ADC非線性——漏碼、單調(diào)性和非線性對(duì)信噪比的影響

了解如何通過平均、模數(shù)轉(zhuǎn)換器（ADC）單調(diào)性以及ADC非線性對(duì)系統(tǒng)信噪比（SNR）的影響來消除缺失代碼。

本系列的前一篇文章介紹了ADC中的微分非線性（DNL）和積分非線性（INL）誤差。在這篇文章中，我們將討論通過平均來消除缺失碼，了解ADC的單調(diào)性，并研究ADC非線性對(duì)系統(tǒng)信噪比的影響。

通過信號(hào)平均消除ADC DNL缺失碼

信號(hào)平均是一種簡(jiǎn)單但強(qiáng)大的技術(shù)，可用于降低某些測(cè)量應(yīng)用中的噪聲功率。有趣的是，平均還可以消除ADC的“缺失代碼”。如圖1所示。

顯示ADC缺失代碼的示例圖。

圖1。顯示ADC缺失代碼的示例圖。

圖1顯示了一個(gè)假設(shè)的非線性ADC的傳遞函數(shù)，該ADC缺少代碼5（101）?？紤]到這一點(diǎn)，我們可能會(huì)想，如果我們應(yīng)用5.5 LSB（最低有效位）的DC輸入，會(huì)產(chǎn)生什么輸出代碼。

在回答這個(gè)問題之前，應(yīng)該指出的是，我們無法產(chǎn)生完全無噪聲的輸入。ADC輸入端至少會(huì)出現(xiàn)少量噪聲，這在我們的特定情況下實(shí)際上是有幫助的。假設(shè)直流輸入加上噪聲分量表現(xiàn)出上圖下圖所示的概率密度函數(shù)（PDF）。請(qǐng)注意，PDF的平均值等于施加的直流輸入（5.5 LSB）。

假設(shè)噪聲PDF具有高斯分布，標(biāo)準(zhǔn)偏差約為

 $\frac{LSB}{3}$

這確保了輸入幾乎總是在代碼100和110的輸入范圍內(nèi)。通過該輸入，產(chǎn)生代碼110和100的概率幾乎相同。換句話說，如果我們多次捕獲ADC輸出，幾乎一半的ADC代碼將是110，另一半將是100。因此，這些測(cè)量值的平均值將為101。如您所見，平均可以作為消除ADC缺失代碼的系統(tǒng)級(jí)解決方案。事實(shí)上，平均可以“平滑”ADC的DNL誤差。但是，它無法糾正ADC的INL。

有人可能會(huì)問：如果高斯分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差大于

$\frac{LSB}{3}$?

此外，如果噪聲分量根本不是高斯分布的，并且具有任意的PDF，該怎么辦？

在這些更一般的情況下，通過平均產(chǎn)生的輸出碼取決于缺失碼的相鄰碼的DNL以及實(shí)際噪聲PDF。然而，在現(xiàn)實(shí)世界的設(shè)計(jì)中，我們應(yīng)該能夠通過平均來刪除缺失的代碼。

信號(hào)平均：一種特殊的抖動(dòng)

在上述示例中，系統(tǒng)的固有噪聲使得平均過程能夠提高系統(tǒng)的分辨率。為了更好地理解這一點(diǎn)，考慮一個(gè)完全無噪聲的直流輸入。在這種情況下，無論我們重復(fù)測(cè)量多少次，系統(tǒng)都會(huì)產(chǎn)生相同的代碼。如果輸出相同，平均值對(duì)我們沒有任何幫助。在某些情況下，一定程度的噪聲實(shí)際上可能會(huì)有所幫助，這似乎違反直覺。雖然上述示例依賴于系統(tǒng)的固有噪聲，但也可以故意向ADC輸入添加一些噪聲以提高其線性度或分辨率。這種技術(shù)被稱為抖動(dòng)。常見的平均技術(shù)可以被認(rèn)為是一種特殊類型的抖動(dòng)。

