無(wú)損傳輸線相位常數(shù)和無(wú)限帶寬的研究

學(xué)習(xí)如何推導(dǎo)無(wú)損傳輸線的波動(dòng)方程，并觀察其無(wú)限帶寬和相位常數(shù)。

當(dāng)你開(kāi)始學(xué)習(xí)射頻設(shè)計(jì)時(shí)，可能會(huì)遇到的一個(gè)令人惱火的事情是傳輸線效應(yīng)。在過(guò)去的好日子里，當(dāng)你在低頻板上工作時(shí)，電線只是一些互連，現(xiàn)在卻變成了一些令人生畏的方程式所描述的復(fù)雜組件！起初，這可能看起來(lái)很煩人；然而，隨著你對(duì)輸電線路的了解越來(lái)越多，你最終可能會(huì)把它們看作是因禍得福，并開(kāi)始意識(shí)到所有這些復(fù)雜性。由于其“分布式”特性，無(wú)損傳輸線可以提供無(wú)限帶寬。這與我們對(duì)低頻電路的直覺(jué)形成了鮮明對(duì)比。

在本文中，我們將推導(dǎo)無(wú)損傳輸線的波動(dòng)方程，并研究其無(wú)限帶寬的顯著特征。然而，在此之前，讓我們解釋一下輸電線路的“分布式”性質(zhì)是什么意思。

集中式與分布式方案

當(dāng)電路尺寸與電路中最短波長(zhǎng)相當(dāng)時(shí)，電線應(yīng)被視為傳輸線。這突顯了電路元件和互連的兩種操作模式之間的界限，即“集中”和分布式模式。在集總方案中，我們處理較低的頻率，并且假設(shè)電信號(hào)以無(wú)限快的速度通過(guò)電線。術(shù)語(yǔ)集總是指我們可以在電路的某些特定區(qū)域識(shí)別出單獨(dú)的電容器和電感器。例如，考慮圖1所示的無(wú)源帶通濾波器。

圖1 無(wú)源帶通濾波器的示例圖

在上圖中的“區(qū)域A”中，磁性儲(chǔ)能占主導(dǎo)地位，因此，電路的這一部分表現(xiàn)為電感性。另一方面，在“區(qū)域B”中，電能存儲(chǔ)在電場(chǎng)中，這意味著這部分被建模為電容器。在這個(gè)例子中，一些集總電容器、電感器等可用于模擬電路行為。我們?cè)诖髮W(xué)第一學(xué)期教授的電路理論和分析實(shí)際上是集總元件電路分析。對(duì)于集總電路，可以很容易地應(yīng)用基爾霍夫電壓定律（KVL）和基爾霍夫電流定律（KCL）來(lái)計(jì)算電路中的電壓和電流。

相比之下，在分布式系統(tǒng)中，我們無(wú)法識(shí)別單獨(dú)的電容器和電感器。例如，分布式系統(tǒng)中的均勻無(wú)損導(dǎo)線被建模為L(zhǎng)C截面的無(wú)限梯形網(wǎng)絡(luò)（圖2）。

圖2 LC段的無(wú)限梯形網(wǎng)絡(luò)

該模型表明，每根無(wú)限短的電線都以磁場(chǎng)和電場(chǎng)的形式儲(chǔ)存能量。這兩種形式的能量存儲(chǔ)分布在整個(gè)電線中。在這種情況下，我們無(wú)法將電路的電容性和電感性部分分開(kāi)；它們混合在一起。

此外，在分布式系統(tǒng)中，電信號(hào)沿著電線以波的形式傳播，這意味著電壓和電流是沿著電線的時(shí)間和位置的函數(shù)。因此，我們可以說(shuō)KVL和KCL在高頻下不成立。

在下一節(jié)中，我將嘗試以一種相對(duì)接近的方式推導(dǎo)相位常數(shù)方程。如果你對(duì)學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)不感興趣，你可以跳過(guò)下一節(jié)，從“方程式摘要”部分繼續(xù)。

推導(dǎo)相位常數(shù)方程

無(wú)損傳輸線可以用兩個(gè)重要參數(shù)來(lái)表征：特性阻抗Z0和相位常數(shù)β。特性阻抗指定了無(wú)限長(zhǎng)線路的電壓波與電流波的比率。相位常數(shù)表征了波如何隨位置變化。對(duì)于無(wú)損線，Z0由方程1給出：

方程式1

為了推導(dǎo)β的方程，我們需要找到圖3中梯形網(wǎng)絡(luò)模型中出現(xiàn)的穩(wěn)態(tài)電壓和電流信號(hào)。

圖3 梯形網(wǎng)絡(luò)模型

根據(jù)第一LC部分的電壓和電流參數(shù)，基爾霍夫電壓定律得出：

將兩邊除以Δx，我們得到：

如果我們考慮當(dāng)Δx接近零時(shí)該方程的極限，則左側(cè)的表達(dá)式實(shí)際上變?yōu)関（x，t）相對(duì)于x的導(dǎo)數(shù)。因此，上述方程可以改寫為方程2：

