一文講透RC濾波器

各種傳感器信號中，多多少少會攜帶一些噪聲信號，通過濾波器就能夠更好的降低和去除噪聲，還原真實有用信號，而無源RC濾波器當(dāng)然是大部分濾波器中首選的廉價設(shè)計。

今天跟大家分享一篇關(guān)于RC濾波器設(shè)計的文章。

時域和頻域

當(dāng)您在示波器上查看電信號時，你會看到一條線，表示電壓隨時間的變化。在任何特定時刻，信號只有一個電壓值。你在示波器上看到的是信號的時域表示。

典型的示波器跟蹤顯示非常直觀，但也有一定的限制性，因為它不直接顯示信號的頻率內(nèi)容。而與時域表示相反就是頻域，其中一個時刻僅對應(yīng)于一個電壓值，頻域表示（也稱為頻譜）通過識別同時存在的各種頻率分量來傳達(dá)關(guān)于信號的信息。

什么是濾波器？

濾波器是一個電路，其去除或“過濾掉”頻率分量的特定范圍。換句話說，它將信號的頻譜分離為將要通過的頻率分量和將被阻隔的頻率分量。

如果您對頻域分析沒有太多經(jīng)驗，您可能仍然不確定這些頻率成分是什么，以及它們?nèi)绾卧诓荒芡瑫r具有多個電壓值的信號中共存。讓我們看一個有助于澄清這個概念的簡短例子。

假設(shè)我們有一個由完美的5kHz正弦波組成的音頻信號。我們知道時域中的正弦波是什么樣的，在頻域中我們只能看到5kHz的頻率“尖峰”?，F(xiàn)在讓我們假設(shè)我們激活一個500kHz振蕩器，將高頻噪聲引入音頻信號。

在示波器上看到的信號仍然只是一個電壓序列，每個時刻有一個值，但信號看起來會有所不同，因為它的時域變化現(xiàn)在必須反映5kHz正弦波和高頻噪音波動。

然而，在頻域中，正弦波和噪聲是在一個信號中同時存在的單獨的頻率分量。正弦波和噪聲占據(jù)了信號頻域表示的不同部分（如圖1所示），這意味著我們可以通過將信號引導(dǎo)通過低頻并阻擋高頻的電路來濾除噪聲。

圖1：正弦波和噪聲信號頻域的不同部分分布

濾波器的類型

濾波器可以放在與濾波器頻率響應(yīng)的一般特征相對應(yīng)的廣泛類別中。如果濾波器通過低頻并阻止高頻，則稱為低通濾波器；如果它阻擋低頻并通過高頻，它就是一個高通濾波器。還有帶通濾波器，其僅通過相對窄的頻率范圍，以及帶阻濾波器，其僅阻擋相對窄的頻率范圍（圖２）。

圖２：各濾波器頻域表示

還可以根據(jù)用于實現(xiàn)電路的組件類型對濾波器進(jìn)行分類。無源濾波器使用電阻器，電容器和電感器，這些組件不具備提供放大的能力，因此無源濾波器只能維持或減小輸入信號的幅度。另一方面，有源濾波器既可以濾波信號又可以應(yīng)用增益，因為它包括有源元件，如晶體管或運算放大器（圖３）。

圖3

這種有源低通濾波器基于流行的Sallen-Key拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

本文將探討無源低通濾波器的分析和設(shè)計。這些電路在各種系統(tǒng)和應(yīng)用中發(fā)揮著重要作用。

RC低通濾波器

為了創(chuàng)建無源低通濾波器，我們需要將電阻元件與電抗元件組合在一起。換句話說，我們需要一個由電阻器和電容器或電感器組成的電路。從理論上講，電阻—電感（RL）低通拓?fù)湓跒V波能力方面與電阻—電容（RC）低通拓?fù)湎喈?dāng)。但實際上，電阻—電容方案更為常見，因此本文的其余部分將重點介紹RC低通濾波器（圖４）。

圖4：RC低通濾波器

如圖所示，通過將一個電阻與信號路徑串聯(lián)，并將一個電容與負(fù)載并聯(lián)，可以產(chǎn)生RC低通響應(yīng)。在圖中，負(fù)載是單個組件，但在實際電路中，它可能更復(fù)雜，例如模數(shù)轉(zhuǎn)換器，放大器或示波器的輸入級，用于測量濾波器的響應(yīng)。

