通向量子引力的路，又寬了一點(diǎn)點(diǎn)

二維共形場(chǎng)理論一直是重要的理論物理前沿研究工具之一，尤其是其中的劉維爾共形場(chǎng)理論，更是與量子引力存在著千絲萬(wàn)縷的直接聯(lián)系。借助共形自舉方法，劉維爾共形場(chǎng)已經(jīng)可以非微擾的精確求解。然而，它的關(guān)鍵方程竟然是猜出來(lái)的，直至最近幾年，數(shù)學(xué)家才給了出嚴(yán)格的證明。數(shù)學(xué)家與物理學(xué)家，對(duì)量子場(chǎng)論的深意又多了一點(diǎn)了解。

量子引力理論是物理學(xué)界公認(rèn)的圣杯，一直吸引著我們這顆星球上最頂級(jí)的一批智慧頭腦為之不斷探索。如今聰慧的科學(xué)家早已能夠駕輕就熟地應(yīng)用量子理論和廣義相對(duì)論，乃至日常生活都能發(fā)現(xiàn)它們的身影，然而隱藏在這兩個(gè)理論背后的宇宙奧秘，卻仍然顯得那么渺遠(yuǎn)難測(cè)。

2003 年的時(shí)候，美國(guó)物理學(xué)家，圈量子引力的奠基者之一，李?斯莫林（Lee Smolin）曾在他的科普著作《宇宙的本源》（Three Roads to Quantum Gravity）結(jié)尾處樂(lè)觀地展望：“到 2010 年，至多到 2015 年，我們應(yīng)該已經(jīng)擁有量子引力理論的基本框架…… 在擁有這個(gè)理論的 10 年之內(nèi)，能夠檢測(cè)它的新型實(shí)驗(yàn)將會(huì)被發(fā)明出來(lái)…… 到 21 世紀(jì)末，全球的高中生都將學(xué)習(xí)引力的量子理論?！比缃窕赝鼓值念A(yù)言顯然過(guò)于樂(lè)觀了。

也許最能體現(xiàn)量子理論與引力理論之間鴻溝的，就是宇宙暗能量這個(gè)概念。依照廣義相對(duì)論，加速膨脹的宇宙昭示著真空具有能量，也就是愛(ài)因斯坦方程中的“宇宙常數(shù)”不為零。同時(shí)依照量子場(chǎng)論，真空也具有非零的能量，這已經(jīng)被卡西米爾效應(yīng)（Casimir effect）實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。如此看來(lái)，兩個(gè)理論似乎都不約而同地給出了真空能量，然而實(shí)際上二者給出的數(shù)值相差了 120 個(gè)數(shù)量級(jí)！注意不是 120 倍，而是 120 個(gè)數(shù)量級(jí)，也就是 10120 倍。企圖用真空零點(diǎn)能解釋宇宙常數(shù)的努力，成了物理學(xué)中最離譜的猜測(cè)。

然而我們的宇宙不可能有兩種真空，于是“宇宙暗能量”這個(gè)概念就被提了出來(lái)，以彌合兩個(gè)理論對(duì)真空能量描述上的巨大分歧。暗能量之所以稱(chēng)之為“暗”，就是因?yàn)樗炔辉诹孔永碚摽蚣苤畠?nèi)，也不能由引力理論解釋。這個(gè)占據(jù)宇宙總能量 70% 的神秘缺口，或許只能等待未來(lái)的量子引力理論去縫合。

“降維打擊”

在探索量子引力的道路上，充滿了現(xiàn)有數(shù)學(xué)工具難以逾越的障礙，于是研究者們一邊努力構(gòu)建新工具，一邊也在嘗試簡(jiǎn)化問(wèn)題的迂回方法，二維模型就是最為常用的迂回手段之一。

將高維降至二維最顯而易見(jiàn)的好處，就是運(yùn)算處理的大幅度簡(jiǎn)化。比如，在二維平面內(nèi)，幾次轉(zhuǎn)動(dòng)操作之間可以隨意地交換順序，最終的操作結(jié)果并不會(huì)因順序的改變而受到影響。而在三維或更高維的空間中，多個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)操作之間不能隨意交換順序?？梢?jiàn)二維空間比高維空間所受的限制更少，在處理復(fù)雜計(jì)算時(shí)可以騰挪的余地也就更大。

