通向量子引力的路,又寬了一點點
二維共形場理論一直是重要的理論物理前沿研究工具之一,尤其是其中的劉維爾共形場理論,更是與量子引力存在著千絲萬縷的直接聯(lián)系。借助共形自舉方法,劉維爾共形場已經(jīng)可以非微擾的精確求解。然而,它的關(guān)鍵方程竟然是猜出來的,直至最近幾年,數(shù)學(xué)家才給了出嚴(yán)格的證明。數(shù)學(xué)家與物理學(xué)家,對量子場論的深意又多了一點了解。
本文引用地址:http://www.ex-cimer.com/article/202212/441441.htm量子引力理論是物理學(xué)界公認(rèn)的圣杯,一直吸引著我們這顆星球上最頂級的一批智慧頭腦為之不斷探索。如今聰慧的科學(xué)家早已能夠駕輕就熟地應(yīng)用量子理論和廣義相對論,乃至日常生活都能發(fā)現(xiàn)它們的身影,然而隱藏在這兩個理論背后的宇宙奧秘,卻仍然顯得那么渺遠(yuǎn)難測。
2003 年的時候,美國物理學(xué)家,圈量子引力的奠基者之一,李?斯莫林(Lee Smolin)曾在他的科普著作《宇宙的本源》(Three Roads to Quantum Gravity)結(jié)尾處樂觀地展望:“到 2010 年,至多到 2015 年,我們應(yīng)該已經(jīng)擁有量子引力理論的基本框架…… 在擁有這個理論的 10 年之內(nèi),能夠檢測它的新型實驗將會被發(fā)明出來…… 到 21 世紀(jì)末,全球的高中生都將學(xué)習(xí)引力的量子理論?!比缃窕赝?,斯莫林的預(yù)言顯然過于樂觀了。
也許最能體現(xiàn)量子理論與引力理論之間鴻溝的,就是宇宙暗能量這個概念。依照廣義相對論,加速膨脹的宇宙昭示著真空具有能量,也就是愛因斯坦方程中的“宇宙常數(shù)”不為零。同時依照量子場論,真空也具有非零的能量,這已經(jīng)被卡西米爾效應(yīng)(Casimir effect)實驗所證實。如此看來,兩個理論似乎都不約而同地給出了真空能量,然而實際上二者給出的數(shù)值相差了 120 個數(shù)量級!注意不是 120 倍,而是 120 個數(shù)量級,也就是 10120 倍。企圖用真空零點能解釋宇宙常數(shù)的努力,成了物理學(xué)中最離譜的猜測。
然而我們的宇宙不可能有兩種真空,于是“宇宙暗能量”這個概念就被提了出來,以彌合兩個理論對真空能量描述上的巨大分歧。暗能量之所以稱之為“暗”,就是因為它既不在量子理論框架之內(nèi),也不能由引力理論解釋。這個占據(jù)宇宙總能量 70% 的神秘缺口,或許只能等待未來的量子引力理論去縫合。
“降維打擊”
在探索量子引力的道路上,充滿了現(xiàn)有數(shù)學(xué)工具難以逾越的障礙,于是研究者們一邊努力構(gòu)建新工具,一邊也在嘗試簡化問題的迂回方法,二維模型就是最為常用的迂回手段之一。
將高維降至二維最顯而易見的好處,就是運算處理的大幅度簡化。比如,在二維平面內(nèi),幾次轉(zhuǎn)動操作之間可以隨意地交換順序,最終的操作結(jié)果并不會因順序的改變而受到影響。而在三維或更高維的空間中,多個轉(zhuǎn)動操作之間不能隨意交換順序??梢姸S空間比高維空間所受的限制更少,在處理復(fù)雜計算時可以騰挪的余地也就更大。
當(dāng)然轉(zhuǎn)動操作只是一個不入流的例子,研究者們真正青睞的是一種名為“共形變換(Conformal transformations)”的操作。這種操作也稱“保角變換”,顧名思義就是在扭曲變形的時候能夠保持任意兩條線的夾角不變。比如下圖所示的這個變換,就是個典型的共形變換。在變換之后,每根藍(lán)色線與每根紅色線仍然保持垂直。
如果你是第一次聽到“共形變換”這個名詞,也不要被這唬人的名字嚇到??纯瓷蠄D中那些彎曲的線條,是否讓你聯(lián)想到中學(xué)課本上的電場線和磁場線?再回想小時候用紙上的鐵屑顯示磁力線的那個小實驗。其實,當(dāng)你手握兩塊磁鐵隨意移動時,紙上那些鐵屑圖案的變化,正是一種共形變換。
物理學(xué)家在研究場的時候,非常需要共形變換的輔助。每一個共形變換中的不變量,本質(zhì)上都是一種對稱性的體現(xiàn),就像鏡像反轉(zhuǎn)或空間平移的對稱性一樣。而對稱性正是物理學(xué)家最喜歡的內(nèi)容,每增加一個對稱性,物理學(xué)家就可以多寫出一條約束系統(tǒng)的方程。未知數(shù)的個數(shù)沒有增加,而方程的數(shù)量增加了,求解出答案的希望當(dāng)然也就隨之增加了。