如果我們認(rèn)識到電阻器和電容器形成與頻率相關(guān)的分壓器，就可以直觀地分析RC低通拓?fù)涞臑V波動作（圖５）。

圖5：重新繪制RC低通濾波器，使其看起來像分壓器

當(dāng)輸入信號的頻率低時，電容器的阻抗相對于電阻器的阻抗高；因此，大部分輸入電壓在電容器上（和負(fù)載兩端，與電容器并聯(lián)）下降。當(dāng)輸入頻率較高時，電容器的阻抗相對于電阻器的阻抗較低，這意味著電阻器上的電壓降低，并且較少的電壓傳輸?shù)截?fù)載。因此，低頻通過并且高頻被阻擋。

RC低通功能的這種定性解釋是重要的第一步，但是當(dāng)我們需要實際設(shè)計電路時它并不是很有用，因為術(shù)語“高頻”和“低頻”非常模糊。工程師需要創(chuàng)建通過并阻止特定頻率的電路。例如，在上述音頻系統(tǒng)中，我們希望保留5kHz信號并抑制500kHz信號。這意味著我們需要一個濾波器，從5kHz到500kHz之間的傳遞過渡到阻塞。

RC低通濾波器

濾波器不會引起顯著衰減的頻率范圍稱為通帶，濾波器確實導(dǎo)致顯著衰減的頻率范圍稱為阻帶。模擬濾波器，例如RC低通濾波器，總是從通帶逐漸過渡到阻帶。這意味著無法識別濾波器停止傳遞信號并開始阻塞信號的一個頻率。然而，工程師需要一種方便，簡潔地總結(jié)濾波器頻率響應(yīng)的方法，這就是截止頻率概念發(fā)揮作用的地方。

當(dāng)您查看RC濾波器的頻率響應(yīng)圖時，您會注意到術(shù)語“截止頻率”不是很準(zhǔn)確。信號光譜被“切割”成兩半的圖像，其中一個被保留而其中一個被丟棄，不適用，因為隨著頻率從截止點下方移動到截止值以上，衰減逐漸增加。

RC低通濾波器的截止頻率實際上是輸入信號幅度降低3dB的頻率（選擇該值是因為幅度降低3dB對應(yīng)于功率降低50％）。因此，截止頻率也稱為-3dB頻率，實際上該名稱更準(zhǔn)確且信息量更大。術(shù)語帶寬是指濾波器通帶的寬度，在低通濾波器的情況下，帶寬等于-3dB頻率（如圖６所示）。

圖6

圖6表示RC低通濾波器的頻率響應(yīng)的一般特性，帶寬等于-3dB頻率。

如上所述，RC濾波器的低通行為是由電阻器的頻率無關(guān)阻抗與電容器的頻率相關(guān)阻抗之間的相互作用引起的。為了確定濾波器頻率響應(yīng)的細(xì)節(jié)，我們需要在數(shù)學(xué)上分析電阻（R）和電容（C）之間的關(guān)系，我們還可以操縱這些值，以設(shè)計滿足精確規(guī)格的濾波器。RC低通濾波器的截止頻率（fC）計算如下：

圖7

我們來看一個簡單的設(shè)計實例。電容值比電阻值更具限制性，因此我們將從常見的電容值（例如10nF）開始，然后我們將使用該公式來確定所需的電阻值。目標(biāo)是設(shè)計一個濾波器，它將保留5kHz音頻波形并抑制500kHz噪聲波形。我們將嘗試100kHz的截止頻率，稍后在文章中我們將更仔細(xì)地分析此濾波器對兩個頻率分量的影響，公式如圖8。

圖8

因此，160Ω電阻與10nF電容相結(jié)合，將為我們提供一個非常接近所需頻率響應(yīng)的濾波器。

計算濾波器響應(yīng)

我們可以通過使用典型分壓器計算的頻率相關(guān)版本來計算低通濾波器的理論行為。電阻分壓器的輸出表示如圖9：

圖9

圖10

RC濾波器使用等效結(jié)構(gòu)，但是我們有一個電容器代替R2（圖10）。首先，我們用電容器的電抗（XC）代替R2（在分子中）。接下來，我們需要計算總阻抗的大小并將其放在分母中。因此，我們有（圖11）：

圖11

電容器的電抗表示與電流的相反量，但與電阻不同，相反量取決于通過電容器的信號頻率。因此，我們必須計算特定頻率的電抗，計算公式如下（圖12）：

圖12

在上面的設(shè)計實例中，R≈160Ω且C=10nF。我們假設(shè)VIN的幅度是1V，這樣我們就可以簡單地從計算中去掉VIN。首先讓我們以正弦波頻率計算VOUT的幅度（圖12）：