傳遞函數(shù)單調(diào)性

之前（在引言中鏈接的文章中），我們討論了在處理測(cè)量和控制應(yīng)用程序時(shí)，DNL誤差如何改變ADC的局部分辨率，如下圖2所示。

測(cè)量和控制應(yīng)用示例。

圖2:測(cè)量和控制應(yīng)用示例。

傳遞函數(shù)的非單調(diào)性是另一種在閉環(huán)系統(tǒng)中可能存在問題的非理想性。以下示例（圖3）描述了一個(gè)非單調(diào)的三位ADC。

非單調(diào)三位ADC的示例圖。

圖3。非單調(diào)三位ADC的示例圖。

單調(diào)ADC的輸出對(duì)于輸入值的增加是非遞減的。圖3中的情況并非如此。在這個(gè)例子中，當(dāng)我們將輸入從4 LSB增加到5 LSB時(shí)，輸出代碼從100減少到011。在閉環(huán)系統(tǒng)中，非單調(diào)性會(huì)使負(fù)反饋?zhàn)優(yōu)檎答?，并?dǎo)致不穩(wěn)定和振蕩。因此，此類系統(tǒng)的設(shè)計(jì)者需要確保ADC是單調(diào)的。請(qǐng)記住，DNL不是在非單調(diào)步驟中定義的。

ADC DNL小于-1 LSB

到目前為止，我們已經(jīng)有過ADC DNL小至-1 LSB的例子（例如，當(dāng)ADC缺少代碼時(shí)）。您可能會(huì)想知道DNL是否可能小于（或大于負(fù)）-1 LSB？Maxim Integrated教程中的下圖說明了ADC的DNL為-1.5 LSB的示例（圖4）。

示例圖顯示了DNL為-1.5 LSB的ADC。

圖4。示例圖顯示了DNL為-1.5 LSB的ADC。圖片由Maxim Integrated/ADI提供

根據(jù)本教程，AIN*生成的輸出代碼可以是三個(gè)可能值之一；當(dāng)輸入電壓被掃描時(shí)，代碼10將丟失。

這似乎是一種罕見的錯(cuò)誤。來自Haideh Khorramabadi和Boris Murmann等值得信賴的專家的ADC課程筆記提到，DNL小于-1是不可能的，并認(rèn)為它是未定義的。此外，請(qǐng)注意，上一篇文章中討論的常見DNL定義不會(huì)為上述示例產(chǎn)生-1.5 LSB的DNL。為方便起見，計(jì)算第k個(gè)代碼DNL的方程式重復(fù)如下：

這里，W（k）和Wideal分別表示第k個(gè)碼的寬度和理想步長(zhǎng)。我們通常認(rèn)為步長(zhǎng)（W（k））為正，導(dǎo)致最小DNL為-1 LSB。對(duì)于上述示例，只有當(dāng)我們假設(shè)步長(zhǎng)為-0.5 LSB時(shí)，我們才能得到-1.5 LSB的DNL。

雖然小于-1 LSB的DNL被認(rèn)為是未定義的，但ADC DNL的最大值可以超過+1 LSB，并且沒有上限。此外，值得一提的是，與ADC不同，D/A轉(zhuǎn)換器（DAC）的DNL可以小于-1 LSB。如圖5所示。

顯示DNL小于-1 LSB的DAC的示例圖。

圖5。顯示DNL小于-1 LSB的DAC的示例圖。圖片由ADI公司提供

DNL和INL如何影響ADC信噪比

到目前為止，我們已經(jīng)研究了DNL和INL的影響，主要是在控制和測(cè)量應(yīng)用方面。ADC傳遞函數(shù)的非線性也表現(xiàn)為系統(tǒng)噪聲水平的增加。

由于ADC通過幾個(gè)離散電平表示連續(xù)的模擬值范圍，這固有地增加了一個(gè)稱為量化誤差的誤差。通過從輸入電壓中減去輸出碼的模擬等效值，我們可以找到量化誤差。圖6顯示了從零伏增加到三位ADC滿標(biāo)度值的斜坡輸入（斜率為1）。

示例圖顯示了從零伏增加到滿標(biāo)度值的斜坡輸入。

圖6。示例圖顯示了從零伏增加到滿標(biāo)度值的斜坡輸入。

圖6還顯示了ADC輸出代碼的模擬等效值。如果我們減去這兩條曲線，我們得到以下量化誤差，如圖7所示。

顯示量化誤差與時(shí)間的示例。

圖7。顯示量化誤差與時(shí)間的示例。

除了最后一步，理想ADC的量化誤差始終在±0.5 LSB之間。對(duì)于大多數(shù)實(shí)際應(yīng)用，理想ADC的量化誤差可以建模為在±0.5 LSB范圍內(nèi)具有均勻幅度分布的噪聲源。量化噪聲的平均功率為

 $$\frac{LS{B}^2}{12}$$.

