如何設計采用Sallen-Key濾波器的抗混疊架構

此KWIK（技術訣竅與綜合知識）電路應用筆記提供了解決特定設計挑戰的分步指南。對于給定的一組應用電路要求，本文說明了如何利用通用公式應對這些要求，并使它們輕松擴展到其他類似的應用規格。

在任何采樣系統中，例如涉及ADC的測量系統中，有一種稱為混疊的現象，它可能導致處于較高頻帶的信號“向下折疊”到奈奎斯特頻帶，使其與目標信號無法區分。奈奎斯特頻率是采樣速率f_s的一半。由ADC采樣的電路帶寬應小于采樣速率的一半?；殳B會導致干擾信號和噪聲污染輸出，從而影響測量精度。圖1和圖2分別顯示了正確采樣（高采樣速率）和不正確采樣（低采樣速率）的例子。

圖1：采樣速率足夠高，可分辨信號

圖2：低采樣速率，混疊回到DC

有些應用依賴頻域中的數據分析，例如狀態監控、預防性維護、電力質量監控和被動聲納，對于這些應用中使用的測量系統，混疊是一個特別的問題。這些系統通常支持寬帶寬數據采集，能夠處理頻域中的振動、功率和聲學等信號，并根據信號音和諧波的特征做出決策。監控的性質要求使它們對頻譜干擾特別敏感。低通濾波器是這些測量系統中的信號鏈設計的重要組成部分，有助于防止帶外信號和噪聲折疊到目標信號帶寬中。

信號處理電路通常選擇有源濾波器，而不選擇無源濾波器，原因是有源濾波器提供的輸出功率增益和頻率范圍可通過修改濾波器參數來輕松調整。巴特沃茲、橢圓、貝塞爾和切比雪夫濾波器是四種最常見的有源濾波器。要選擇最合適的濾波器，實際上取決于應用和濾波器設計過程中需要權衡的因素，如頻率響應、級數或相位線性度。圖3顯示了每種有源濾波器的響應，設計技巧部分會提供進一步說明。

圖3：四類有源濾波器

這里選擇的是實現巴特沃斯濾波器。一旦選定了濾波器類型，通常用于支持有源極點對拓撲的配置是Sallen-Key濾波器和多反饋濾波器。此KWIK電路筆記將幫助設計和實現低通Sallen-Key濾波器以防止混疊。

單級Sallen-Key濾波器由有源器件（運算放大器）和無源元件（電阻和電容）組成。運算放大器的電壓增益由一個雙電阻分壓器設置，運算放大器用于抑制超范圍信號。本文討論一個針對低功耗應用的濾波器電路設計示例。所討論的原則適用于一般的濾波器設計。該設計使用10μA電源電流、低IB、零漂移運算放大器LTC2066。我們的低功耗信號鏈產品系列中還有其他運算放大器可以提供相似的結果（AD8505、LTC6258、LTC2063、ADA4505、MAX40023、MAX40108）。

圖4顯示了電路的整體原理圖，其中選擇LTC2066來實現Sallen-Key、雙極點、單位增益的低通濾波器。

設計規格示例

低功耗應用通常使用單電源，電源電壓通常在1.8 V和3.6 V之間。圖4所示電路的設計選擇取決于傳感器輸出和應用要求。對于這種情況，一種可能的傳感器是ADLX356B，它是一款加速度計，用于在有許多高頻干擾信號的非常嘈雜環境中測量機器的振動。圖4中電路的主要設計規格示例列在表1中。

圖4：具有單位增益的Sallen-Key低通濾波器

表1.圖4所示電路的主要設計規格

設計描述

圖4中的電路包括LTC2066，它是一款10μA電源電流、低I_B、零漂移運算放大器，可以采用最低3.3V電源V_DD供電。LTC2066采用6引腳SC70封裝。這種低通Sallen-Key濾波器用于對加速度計的輸出進行濾波，以防止混疊到目標頻帶中。

濾波器的輸出表示為V_out，而V_signal表示加速度計的輸出。

設計注意事項

1.圖4中的電路是一種單位增益的Sallen-Key濾波器?？蓪㈦娮杈W絡添加到運算放大器的反饋回路中，以給電路增加增益（參見附錄1）。品質因數Q（衡量穩定性方面的性能）與增益本質上相關。為獲得最佳穩定性，增益應低于3。

2.品質因數Q對于Sallen-Key濾波器可能很重要。在此設計中，Q保持√2?2，這是巴特沃茲二階濾波器的標準值?？梢哉{整Q以改變濾波器響應。Q越高（切比雪夫濾波器），滾降速度越快，但相位線性度和幅度平坦度會下降。Q越低（貝塞爾濾波器），相位線性度越好，但抑制性能會下降。其他對于描述低通濾波器很重要的參數可見圖5上的標識。