當(dāng)然轉(zhuǎn)動(dòng)操作只是一個(gè)不入流的例子，研究者們真正青睞的是一種名為“共形變換（Conformal transformations）”的操作。這種操作也稱(chēng)“保角變換”，顧名思義就是在扭曲變形的時(shí)候能夠保持任意兩條線的夾角不變。比如下圖所示的這個(gè)變換，就是個(gè)典型的共形變換。在變換之后，每根藍(lán)色線與每根紅色線仍然保持垂直。

如果你是第一次聽(tīng)到“共形變換”這個(gè)名詞，也不要被這唬人的名字嚇到。看看上圖中那些彎曲的線條，是否讓你聯(lián)想到中學(xué)課本上的電場(chǎng)線和磁場(chǎng)線？再回想小時(shí)候用紙上的鐵屑顯示磁力線的那個(gè)小實(shí)驗(yàn)。其實(shí)，當(dāng)你手握兩塊磁鐵隨意移動(dòng)時(shí)，紙上那些鐵屑圖案的變化，正是一種共形變換。

物理學(xué)家在研究場(chǎng)的時(shí)候，非常需要共形變換的輔助。每一個(gè)共形變換中的不變量，本質(zhì)上都是一種對(duì)稱(chēng)性的體現(xiàn)，就像鏡像反轉(zhuǎn)或空間平移的對(duì)稱(chēng)性一樣。而對(duì)稱(chēng)性正是物理學(xué)家最喜歡的內(nèi)容，每增加一個(gè)對(duì)稱(chēng)性，物理學(xué)家就可以多寫(xiě)出一條約束系統(tǒng)的方程。未知數(shù)的個(gè)數(shù)沒(méi)有增加，而方程的數(shù)量增加了，求解出答案的希望當(dāng)然也就隨之增加了。

各種共形變換和共形對(duì)稱(chēng)性是如此的重要，以至于 CFT（共形場(chǎng)理論，Conformal field theory）已經(jīng)成為一門(mén)應(yīng)用廣泛的基礎(chǔ)科目。不僅在量子場(chǎng)論和引力理論中，而且在凝聚態(tài)物理和熱力學(xué)等理論中，都是不可或缺的重要工具。尤其是在 20 世紀(jì)末 Ads / CFT 對(duì)偶關(guān)系被發(fā)現(xiàn)之后，CFT 的重要程度又進(jìn)一步提升。

雖然共形場(chǎng)不僅限于二維，但對(duì)急于求解方程的研究者來(lái)說(shuō)，二維共形場(chǎng)無(wú)疑是最友善的對(duì)象。因?yàn)橹挥性诙S面上，才有無(wú)限多種共形變換，而在更高維度的空間中，只能存在有限種共形變換，所以二維共形場(chǎng)所蘊(yùn)含的威力尤為強(qiáng)大。有些情況下，研究者甚至可以拋開(kāi)其他因素，僅依靠這些對(duì)稱(chēng)性本身，就足以進(jìn)行精確求解。

非微擾的求解方法

早在 20 世紀(jì) 70 年代，俄羅斯物理學(xué)家 Alexander Polyakov 就被二維共形場(chǎng)的強(qiáng)大威力所吸引，提出了一種全新的求解量子場(chǎng)的方法 —— 共形自舉（conformal bootstrap）。這種方法的基本思想，是把求解過(guò)程拆解為逐級(jí)爬樓梯。先選定一個(gè)三點(diǎn)結(jié)構(gòu)作為基礎(chǔ)，然后再增加第四個(gè)點(diǎn)，繼而增加第五個(gè)點(diǎn)…… 這樣求解的過(guò)程表面看似繁瑣，實(shí)則卻解決了一個(gè)困擾專(zhuān)業(yè)人士已久的難題。

傳統(tǒng)求解量子場(chǎng)的基本思路，或直接或間接地繼承自古老的分析力學(xué)和經(jīng)典場(chǎng)論，即從拉格朗日量或者哈密頓量出發(fā)展開(kāi)運(yùn)算。其中用到的正則量子化和費(fèi)曼路徑積分等技巧，也是以拉氏量和哈氏量為基礎(chǔ)。這套方法非常皮實(shí)耐用，許多關(guān)鍵環(huán)節(jié)已經(jīng)被古圣先賢們反復(fù)打磨鋪墊就緒，對(duì)后來(lái)者的我們來(lái)說(shuō)，幾乎就剩下代入具體情況無(wú)腦傻算。

