使用模擬乘法器的同步解調(diào)與基于開關(guān)的乘法器

在之前的文章中，我們了解了同步解調(diào)技術(shù)的基礎(chǔ)知識。該技術(shù)有助于測量隱藏在閃爍噪聲中的低頻信號。它試圖以比電路的 1/f 拐角頻率高得多的頻率運行電路，以便閃爍噪聲不再是限制因素。

在之前的文章中，我們了解了同步解調(diào)技術(shù)的基礎(chǔ)知識。該技術(shù)有助于測量隱藏在閃爍噪聲中的低頻信號。它試圖以比電路的 1/f 拐角頻率高得多的頻率運行電路，以便閃爍噪聲不再是限制因素。
同步解調(diào)技術(shù)可以使用模擬乘法器或基于開關(guān)的乘法器來實現(xiàn)。從實現(xiàn)的角度來看，基于開關(guān)的乘法更方便。
在本文中，我們將探討使用此類乘法器的優(yōu)缺點。
使用模擬乘法器的同步解調(diào)
圖 1 顯示了實現(xiàn)同步解調(diào)技術(shù)的基本框圖。 

圖1

假設(shè)運算放大器的輸出信號為vB(t)=Bsin(2πfint+?)，我們得到：
vC(t)=Asin(2πfint)×Bsin(2πfint+?)=12ABcos(?)?12ABcos(4πfint+?)
第二項是輸入頻率的兩倍，被低通濾波器抑制。所以我們有：
vD(t)=12ABcos(?)
如果我們假設(shè)運算放大器沒有引入任何延遲，即 ?=0，我們得到 vD(t)=12AB。因此，低通濾波器的輸出與節(jié)點 A 的信號幅度成正比，可用于測量 Csense 的值。
上述設(shè)計有一個主要缺點：它需要一個模擬乘法器。
模擬乘法器，例如吉爾伯特單元，通常存在線性問題。（有關(guān)更多信息，請參閱本書的第 10.3 節(jié)。） 
我們可以使用基于開關(guān)的電路來執(zhí)行所需的乘法，而不是使用模擬乘法器。
在本文中，我們將研究乘以方波的基本概念，并將其噪聲性能與使用模擬乘法器的同步解調(diào)系統(tǒng)的噪聲性能進行比較。
使用方波的同步解調(diào)
基于方波的同步解調(diào)器的框圖如圖 2 所示。“過零檢測器”用于將輸入正弦波轉(zhuǎn)換為驅(qū)動開關(guān) SW 的方波。 

圖 2

由于方波是從正弦波的過零點生成的，因此兩個波形的周期相同（如圖 3 所示）。

圖 3

當(dāng)方波為高電平時，運放的輸出信號直接加到低通濾波器；但是，當(dāng)方波較低時，信號在到達低通濾波器之前會經(jīng)歷 -1 的增益。實際上，運算放大器輸出乘以方波。
傅立葉分析表明，上述方波的頻譜由方波基頻的奇次諧波處的正弦波組成。假設(shè)波形的高低值分別為1和-1，我們得到如下：
vsquarewave(t)=∞∑n=1,3,54nπsin(2πnfINt)
當(dāng)我們將一個頻率為 f1 的正弦波乘以另一個頻率為 f2 的正弦波時，我們在和 (f1+f2) 和差 (f1?f2)處得到兩個余弦項) 頻率。將 vB(t)=Bsin(2πfint+?) 乘以方波的每個頻率分量將導(dǎo)致在相應(yīng)的和頻和差頻處的兩個頻率分量。您可以在圖 4 中看到此結(jié)果。 

圖 4

如您所見，我們有一個 DC 項以及傳感器激勵頻率的偶次諧波處的頻率分量。高頻分量將被窄低通濾波器抑制，并且將僅保留可用于提取 Csense 值的 DC 項。
請注意，2fIN 處的輸出頻率分量源自兩個不同的乘法：將 vB(t) 乘以方波的諧波的和頻率項 (fIN+fIN=2fIN)和vB(t)乘以方波的三次諧波的差頻項((3f_{IN}-f_{IN}=2f_ {在}））。類似地，在 4fIN,6fIN,? 處的每個輸出頻率分量都源自兩個不同的乘法。
乘方波的噪聲性能
圖 2 中所示的同步解調(diào)用開關(guān)和一些其他模塊代替了模擬乘法器。我們將看到這種新方法的電路實現(xiàn)比基于模擬乘法器的方法容易得多。
但是，使用基于方波的解調(diào)器時，輸入會乘以傳感器激勵頻率的所有奇次諧波。
這些不需要的乘法會增加低通濾波器輸出端的噪聲嗎？
為了更好地理解為什么人們應(yīng)該擔(dān)心這些不需要的倍增，請考慮圖 5 中顯示的光譜。

圖 5

在此圖中，黑色曲線顯示節(jié)點 B 處噪聲的頻率內(nèi)容，而藍線表示方波的頻譜。 
當(dāng)這兩個信號在時域相乘時，方波的給定頻率分量 (nfIN) 會將噪聲頻譜向右和向左移動 nfIN （就像兩個正弦波相乘在兩個輸入正弦波的和頻和差頻處產(chǎn)生頻率分量一樣）。
乘法之后，我們有低通濾波器。這意味著只有部分移頻為直流且位于濾波器通帶中的噪聲將保留下來，而其他噪聲分量將被抑制。
哪些噪聲分量將被下變頻為直流電？答案是：只有接近方波頻率分量的噪聲分布區(qū)域（圖 6 中的彩色區(qū)域）。