圖5：低通濾波器通常的幅頻表現

3.與理想的低通濾波器響應不同， Sallen-Key濾波器的響應不會在超過截止頻率后持續降低。在截止頻率之后，濾波器增益將以40dB/十倍頻程的斜率降低，直到某一頻率（取決于所選的放大器），然后濾波器增益開始以20dB/十倍頻程的斜率提高，直至變成恒定值。這種特性源于以下事實：運算放大器不是理想的，具有有限的增益帶寬，并且輸出阻抗不是零。在超過其能力的頻率時，這種有限的增益帶寬會導致運算放大器喪失活力。當發生這種情況時，運算放大器看起來像是連接到地的輸出阻抗，因為電容C₁和C₂表現為短路。

不僅應該監視Sallen-Key濾波器的高頻特性，而且必須知道它在什么頻率開始再次提高，如圖6中的綠色曲線所示部分，而藍色曲線是理想特性。此限制被稱為阻帶限制。

圖6：阻帶限制

4.在Sallen-Key濾波器中，為電阻和電容選擇的值成反比，這意味著如果電阻較大，那么電容將較小。

當傳感器不能很好地驅動濾波器時，使用大電阻和小電容會很有用，這樣就不會給傳感器帶來負擔。最后，Sallen-Key濾波器引入了一個問題，如設計技巧3所述，其抑制信號的能力在高頻時會降低。較大電阻可緩解此問題。

較小電阻和較大電容也有一些好處。小電阻對直流性能有利。輸入偏置電流流入運算放大器輸入端，因此電阻值越低，直流偏移越低。這種組合還能降低噪聲。最后，在較高頻率時，小電阻會降低寄生電容對設計的影響。

對于這種低功耗設計，最好使用大電阻和小電容。

5.選擇無源元件值（電阻和電容）時，應考慮容差。

例如，當選擇R₁、R₂、C₁和C₂的值時，這些元件的容差可能會改變濾波器特征，例如截止頻率。在多通道解決方案中，元件容差還會影響通道之間的匹配。

設計步驟

1.設置濾波器的截止頻率：

開始設計Sallen-Key濾波器之前，必須考慮傳感器規格。對于此設計，加速度計的相關帶寬為3kHz，因此Sallen-Key濾波器設計的目標截止頻率將設置為f_c = 3kHz。

注：依據低通Sallen-Key轉換函數計算截止頻率的公式為：

2.設置濾波器的Q：

有多種方法可以實現Sallen-Key濾波器并評估元件的值。在不實施增益的情況下，一種不限制設計的常見方法是使用比率設置這兩個電阻和兩個電容。也就是說，電阻R₁和R₂設置如下：

而電容C₁和C₂設置如下：

第一步是選擇m和n的值。從設計技巧2可知，品質因數Q = √2?2 ≈ 0.707，但因為增益K等于1，所以也可以簡化來自轉換函數的Q因數的表達式：

由于未知參數比已知參數多，因此通常固定一個比率。一個常見值是n = 10，此設計過程將使用該值。由于n = 10，現在便可求得m的值。

該二次方程的完整求解過程見附錄，m的兩個解是：

解m1和m2是可以獲得√2?2的品質因數的兩個值。

3.元件值：

根據設計注意事項第4點，期望是在合理范圍內使用大電阻和小電容?，F在，比率為已知值，下一步是選擇R₁的值以計算其他元件值。一個合理的高值是R₁ = 51kΩ，這是標準電阻值。此值也足夠高，使得低功耗運算放大器LTC2066的輸出阻抗不至于過大。上一步求得了電阻比的兩個解。在Sallen-Key濾波器中，出于阻抗原因，最好將低值電阻放在R₁位置，因此將保留m₁解。

根據先前確定的R₁值和所選的比率，可以計算R₂。

最接近的電阻標準值為910kΩ。

一旦選定并計算出電阻值，借助截止頻率的簡化表達式可以計算C的值，然后計算兩個電容的值。

根據先前的計算，對于C₁，最接近的標準電容值為75pF。利用先前確定的比率可以計算C₂的值，

最接近的標準值為0.75nF。

4.阻帶限制頻率：

考慮設計注意事項第6點，在Sallen-Key低通濾波器的設計中，盡管它是低通濾波器，濾波器增益最終也會再次提高。這種行為來自放大器的輸出阻抗與設計的電阻值R₁和R₂的相互作用。這些電阻的值越高，阻帶限制出現得越遠。

設計仿真

模擬濾波器向導工具根據用戶的規格提供濾波器建議，并輔助設計濾波器（低通、高通和帶通）。它還能幫助檢索所選濾波器的預期性能，例如幅度、相位、噪聲、輸入阻抗、靜態功耗以及對電路的建議。它也會提供對濾波器的理論預期和實際性能的嚴謹分析。