然而這個(gè)套路在量子場(chǎng)論中卻有個(gè)缺陷，那就是場(chǎng)之間的相互作用不能太強(qiáng)，最好是完全沒(méi)有相互作用的自由場(chǎng)。這就好比一套求解物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的方法，其實(shí)只能求解勻速直線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)處理勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，就把那個(gè)垂直于運(yùn)動(dòng)方向的加速度當(dāng)作一個(gè)高階修正項(xiàng)補(bǔ)充進(jìn)來(lái)。而如果遇到變速圓周運(yùn)動(dòng)，就得再補(bǔ)充更多的修正項(xiàng)。

這種補(bǔ)丁摞補(bǔ)丁的做法，專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)上稱(chēng)為“微擾”。意思就是說(shuō)，把所有場(chǎng)間相互作用和其他約束條件，都看做對(duì)自由場(chǎng)的“微小擾動(dòng)”，由此所產(chǎn)生的效果，都只體現(xiàn)在那些修正項(xiàng)中。顯然，當(dāng)我們遇到非常強(qiáng)的相互作用時(shí)，微擾方法就會(huì)失靈，不能提供符合實(shí)際情況的結(jié)論。

而前面提到的共形自舉方法，則是一種非微擾的套路，可以求解許多強(qiáng)耦合的量子場(chǎng)。在 20 世紀(jì) 80 年代初，Polyakov 和他的兩位合作者 Belavin 和 Zamolodchikov 共同發(fā)表了一篇重要論文，論文中給出了求解一系列二維共形場(chǎng)的框架，向研究者們展示出這一方法的強(qiáng)大力量。自此，以三位作者命名的 BPZ 方程，就成了 CFT 發(fā)展歷程中的一個(gè)里程碑。

從 N-1 個(gè)點(diǎn)邁向 N 個(gè)點(diǎn)的 BPZ 方程長(zhǎng)成下面這個(gè)樣子：

看不懂也沒(méi)關(guān)系，本文也沒(méi)打算真的解釋這個(gè)方程的含義，列出這個(gè)方程純粹是為了滿足部分讀者的好奇心。順便顯擺作者使用搜索引擎的能力。

沿著 BPZ 方程所搭建的梯子，許多傳統(tǒng)微擾手段無(wú)法挖掘的寶藏，現(xiàn)在都可以用共形自舉來(lái)挖掘。在這些寶藏之中，有一個(gè)特殊的二維共形場(chǎng)與量子引力理論關(guān)系非常密切，它就是“劉維爾場(chǎng)（Liouville field）”。

作為一個(gè)二維共形場(chǎng)，劉維爾場(chǎng)當(dāng)然是個(gè)如假包換的量子場(chǎng)。同時(shí)，劉維爾場(chǎng)的經(jīng)典極限，又自然地給出愛(ài)因斯坦方程的二維版本。所以，劉維爾場(chǎng)自身就是一個(gè)漂亮的二維量子引力理論。不僅如此，劉維爾場(chǎng)還可以描述玻色弦在二維面內(nèi)的激發(fā)，從而可視為弦理論所構(gòu)建的量子引力模型中的一部分。另外，透過(guò) Ads / CFT 對(duì)偶關(guān)系，劉維爾場(chǎng)還是一個(gè)三維彎曲時(shí)空內(nèi)的引力描述。

上面一段話可能會(huì)讓非理論物理專(zhuān)業(yè)的讀者有些暈頭轉(zhuǎn)向，其實(shí)拋開(kāi)所有專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)，就是與量子引力理論相關(guān)的許多項(xiàng)研究中，都會(huì)閃現(xiàn)劉維爾場(chǎng)的身影。所以我們憑感覺(jué)就會(huì)知道，這個(gè)劉維爾場(chǎng)必定與量子引力的關(guān)系非常密切。要想了解量子引力的更多秘密，劉維爾場(chǎng)肯定是個(gè)極有價(jià)值的切入口。

既然有共形自舉這個(gè)利器在手，劉維爾場(chǎng)的求解似乎唾手可得，可是這里面還有一個(gè)難題阻礙著研究的進(jìn)展，那就是 BPZ 階梯起步的那個(gè)三點(diǎn)結(jié)構(gòu)必須精確表述，同時(shí)還得滿足一系列約束條件。如果只是用路徑積分和微擾方法來(lái)計(jì)算，就從源頭上失去了“非微擾”的主旨。然而這個(gè)結(jié)構(gòu)常數(shù)的尋找，卻頗費(fèi)了一番力氣。直到 20 世紀(jì) 90 年代，才有兩組研究者不約而同地給出了確定這個(gè)結(jié)構(gòu)常數(shù)的公式。這個(gè)公式被命名為 DOZZ 公式，代表兩組研究者 Dorn、Otto 和 Zamolodchikov、Zamolodchikov。