圖 6 

理想的方波由無限數(shù)量的奇次諧波頻率分量組成。理論上，有無限數(shù)量的噪聲區(qū)域被頻移到 DC。
這是否意味著基于方波的方法的噪聲高得無法接受？
令人驚訝的是，與圖 3 中所示的方波相乘不會增加 DC 處的噪聲（請參見下面的證明）。當(dāng)方波為高電平時，節(jié)點B處的噪聲直接傳遞到節(jié)點C；當(dāng)方波較低時，噪聲以-1 的增益?zhèn)鬟f。
在分析噪聲效應(yīng)時，我們感興趣的是它的功率（在數(shù)學(xué)上涉及平方運算）。因此，可以忽略方波低電平狀態(tài)的 -1 增益，我們可以假設(shè)，對于方波的整個周期，節(jié)點 B 處的噪聲被轉(zhuǎn)移到節(jié)點 C。
基于這一觀察，我們知道基于方波的乘法器輸出端的總噪聲功率與其輸入端的總噪聲功率相同。然而，這種直觀的論證并沒有揭示我們在乘法器之后的 DC 處會有多少噪聲。（請注意，我們對低頻噪聲感興趣，因為低通濾波器會拒絕其他噪聲分量。） 
下一節(jié)的數(shù)學(xué)分析可以讓我們更好地了解基于方波的乘法器的噪聲性能。 
系統(tǒng)噪聲的數(shù)學(xué)分析
我們討論了只有接近方波頻率分量的噪聲分布區(qū)域（圖 6 中的彩色區(qū)域）才能下變頻為直流電。圖 6 表明，如果 fIN 足夠大于 1/f 轉(zhuǎn)角頻率，則閃爍噪聲不會影響低通濾波器輸出端的噪聲功率。為了計算低通濾波器輸出端的噪聲功率，我們可以忽略閃爍噪聲。
鑒于此，我們假設(shè)噪聲功率譜密度 (PSD) 是平坦的，并且在所有頻率下都具有單側(cè)的 η 值（如下面的圖 7(a) 所示）。在單側(cè)表示中，負頻率的噪聲功率圍繞垂直軸折疊并添加到正頻率的功率。
對于實信號，PSD 是偶函數(shù)，因此圖 7(a) 中頻譜的等效雙側(cè) PSD 將如圖 7(b) 所示（包括負頻率，但 PSD 值為減半）。

圖 7

使用圖 7(b) 中的平坦頻譜，我們可以更輕松地計算輸出噪聲，因為將 PSD 向右或向左移動都不會改變它。讓我們檢查一下方波的第 n 個頻率分量的影響，例如 vsquarewave,n(t)=4nπsin(2πnfINt)，在圖 7(b) 中描繪的 PSD 上。該術(shù)語可以重寫為：
vsquarewave,n(t)=4nπ×ej2πnfINtej2πnfINt2j
項 e±j2πnfINt 會使 PSD 發(fā)生頻移，但可以忽略，因為 PSD 是平坦的。這些偏移的 PSD 將經(jīng)歷 A=±4j2nπ的衰減因子。我們知道，將 PSD 為 Sinput(f) 的噪聲應(yīng)用于傳遞函數(shù)為H(f)的系統(tǒng)會導(dǎo)致噪聲 PSD 為 Sinput(f)×|H(f)|2 在系統(tǒng)輸出（請參閱本文）。因此，方波的第 n 個分量將在輸出端導(dǎo)致以下兩側(cè) PSD：
PSDout,n=η2×(|+4j2nπ|2+|4j2nπ|2)=2×η2×(42nπ)2= fracη2×8(nπ)2
總噪聲將是 n 的所有奇數(shù)值的 PSDout,n 項之和。這給了我們：
PSDout=∞∑n=1,3,5η2×8(nπ)2=η2×8(π)2∞∑n=1,3,51n2
可以證明
∞∑n=1,3,51n2=π28
所以現(xiàn)在我們有
PSDout=η2
如您所見，假設(shè)節(jié)點 B 處的 PSD 是平坦的，基于方波的乘法器不會改變 PSD 值或形狀。 
其他噪聲源呢？
考慮到上述討論，具有平坦輸入噪聲頻譜的基于方波的乘法器的輸出 PSD 與輸入噪聲的輸出 PSD 相同。然而，與使用模擬乘法器的系統(tǒng)相比，基于方波的同步解調(diào)器的噪聲抑制仍然較差。
例如，假設(shè)圖 2 中放大器的輸出端出現(xiàn) 3 kHz 的強噪聲分量。如果我們使用 fIN=1KHz 的傳感器激勵頻率，則平方的三次諧波波將與噪聲頻率重合。噪聲將被下變頻為直流電，并出現(xiàn)在低通濾波器的輸出端。
這意味著，在使用基于方波的解調(diào)器時，我們必須考慮潛在的噪聲成分（例如電源線頻率的諧波）并為傳感器選擇合適的激勵頻率。
結(jié)論
同步解調(diào)技術(shù)可以使用模擬乘法器或基于開關(guān)的乘法器來實現(xiàn)。從實現(xiàn)的角度來看，基于開關(guān)的乘法更方便。
如果我們將平坦噪聲 PSD 應(yīng)用于基于開關(guān)的解調(diào)器，則輸出 PSD 將與輸入相同?；诜讲ǖ慕庹{(diào)器的噪聲性能不應(yīng)低于基于模擬乘法器的系統(tǒng)。但是，我們必須為傳感器選擇合適的激勵頻率，使其他已知噪聲源（例如電力線諧波）不會與方波的奇次諧波重合。