圖13

正弦波的幅度基本不變。這很好，因為我們的目的是在抑制噪音的同時保持正弦波。這個結(jié)果并不令人驚訝，因為我們選擇的截止頻率（100kHz）遠(yuǎn)高于正弦波頻率（5kHz）。

現(xiàn)在讓我們看看濾波器如何成功衰減噪聲分量（圖14）。

圖14

噪聲幅度僅為其原始值的約20％。

可視化濾波器響應(yīng)

評估濾波器對信號影響的最方便方法是檢查濾波器頻率響應(yīng)的圖。這些圖形通常稱為波德圖，在垂直軸上具有幅度（以分貝為單位），在水平軸上具有頻率；水平軸通常具有對數(shù)標(biāo)度，使得1Hz和10Hz之間的物理距離與10Hz和100Hz之間，100Hz和1kHz之間的物理距離相同等等（圖15）。這種配置使我們能夠快速準(zhǔn)確地評估濾波器在很大頻率范圍內(nèi)的行為。

圖15：頻率響應(yīng)圖的一個例子

曲線上的每個點表示如果輸入信號的幅度為1V且頻率等于水平軸上的相應(yīng)值，則輸出信號將具有的幅度。例如，當(dāng)輸入頻率為1MHz時，輸出幅度（假設(shè)輸入幅度為1V）將為0.1V（因為-20dB對應(yīng)于十倍減少因子）。

當(dāng)您花費更多時間使用濾波器電路時，此頻率響應(yīng)曲線的一般形狀將變得非常熟悉。通帶中的曲線幾乎完全平坦，然后隨著輸入頻率接近截止頻率，它開始下降得更快。最終，衰減的變化率（稱為滾降）穩(wěn)定在20dB/decade-即，輸入頻率每增加十倍，輸出信號的幅度降低20dB。

評估低通濾波器性能

如果我們仔細(xì)繪制我們在本文前面設(shè)計的濾波器的頻率響應(yīng)，我們將看到5kHz時的幅度響應(yīng)基本上是0dB（即幾乎為零衰減），500kHz時的幅度響應(yīng)約為-14dB（對應(yīng)于0.2的增益）。這些值與我們在上一節(jié)中執(zhí)行的計算結(jié)果一致。

由于RC濾波器總是從通帶到阻帶逐漸過渡，并且因為衰減永遠(yuǎn)不會達(dá)到無窮大，我們無法設(shè)計出“完美”的濾波器—即對正弦波沒有影響并完全消除噪聲的濾波器。相反，我們總是需要權(quán)衡。如果我們將截止頻率移近5kHz，我們將有更多的噪聲衰減，但我們想要發(fā)送到揚聲器的正弦波也會衰減更多。如果我們將截止頻率移近500kHz，我們在正弦波頻率下的衰減會減少，但噪聲頻率下的衰減也會減少。

前面我們已經(jīng)討論了濾波器修改信號中各種頻率分量振幅的方式。然而，除了振幅效應(yīng)之外，電抗性電路元件總是引入相移。

低通濾波器相移

相位的概念是指周期內(nèi)特定時刻的周期信號的值。因此，當(dāng)我們說電路引起相移時，我們的意思是它會在輸入信號和輸出信號之間產(chǎn)生偏差：輸入和輸出信號不再在同一時刻開始和結(jié)束它們的周期。相移值（例如45°或90°）表示產(chǎn)生的偏差量。

電路中的每個電抗元件都會引入90°的相移，但這種相移不會同時發(fā)生。輸出信號的相位與輸出信號的振幅一樣，隨著輸入頻率的增加而逐漸變化。RC低通濾波器中有一個電抗元件（電容器），因而電路最終也會引入90°的相移。

與振幅響應(yīng)一樣，通過檢查水平軸表示對數(shù)頻率的曲線圖，可以最容易地評估相位響應(yīng)。以下描述表示了一般模式，查看圖16可以進(jìn)一步了解詳細(xì)信息。

• 相移最初為0°。

• 相移逐漸增加，直到在截止頻率處達(dá)到45°；在這部分響應(yīng)期間，變化率逐漸增加。

• 在截止頻率之后，相移繼續(xù)增加，但變化率逐漸降低。

• 隨著相移逐漸接近90°，變化率變得非常小。

圖16

實線是振幅響應(yīng)，虛線是相位響應(yīng)。截止頻率為100kHz。注意，截止頻率下的相移為45°。

二階低通濾波器

到目前為止，我們假設(shè)RC低通濾波器由一個電阻器和一個電容器組成。這種配置是一階濾波器。

無源濾波器的“階數(shù)”由電路中電抗元件（即電容器或電感器）的數(shù)量決定。高階濾波器具有更多的無功元件，會產(chǎn)生更多的相移和更陡的滾降，而后者是增加濾波器階數(shù)的主要動機(jī)。