這里沒(méi)有筆誤，后面兩位確實(shí)都姓 Zamolodchikov，其中一位就是 BPZ 中的那個(gè)“Z”，全名是 Alexander Zamolodchikov，另外一位是他的孿生兄弟 Alexei Zamolodchikov。順便提一句，BPZ 那三位雖然姓氏不同，但名字都叫 Alexander，也是挺有意思的巧合。

說(shuō)回 DOZZ 公式，借助這個(gè)公式作為起點(diǎn)，研究者終于可以求解劉維爾場(chǎng)的關(guān)聯(lián)函數(shù)。但是這個(gè) DOZZ 公式的來(lái)歷，還是令人不夠滿意。因?yàn)檫@個(gè)復(fù)雜的公式竟然不是被推導(dǎo)出來(lái)，而是被生生猜出來(lái)的，可謂繼承了頂級(jí)物理學(xué)家的優(yōu)良傳統(tǒng)。在 1996 年所發(fā)表的論文中，作者 Zamolodchikov 兄弟直接坦白地承認(rèn)：

“需要強(qiáng)調(diào)的是，本節(jié)的論證與推導(dǎo)無(wú)關(guān)。這些更像是某種動(dòng)力，我們將提出的表達(dá)式作為一種猜測(cè)，在隨后的章節(jié)里我們會(huì)嘗試證實(shí)這種猜測(cè)。這個(gè)猜測(cè)看起來(lái)十分自然，甚至可能被那些關(guān)注這個(gè)問(wèn)題的人認(rèn)為是顯而易見(jiàn)的?！?/span>

（ “It should be stressed that the arguments of this section have nothing to do with a derivation. These are rather some motivations and we consider the expression proposed as a guess which we try to support in the subsequent sections. This guess appears quite natural and might even be thought obvious to those concerned with the problem.” ）

如果不能從邏輯上嚴(yán)格推導(dǎo)出這個(gè)公式，就說(shuō)明我們還沒(méi)有真正理解它的意義。即使它能在劉維爾場(chǎng)的具體計(jì)算上幫我們?cè)S多忙，但終究難以提供揭示物理世界本質(zhì)的作用。

于是，一些研究者又開(kāi)始努力研究，試圖弄明白 DOZZ 公式到底能從哪個(gè)角度推導(dǎo)出來(lái)。這項(xiàng)任務(wù)的難度超出了許多人的預(yù)期，在 DOZZ 公式提出后的十多年里，一直沒(méi)有明顯的進(jìn)展。直到 2014 年之后的幾年間，才陸續(xù)出現(xiàn)了幾篇論文成果。

這些近幾年得到的 DOZZ 公式證明過(guò)程，都頗具跨界味道，使用了概率論方面的語(yǔ)言和工具，主要包括 GMC（Gaussian Multiplicative Chaos，高斯倍乘混沌）和 GFF（Gaussian Free Field，高斯自由場(chǎng)）。

從這些證明中，我們也收獲了許多新的認(rèn)識(shí)。原本以為隨機(jī)漲落導(dǎo)致的引力場(chǎng)自身強(qiáng)耦合，必然無(wú)法與路徑積分調(diào)和，然而借助一些來(lái)自概率論的工具，竟然可以將那些漲落的毛刺打磨得足夠光滑，并順利地兼容路徑積分。

當(dāng)然，物理學(xué)家們的目標(biāo)絕不僅僅是馴服二維平面內(nèi)那些野蠻漲落的引力，而是攜馴服經(jīng)驗(yàn)和工具出征，正面迎擊真實(shí)時(shí)空中的引力。

附：DOZZ 公式的樣子：

其中是一種由多重伽馬函數(shù)定義的函數(shù)，比較省紙的寫(xiě)法是

更直觀的寫(xiě)法是

這么復(fù)雜的公式居然是靠感覺(jué)猜出來(lái)的！這是多么強(qiáng)大的直覺(jué)！

參考文獻(xiàn)

• [1] Kupiainen, Antti; Rhodes, Rémi; Vargas, Vincent (2017). "Integrability of Liouville theory: Proof of the DOZZ Formula". arXiv:1707.08785 [math.PR].

• [2] Vargas, Vincent (2017). “Lecture notes on Liouville theory and the DOZZ formula”. arXiv:1712.00829 [math.PR]

• [3] A.B.Zamolodchikov; Al.B.Zamolodchikov (1996).“Structure Constants and Conformal Bootstrap in Liouville Field Theory". DOI: 10.1016/0550-3213(96)00351-3. arXiv:hep-th/9506136