在多束激光混合分布下其圖像定位各光斑質心位置的方法研究

摘 要：激光光斑圖像的質心提取是探測器確定激光方位的重要環節，對于獲取激光方位角有重要的意義。傳統上的灰度重心法、高斯擬合法以及橢圓擬合法三種激光光斑質心的提取方法都無法解決激光光斑圖像上出現多個激光時其各個質心的提取問題?；诖巳秉c本文提出一種基于EM算法，求解二維圖像中多個混合高斯分布中分辨質心分布的方法。采用CCD（Charge-coupled Device）圖像傳感器將光學影像轉化為數字信號獲取其圖像數據，并用其進行試驗，并采用歐式距離法當做實驗誤差評定標準，發現圖像在2個激光混合分布時效果比較好，其結果中歐氏距離最小。

關鍵詞：激光光斑；質心提取；歐氏距離法；EM算法；混合高斯分布

隨著光學的發展，激光技術作為受到各個國家軍事研究的高度關注^[1]，具有破壞性的激光武器一直是各國發展的核心，為保證其打擊的高效性，對目標發射的激光數目很有可能不只單束激光?；谶@種情況，需要研究出一種能夠規避多束激光同時打擊時的方法。無論以何種方法規避，能夠精準地獲取激光的方位是最重要的一步。因此能準確計算出來襲的多束激光其各自質心的方位，對于規避激光武器的傷害、提高設備生存能力具有重要的意義。

求激光光斑質心的方法有多樣性的特點，該技術早期有提出過一種在Hough（霍夫）變換^[2] 基礎上求中心的方法，還有基于Hessian（黑塞）矩陣等求圖像中心的方法，以及灰度重心法和高斯擬合法?；叶戎匦姆ɑ蚧叶荣|心法通過對圖像坐標以及其灰度值求加權平均得到其質心。高斯擬合法比灰度重心法精度更高可是更復雜。根據激光光斑高斯分布的特征，本文提出一種在機器學習當中采用EM（最大期望）算法進行高斯聚類的方法，用其激光的二維圖像帶入該算法進行求解，進而得到其質心的方法。

1   常用研究方法

1.1 灰度重心法

灰度重心法策略是采用以各個點的灰度值作為權重并以此求出重心，計算式如下：

(x_z ,y_z)為計算結果質心的坐標，I ( y, x)是圖像第y行x 列的灰度值?；叶戎匦姆ǖ膬烖c是快速，但是在多束激光混合起來的時候無法計算各個質心位置。

1.2 高斯擬合法

在理想情況下，基于激光強度近似高斯分布的特性，我們采用一個高斯曲面去最大程度上擬合實際數據，公式如下：

高斯擬合的目標是求出式（3）中(x₀,y₀) 即高斯分布的中心也就是光斑的質心，化簡公式（3）后

將公式（3）與（4）聯立可得：

最后通過圖像灰度值，使用最小二乘法可求得公式（4）中的系數，最后通過（5）（6）即可得到質心。

該方法雖然對于一個光斑的精度相較于灰度重心法來說較好，可和灰度重心法存在同一個問題——無法提取多個光斑混合在一起時各自質心，如圖1 這種情況。

圖1 多束激光光斑混合圖像

2   基于EM算法提取二維圖像中混合高斯分布激光光斑質心方法

本方法結合了EM 算法與高斯擬合法兩種方法。通過多束激光的圖像得到其訓練集，然后在訓練集上通過EM 算法進行求解，最終得到不同高斯分布μ 也就是其均值，在物理意義上也是其激光的質心位置。

2.1 激光圖像的混合高斯分布

理想情況下激光光斑應呈現標準的二元高斯分布，其對應概率密度函數為：

其中x 是二維向量對應于空間位置坐標， μ 是二維向量的均值，也就是其高斯分布的質心，Σ是2× 2的協方差矩陣。

由公式（7）可看出二維高斯分布完全由二維向量的均值，以及協方差矩陣兩個參數確定，為了體現出二維高斯分布和對于參數的關系，將其概率記為：

p (x | μ,Σ)   （8）

在多束激光的情況下，激光的分布應該是多個相互獨立的高斯分布相加的和，將此稱為混合高斯分布，并且列出其表達式為高斯混合分布：

該表達式中k 代表著假設在本分布中一共包含k 個混合高斯分布，每個高斯分布之間相互獨立互不影響，在表達式中μ_i與Σ_i 分別代表著第i 個二維高斯分布的空間質心的均值坐標以及其協方差，也就是第i 個高斯分布組成的參數，同時a_i 為第i 個高斯分布在所有高斯分布中所占的比例也稱為“混合系數”（maxture coefficeient）， a_i 滿足條件a_i > 0 并且