各種共形變換和共形對稱性是如此的重要,以至于 CFT(共形場理論,Conformal field theory)已經(jīng)成為一門應(yīng)用廣泛的基礎(chǔ)科目。不僅在量子場論和引力理論中,而且在凝聚態(tài)物理和熱力學(xué)等理論中,都是不可或缺的重要工具。尤其是在 20 世紀(jì)末 Ads / CFT 對偶關(guān)系被發(fā)現(xiàn)之后,CFT 的重要程度又進一步提升。
雖然共形場不僅限于二維,但對急于求解方程的研究者來說,二維共形場無疑是最友善的對象。因為只有在二維面上,才有無限多種共形變換,而在更高維度的空間中,只能存在有限種共形變換,所以二維共形場所蘊含的威力尤為強大。有些情況下,研究者甚至可以拋開其他因素,僅依靠這些對稱性本身,就足以進行精確求解。
非微擾的求解方法
早在 20 世紀(jì) 70 年代,俄羅斯物理學(xué)家 Alexander Polyakov 就被二維共形場的強大威力所吸引,提出了一種全新的求解量子場的方法 —— 共形自舉(conformal bootstrap)。這種方法的基本思想,是把求解過程拆解為逐級爬樓梯。先選定一個三點結(jié)構(gòu)作為基礎(chǔ),然后再增加第四個點,繼而增加第五個點…… 這樣求解的過程表面看似繁瑣,實則卻解決了一個困擾專業(yè)人士已久的難題。
傳統(tǒng)求解量子場的基本思路,或直接或間接地繼承自古老的分析力學(xué)和經(jīng)典場論,即從拉格朗日量或者哈密頓量出發(fā)展開運算。其中用到的正則量子化和費曼路徑積分等技巧,也是以拉氏量和哈氏量為基礎(chǔ)。這套方法非常皮實耐用,許多關(guān)鍵環(huán)節(jié)已經(jīng)被古圣先賢們反復(fù)打磨鋪墊就緒,對后來者的我們來說,幾乎就剩下代入具體情況無腦傻算。
然而這個套路在量子場論中卻有個缺陷,那就是場之間的相互作用不能太強,最好是完全沒有相互作用的自由場。這就好比一套求解物體運動狀態(tài)的方法,其實只能求解勻速直線運動。當(dāng)處理勻速圓周運動時,就把那個垂直于運動方向的加速度當(dāng)作一個高階修正項補充進來。而如果遇到變速圓周運動,就得再補充更多的修正項。
這種補丁摞補丁的做法,專業(yè)術(shù)語上稱為“微擾”。意思就是說,把所有場間相互作用和其他約束條件,都看做對自由場的“微小擾動”,由此所產(chǎn)生的效果,都只體現(xiàn)在那些修正項中。顯然,當(dāng)我們遇到非常強的相互作用時,微擾方法就會失靈,不能提供符合實際情況的結(jié)論。
而前面提到的共形自舉方法,則是一種非微擾的套路,可以求解許多強耦合的量子場。在 20 世紀(jì) 80 年代初,Polyakov 和他的兩位合作者 Belavin 和 Zamolodchikov 共同發(fā)表了一篇重要論文,論文中給出了求解一系列二維共形場的框架,向研究者們展示出這一方法的強大力量。自此,以三位作者命名的 BPZ 方程,就成了 CFT 發(fā)展歷程中的一個里程碑。
從 N-1 個點邁向 N 個點的 BPZ 方程長成下面這個樣子:
看不懂也沒關(guān)系,本文也沒打算真的解釋這個方程的含義,列出這個方程純粹是為了滿足部分讀者的好奇心。順便顯擺作者使用搜索引擎的能力。
沿著 BPZ 方程所搭建的梯子,許多傳統(tǒng)微擾手段無法挖掘的寶藏,現(xiàn)在都可以用共形自舉來挖掘。在這些寶藏之中,有一個特殊的二維共形場與量子引力理論關(guān)系非常密切,它就是“劉維爾場(Liouville field)”。
作為一個二維共形場,劉維爾場當(dāng)然是個如假包換的量子場。同時,劉維爾場的經(jīng)典極限,又自然地給出愛因斯坦方程的二維版本。所以,劉維爾場自身就是一個漂亮的二維量子引力理論。不僅如此,劉維爾場還可以描述玻色弦在二維面內(nèi)的激發(fā),從而可視為弦理論所構(gòu)建的量子引力模型中的一部分。另外,透過 Ads / CFT 對偶關(guān)系,劉維爾場還是一個三維彎曲時空內(nèi)的引力描述。
上面一段話可能會讓非理論物理專業(yè)的讀者有些暈頭轉(zhuǎn)向,其實拋開所有專業(yè)術(shù)語來說,就是與量子引力理論相關(guān)的許多項研究中,都會閃現(xiàn)劉維爾場的身影。所以我們憑感覺就會知道,這個劉維爾場必定與量子引力的關(guān)系非常密切。要想了解量子引力的更多秘密,劉維爾場肯定是個極有價值的切入口。
既然有共形自舉這個利器在手,劉維爾場的求解似乎唾手可得,可是這里面還有一個難題阻礙著研究的進展,那就是 BPZ 階梯起步的那個三點結(jié)構(gòu)必須精確表述,同時還得滿足一系列約束條件。如果只是用路徑積分和微擾方法來計算,就從源頭上失去了“非微擾”的主旨。然而這個結(jié)構(gòu)常數(shù)的尋找,卻頗費了一番力氣。直到 20 世紀(jì) 90 年代,才有兩組研究者不約而同地給出了確定這個結(jié)構(gòu)常數(shù)的公式。這個公式被命名為 DOZZ 公式,代表兩組研究者 Dorn、Otto 和 Zamolodchikov、Zamolodchikov。