使用此工具的第一步是參考目標低通濾波器設計的規格。為了實現僅有一級的二階濾波器，阻帶規格需要滿足某些要求。根據阻帶的分貝(dB)值的不同，二階濾波器的頻率間隔是不同的。當為不同的阻帶dB值選擇3kHz的截止頻率時，設置二階濾波器的頻率間隔如表2所示。

表2：行為結果間隔

根據設計步驟，通帶的特征是0dB增益和3kHz (-3dB)截止頻率。在25kHz時，阻帶規格將是-30dB。最后，您可以選擇濾波器響應，也就是您想要使用哪種濾波器（巴特沃茲、切比雪夫、貝塞爾……）。正如設計注意事項第2點所述，為了盡可能接近上述理論，我們將選擇二階巴特沃茲濾波器。在第一個窗口中，可以看到剛剛輸入的規格中的級數，如圖7所示。

圖7：模擬濾波器向導工具的規格窗口

在規格窗口中可以檢索幅度視圖。這是濾波器在理想條件下的頻率輸出的樣子。在高頻時，濾波器的確是不斷滾降。

輸入規格后，左鍵單擊圖8中顯示的“components”（元件）按鈕。在此窗口中，單擊元器件選項卡中的“I want to choose”（我想要選擇）之后，不僅可以選擇電阻和電容的值，還可以選擇運算放大器基準電壓源。您還可以選擇將濾波器實現為Sallen-Key型還是多反饋型。為了盡可能接近設計步驟，這里選擇LTC2066。該工具還會提供電阻和電容的標準值，同樣，我們將選擇盡可能接近以上計算值的元件。

所有元件設置完畢后，便可監視濾波器的行為，如圖8所示。與圖7相反，幅度視圖這次不是用理想運算放大器來仿真，而是用真實運算放大器來仿真，它在高頻時引入了阻帶頻率。行為結果的摘要如表3所示。

表3.設計目標與仿真交流分析

根據設計步驟、設計目標和模擬濾波器向導的結果，就元件值而言，輸出似乎比較相似。

您可以監視其他結果，以便更好地了解ADI工具提供的Sallen-Key低通濾波器，例如功耗或有效值噪聲。

圖8.模擬濾波器向導工具：電路結果

LTspice也是一個很好的仿真工具，它能檢查上述設計步驟中的計算。LTspice原理圖如下圖9所示。所做的仿真是電路的頻率響應，結果可從圖10中檢索，輸入信號為1V (1kHz)。圖10中的光標放在低通濾波器的-3dB點上。表4顯示了設計目標與仿真結果的比較。

表4.設計目標與仿真交流分析

雖然截止頻率非常接近期望值，但范圍的起源不同。首先，電阻值取標準值，但應盡可能接近計算值。該設計顯示，在最高80kHz的阻帶時，至少為-20dB的衰減。如果這不足以達到設計要求，可以考慮使用更寬帶寬的運算放大器，但功耗會提高。另外，可以考慮在Sallen-Key濾波器之后使用一個簡單的R/C低通濾波器，以在較高頻率下獲得更多衰減。

圖9：LTspice原理圖

圖10.交流仿真結果

設計器件

表5.運算放大器

參考資料

Ltspice

LTspice?是一款高性能SPICE III仿真軟件、原理圖采集工具和波形查看器，集成增強功能和模型，簡化了開關穩壓器、線性穩壓器和信號鏈電路的仿真。

模擬濾波器向導

鉆石圖工具是一款Web應用程序， 可基于Analog Devices 的元器件生成濾波器建議，助您設計出具備所需特性的低通、高通或帶通濾波器，且準備時間更短。

附錄

附錄1：

如果需要增益K，所使用的公式將不相同。品質因數的公式將是：

在這種情況下，品質因數和截止頻率之間存在關聯。為了滿足設計規格，同時將元件值設置為先前的比率，設計過程首先應確定增益K，以及電阻和電容的比率m和n以設置Q。然后應設置C值，最后根據期望的截止頻率f_c計算R值：

增益K將等于：

增益可能會改變運算放大器的帶寬，進而影響通帶和阻帶的行為。放大器的輸出阻抗須除以環路增益，因此輸出阻抗將隨頻率的提高而上升。較小的R₃和R₄電阻也會影響濾波器的響應，讓阻帶頻率向高頻移動。

圖11.具有增益的Sallen-Key低通濾波器

附錄2：

要求解的二階方程如下所示：

此方程的Δ為：

使用n = 10且Q =

 ：

由于Δ大于零，因此有兩個解：

致謝

主要顧問：

David Plourde，科學儀器(SCI)部IC設計工程師

Tim Green，科學儀器(SCI)部高級模擬應用工程師

關于ADI公司

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