù)目呈現(xiàn)減少的趨勢。圖8 和圖9 分別展示了兩個模型下平均SEY 和平均電子能量隨時間的變化，從圖8（a）可知，經(jīng)典的Vaughan 模型在達到飽和之后平均SEY<1，入射電子大于激發(fā)的二次電子，電子數(shù)目呈下降趨勢，與之對應平均電子能量如圖9（a）所示，穩(wěn)定在Wave = 21 eV，Rice 模型在達到飽和之后平均SEY > 1，入射電子大于激發(fā)的二次電子，電子數(shù)目呈現(xiàn)緩慢的增長，如圖8（b）所示，平均電子能量穩(wěn)定在Wave = 15 eV，如圖9（b）所示。

圖5 電子數(shù)目隨時間的變化

圖6 靜電場隨時間的變化

圖7 電子的相空間分布，（a）為Vaughan模型，（b）為Rice模型

圖8 平均SEY隨時間的變化，（a）為Vaughan模型，（b）為Rice模型

圖9 平均電子能量隨時間的變化，（a）為Vaughan模型，（b）為Rice模型

4   結束語

本文分別對經(jīng)典的Vaughan 模型和Rice 模型在單面介質加載微波部件中的微放電效應進行了模擬仿真。研究結果表明，Rice 模型在電子的增長速率、達到飽和時電子的數(shù)目和靜電場的強度都要高于經(jīng)典的Vaughan模型，考慮低能電子的二次電子發(fā)射模型更適合用于研究微波設備的微放電效應。

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（本文來源于《電子產(chǎn)品世界》雜志2021年10月期）