向濾波器添加一個電抗元件，例如，從一階到二階或二階到三階，便可將最大滾降增加20dB/十倍。

二階濾波器通常圍繞由電感器和電容器組成的諧振電路構(gòu)建，這種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)稱為RLC（Resistor-Inductor-Capacitor）。但是，也可以創(chuàng)建二階RC濾波器。如下圖所示，我們需要做的就是將兩個一階RC濾波器級聯(lián)起來（圖17）。

圖17

雖然這種拓?fù)淇隙〞a(chǎn)生二階響應(yīng)，但它沒有被廣泛使用。正如我們將在下一節(jié)中看到的那樣，其頻率響應(yīng)通常不如二階有源濾波器或二階RLC濾波器。

二階RC濾波器的頻率響應(yīng)

我們可以嘗試根據(jù)所需的截止頻率設(shè)計一階濾波器，然后從中選擇兩個串聯(lián)連接來，從而構(gòu)成二階RC低通濾波器。此舉確實可以使濾波器表示出類似的總頻率響應(yīng)，最大滾降為40dB/decade而不是20dB/decade。

但是，如果我們更仔細(xì)地觀察響應(yīng)，我們會發(fā)現(xiàn)-3dB頻率出現(xiàn)降低。二階RC濾波器的行為不符合預(yù)期，因為兩個濾波階段不是獨立的，因此不能簡單地將這兩個濾波器連接在一起，并將電路分析為一階低通濾波器疊加一個相同的一階低通過濾。

此外，即使我們在兩級之間插入緩沖器，使得第一階RC和第二階RC可以用作獨立濾波器，此時原始截止頻率處的衰減將是6dB而不是3dB。這恰恰是因為兩階獨立工作而導(dǎo)致的。第一個濾波器在截止頻率處具有3dB的衰減，而第二個濾波器加上了另外3dB的衰減（圖18）。

圖18

二階RC低通濾波器的基本限制是設(shè)計人員無法通過調(diào)整濾波器的Q因子來微調(diào)從通帶到阻帶的轉(zhuǎn)換；此參數(shù)表示頻率響應(yīng)的阻尼程度。如果將兩個相同的RC低通濾波器級聯(lián)，則整體傳遞函數(shù)對應(yīng)于二階響應(yīng)，但Q因子始終為0.5。當(dāng)Q=0.5時，濾波器處于過阻尼的邊界，這會導(dǎo)致頻率響應(yīng)在過渡區(qū)域中“下垂”。二階有源濾波器和二階諧振濾波器沒有這一限制；設(shè)計人員可以控制Q因子，從而微調(diào)過渡區(qū)域的頻率響應(yīng)。

小結(jié)

所有電信號都混合了所需頻率分量和不需要的頻率分量。不需要的頻率分量通常由噪聲和干擾引起，并且在某些情況下會對系統(tǒng)的性能產(chǎn)生負(fù)面影響。

濾波器是以不同方式對信號頻譜的不同部分作出反應(yīng)的電路。低通濾波器旨在讓低頻分量通過，同時阻止高頻分量。

低通濾波器的截止頻率表示濾波器從低衰減變?yōu)轱@著衰減的頻率區(qū)域。

RC低通濾波器的輸出電壓可以通過將電路視為由（頻率無關(guān)）電阻和（頻率相關(guān)）電抗組成的分壓器來計算。

振幅（以dB為單位，在垂直軸上）與對數(shù)頻率（以赫茲為單位，在水平軸上）的曲線圖是檢查濾波器理論行為的方便有效的方法，還可以使用相位與對數(shù)頻率的關(guān)系圖來確定將要應(yīng)用于輸入信號的相移量。

二階濾波器的滾降更陡峭；當(dāng)信號不能在所需頻率分量和不需要的頻率分量之間提供寬帶分離時，這種二階響應(yīng)比較有用。

可以通過構(gòu)建兩個相同的一階RC低通濾波器，然后將一個的輸出連接到另一個的輸入來創(chuàng)建二階RC低通濾波器，但最終整體的-3dB頻率將低于預(yù)期。