然·而，如果步驟不一致怎么辦？

例如，考慮將斜坡輸入應(yīng)用于圖1所示的非線性傳遞曲線。如圖8所示。

示例圖顯示了斜坡輸入在非線性傳遞曲線中的應(yīng)用。

圖8。示例圖顯示了斜坡輸入在非線性傳遞曲線中的應(yīng)用。

圖8中的下曲線提供了這種非理想情況下的量化誤差圖。由于步長(zhǎng)不均勻，不同碼的量化誤差極限也不相同。在這個(gè)特定的例子中，量化誤差可以是負(fù)的，大約為-1.5 LSB。

對(duì)于非線性ADC，量化誤差的轉(zhuǎn)變點(diǎn)因代碼的INL誤差而偏離理想轉(zhuǎn)變值。上述示例表明，DNL/INL可以改變ADC的量化噪聲。

非線性引起的噪聲項(xiàng)

推導(dǎo)非線性誘導(dǎo)噪聲項(xiàng)有不同的方法。然而，最終的結(jié)果是，ADC非線性可以被建模為ADC輸入端的加性噪聲項(xiàng)。如果我們假設(shè)DNL誤差在±DNL范圍內(nèi)具有均勻分布，則DNL誤差的PDF將如圖9所示。

示例顯示了在±DNL范圍內(nèi)均勻分布的DNL誤差的PDF。

圖9。示例顯示了在±DNL范圍內(nèi)均勻分布的DNL誤差的PDF。

由于概率密度函數(shù)的積分等于1，其值為

  $$\frac{1}{2DNL}$$

對(duì)于–DNL<e<+DNL，如下式所示：

假設(shè)DNL誤差和量化誤差是獨(dú)立的，這兩種效應(yīng)的總噪聲功率由下式給出：

現(xiàn)在我們可以計(jì)算信噪比。在全擺幅正弦波輸入的情況下，輸入信號(hào)的幅度是滿量程值的一半  

，其產(chǎn)生的信號(hào)功率為：

其中N是ADC的位數(shù)。因此，由量化和DNL誤差引起的信噪比可以通過以下方程式得出：

你可以在Haideh Khorramabadi的課程筆記中找到一種稍微不同的方法來獲得這個(gè)方程。例如，如果DNL=0.5 LSB，則上述方程得出：

以dB表示，我們得到方程式1：

方程式1。

理想ADC（具有均勻步長(zhǎng)）的信噪比由方程2中的以下眾所周知的方程給出：

方程式2。

比較方程1和2，我們觀察到±0.5 LSB的DNL將信噪比降低了3.01 dB。注意，上述推導(dǎo)基于DNL誤差具有均勻分布的假設(shè)。實(shí)際情況可能并非如此；然而，這種分析使我們能夠在存在非線性的情況下估計(jì)信噪比性能。此外，在DNL誤差值較高的情況下，“DNL噪聲”和量化噪聲獨(dú)立的假設(shè)不太有效。下面的方程3顯示了計(jì)算ADC中非線性誘導(dǎo)噪聲平均功率的另一個(gè)推導(dǎo)：

方程式3。

類似于均勻量化噪聲的相對(duì)直接的分析可用于推導(dǎo)上述表達(dá)式。如需更多信息，您還可以參考J.A.Fredenburg的論文“隨機(jī)元素失配的二進(jìn)制加權(quán)ADC和DAC中ENOB和產(chǎn)量的統(tǒng)計(jì)分析”和P.Carbone的論文“ADC直方圖測(cè)試的噪聲靈敏度”。