這里沒有筆誤,后面兩位確實都姓 Zamolodchikov,其中一位就是 BPZ 中的那個“Z”,全名是 Alexander Zamolodchikov,另外一位是他的孿生兄弟 Alexei Zamolodchikov。順便提一句,BPZ 那三位雖然姓氏不同,但名字都叫 Alexander,也是挺有意思的巧合。
說回 DOZZ 公式,借助這個公式作為起點,研究者終于可以求解劉維爾場的關(guān)聯(lián)函數(shù)。但是這個 DOZZ 公式的來歷,還是令人不夠滿意。因為這個復(fù)雜的公式竟然不是被推導(dǎo)出來,而是被生生猜出來的,可謂繼承了頂級物理學(xué)家的優(yōu)良傳統(tǒng)。在 1996 年所發(fā)表的論文中,作者 Zamolodchikov 兄弟直接坦白地承認(rèn):
“需要強調(diào)的是,本節(jié)的論證與推導(dǎo)無關(guān)。這些更像是某種動力,我們將提出的表達式作為一種猜測,在隨后的章節(jié)里我們會嘗試證實這種猜測。這個猜測看起來十分自然,甚至可能被那些關(guān)注這個問題的人認(rèn)為是顯而易見的。”
( “It should be stressed that the arguments of this section have nothing to do with a derivation. These are rather some motivations and we consider the expression proposed as a guess which we try to support in the subsequent sections. This guess appears quite natural and might even be thought obvious to those concerned with the problem.” )
如果不能從邏輯上嚴(yán)格推導(dǎo)出這個公式,就說明我們還沒有真正理解它的意義。即使它能在劉維爾場的具體計算上幫我們許多忙,但終究難以提供揭示物理世界本質(zhì)的作用。
于是,一些研究者又開始努力研究,試圖弄明白 DOZZ 公式到底能從哪個角度推導(dǎo)出來。這項任務(wù)的難度超出了許多人的預(yù)期,在 DOZZ 公式提出后的十多年里,一直沒有明顯的進展。直到 2014 年之后的幾年間,才陸續(xù)出現(xiàn)了幾篇論文成果。
這些近幾年得到的 DOZZ 公式證明過程,都頗具跨界味道,使用了概率論方面的語言和工具,主要包括 GMC(Gaussian Multiplicative Chaos,高斯倍乘混沌)和 GFF(Gaussian Free Field,高斯自由場)。
從這些證明中,我們也收獲了許多新的認(rèn)識。原本以為隨機漲落導(dǎo)致的引力場自身強耦合,必然無法與路徑積分調(diào)和,然而借助一些來自概率論的工具,竟然可以將那些漲落的毛刺打磨得足夠光滑,并順利地兼容路徑積分。
當(dāng)然,物理學(xué)家們的目標(biāo)絕不僅僅是馴服二維平面內(nèi)那些野蠻漲落的引力,而是攜馴服經(jīng)驗和工具出征,正面迎擊真實時空中的引力。
附:DOZZ 公式的樣子:
其中是一種由多重伽馬函數(shù)定義的函數(shù),比較省紙的寫法是
更直觀的寫法是
這么復(fù)雜的公式居然是靠感覺猜出來的!這是多么強大的直覺!
參考文獻
[1] Kupiainen, Antti; Rhodes, Rémi; Vargas, Vincent (2017). "Integrability of Liouville theory: Proof of the DOZZ Formula". arXiv:1707.08785 [math.PR].
[2] Vargas, Vincent (2017). “Lecture notes on Liouville theory and the DOZZ formula”. arXiv:1712.00829 [math.PR]
[3] A.B.Zamolodchikov; Al.B.Zamolodchikov (1996).“Structure Constants and Conformal Bootstrap in Liouville Field Theory". DOI: 10.1016/0550-3213(96)00351-3. arXiv:hep-th/9506136
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