2.2 圖像灰度值與訓練樣本之間的轉換

光斑圖像中，每個激光在圖像上產生的灰度值呈現正態分布，根據先驗概率，可得空間中樣本位于空間位置x，y 的概率為：

式子（10）中p (x, y)代表存在處于空間位置 x，y坐標下的概率，I (x, y)代表圖像 x，y 坐標的灰度值，M 代表圖像高度，N 代表圖像長度。

以公式（10）得到的概率分布p (x, y)進行空間采樣，得到訓練集D = {t₁,t₂···t_m}，其中 t 為空間位置(x, y)的二維向量。

2.3 EM算法

EM（Expectation-maximization algorithm）最大期望算法是機器學習中求包含無法觀測的隱變量（latent variable）的概率模型的方法，其目的是求滿足模型分布最大概率的隱變量值的方法。

設X 表示以觀察變量集，Z 表示隱變量集， Θ 表示模型參數。目標是求得最大概率的Θ ，則應最大化對數似然：

由于無法直接獲得Z 隱變量的信息，因此可以運用對Z 計算期望，來最大化已觀測數據的對數“邊際似然”（marginal likelihood）：

EM 其基本原理是：當Θ 為已知參數的時候，則可以通過訓練集數據通過極大似然的方法求出在當前Θ 下的使得最符合訓練集分布的隱變量Z，稱這一步為E 步；同理，當Z 為已知的時候，可以通過同樣的極大使然估計的方法求的參數Θ ，這一步稱為M 步。

E 步（Expectation）：以當前參數Θ^t 推斷隱變量分布 P(Z | X ,Θ^t )，并計算對數似然 LL(Θ| X , Z ) 關于 Z期望：

M步（Maximization）: 尋找參數最大化期望似然，即：

對EM 算法總結一下，使用的是兩個交替的步驟，分別為上文中的E 步與M 步。E 步與M 步的交替迭代使用，使其收斂于最大符合訓練集的模型參數，一直到超過最大迭代次數或者已經收斂時，此時就可得到其解。

2.4 通過EM算法求解質心

在本文中，通過EM 算法求多束激光光斑圖像以求解其各自的質心，根據公式（9）可得在此EM 算法求解模型參數為Θ = {(a_i ,μ_i ,Σ_i )} ，其中(a_i ,μ_i ,Σ_i )表示第i 束激光參數，用z_i 代替，對于給定樣本集D，采用極大對數似然的方法，公式如下：

同時結合公式（9）可得：

若參數Θ 能使公式（2）最大化，則以μ_i為：

由于根據公式（4）可知， 對應于a_i，由此可得：

為便于下文更好論述以及推導，在此設

由此解得公式（17）:

取最大值，同理可解得：

在根據以上更新的參數后，進一步求得混合系數a_i ，由于a_i 是帶約束的參數，因此我們考慮采用拉格朗日法求得，解之得：

2.5 閾值法對結果進行篩選

第二步需要判斷均值向量來對結果進行篩選。由于激光光束的數量不確定，可能產生設定值大于實際光束數目的情況，得出的結果中可能存在其歐氏距離很小的情況，對于這種情況本文采用一個閾值的方法，當：

圖2 算法流程圖

3   試驗結果

3.1 試驗數據

本試驗數據是根據CCD 探測器得到的已知高斯光斑質心在圖像中位置的圖像，大小均為200×200，其中圖3 為只有單束激光照射在探測器上的圖像，圖4 則為兩束激光的圖像，通過對兩幅圖像的光斑質心提取，證明本文方法的普適性，試驗數據采用的都是標準高斯橢圓光斑，通過線性增強的方法將其圖像的灰度值映射到0 至255 以內，該數據暫不考慮在實際探測過程中出現的噪聲。

3.2 仿真數據質心提取

對仿真數據單束激光和多束激光分別采用灰度重心法、高斯擬合法和本文所介紹的方法進行計算比較，計算三種方法得到的結果和實際結果之間的歐氏距離如表1 所示，單束激光圖像圖3 中，其激光質心為（100，100）。多束激光圖像圖4 中，存在兩個激光光斑的高斯分布，其兩個光斑的質心分別為（100，100）以及（130，120），計算結果如表2 所示。

圖3 仿真200×200單束激光混合光斑圖像

通過表1 可得出，在200×200 的圖像中，在只有一束激光的光斑條件下，灰度重心法和高斯擬合法以及本文中通過EM 算法計算高斯分布參數的方法在該條件下結果基本一致，計算結果與實際結果的歐氏距離差距非常小，精度也比較好。

圖4 仿真200×200多束激光混合光斑圖像

通過表2 可看出，當圖像中存在兩束激光光斑的時候，灰度重心法和高斯擬合法存在比較大的誤差，而本文方法的誤差相比于這兩種方法來說有大幅度縮小，更加接近真實的質心。

4   結論

結合表1 和表2 的結果，可得出結論。在光斑圖像中，若只有單個激光光斑，那么使用灰度重心法，高斯擬合法以及本文方法，這三種方法得出的計算結果和真實結果差異不大。然而在出現圖4 這種圖像中出現兩個或者出現多個激光光斑，并且激光光斑之間相互連通無法分開的情況下，灰度重心法、高斯擬合法都出現較大的誤差，其原因是其算法本身的局限性，而本文方法則獲得了非常小的實際誤差。

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（本文來源于《電子產品世界》雜志2022年2月期）