方程式2

對(duì)于一條無(wú)限長(zhǎng)的線，沿線任何一點(diǎn)的電壓與電流之比等于Z0。從方程式1中，我們得到：

通過(guò)替換方程2中的i（x，t），得到方程3：

方程式3

現(xiàn)在，兩側(cè)都是線電壓，但左側(cè)是v（x，t）相對(duì)于位置的導(dǎo)數(shù)，而右側(cè)包括函數(shù)相對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。由于我們想要正弦激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)（如vs（t）=Acos（ωt）），我們可以使用電路理論中的相量概念。

對(duì)于這種分析，我們可以假設(shè)輸入是復(fù)指數(shù)電壓Aejωt，而不是vs（t）=Acos（ωt），然后我們找到感興趣的電壓或電流信號(hào)。最后，我們?nèi)∷@得信號(hào)的實(shí)部，以找到實(shí)際輸入vs（t）=Acos（ωt）產(chǎn)生的輸出。

當(dāng)我們將Aejωt應(yīng)用于電路時(shí)，ejωt項(xiàng)出現(xiàn)在所有電壓和電流量中。例如，v（x，t）可被視為v（x）ejωt，其中v（x）是一個(gè)復(fù)數(shù)值，稱為v（x，t）的相量。在基本電路理論中，相量顯然不依賴于位置，因?yàn)槲覀兲幚淼氖羌傠娐?。然而，在輸電線路分析中，我們預(yù)計(jì)相量是位置的函數(shù)。將v（x，t）代入v（x）ejωt，方程式3得出：

V（x）不是時(shí)間的函數(shù)，ejωt也不是x的函數(shù)。因此，使用一點(diǎn)代數(shù)，上述方程簡(jiǎn)化為：

EE應(yīng)該熟悉這個(gè)一階微分方程的解：

其中V0是一個(gè)常數(shù)，可以從線路輸入和輸出端口的邊界條件中找到。從相量分析中，我們知道V（x）ejωt的實(shí)部是如果我們將vs（t）=Acos（ωt）應(yīng)用于輸入時(shí)得到的輸出。因此，我們的最終電壓波為：

定義相位常數(shù)

 β=ω√LC

，我們得到：

方程式4

這與我們?cè)谏弦黄恼轮杏懻撾妷翰ㄈ绾窝貍鬏斁€傳播時(shí)使用的波函數(shù)相同。將方程4除以Z0得到正向電流波，如方程5所示：

方程式5

無(wú)損過(guò)渡線方程概述

在上一節(jié)中，我們推導(dǎo)了正向電壓和電流波的方程。一般來(lái)說(shuō)，正向波和反射波都可以同時(shí)出現(xiàn)在線路上。對(duì)于無(wú)損線路，整體電壓和電流波的形式如下：

其中特性阻抗Z0和相位常數(shù)β為：

輸電線路的分布式效應(yīng)：是期望的還是麻煩的？

由于高頻電信號(hào)的波動(dòng)行為，射頻設(shè)計(jì)人員癡迷于將負(fù)載阻抗與線路的特性阻抗相匹配。如果沒(méi)有阻抗匹配，最大功率就無(wú)法傳輸?shù)截?fù)載，駐波產(chǎn)生的大峰值電壓會(huì)損壞電路組件或互連。然而，傳輸線的分布行為導(dǎo)致了一個(gè)非常有趣的特性。 

基于上述分析，如果我們以任意頻率ω1的正弦vs（t）=Acos（ω1t）激勵(lì)線路，則正向電壓波為：

替換β，我們得到：

我們?cè)诮o定位置x獲得的信號(hào)與輸入相同，除了它延遲了

 $$x\sqrt{LC}$$.

此結(jié)果對(duì)任何頻率都有效。唯一的假設(shè)是該線路是無(wú)損的，并且充當(dāng)傳輸線。如果延遲與頻率有關(guān)，則輸入的不同頻率分量將經(jīng)歷不同量的延遲，從而導(dǎo)致輸出失真。例如，如果我們向具有頻率相關(guān)延遲的系統(tǒng)施加脈沖，輸出可能會(huì)完全失真，因?yàn)椴煌念l率分量以不相等的時(shí)間偏移到達(dá)輸出。

如方程式所示，無(wú)損傳輸線以相同的延遲通過(guò)所有頻率分量。換句話說(shuō)，該線路具有無(wú)限帶寬。如果我們?cè)黾覮和C，延遲也會(huì)增加，但所有頻率分量的延遲仍然是恒定的。如果你將其與我們對(duì)集總低頻電路的直覺(jué)進(jìn)行比較，你會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)功能更令人驚訝，因?yàn)樵黾与娙葜低ǔ?huì)降低系統(tǒng)帶寬。

除了均勻延遲外，我們還應(yīng)該有一個(gè)與頻率無(wú)關(guān)的衰減，以使系統(tǒng)具有無(wú)限帶寬。在上述討論中，我們假設(shè)線路是無(wú)損的，因此，所有頻率的衰減都是零。

有損的輸電線路呢？

在現(xiàn)實(shí)世界的傳輸線中，損耗可能由許多因素造成，如導(dǎo)體損耗（趨膚效應(yīng)）、介電損耗和磁滯效應(yīng)。這些損失也與頻率有關(guān)。然而，即使使用有損傳輸線，也可以調(diào)整線路參數(shù)以具有均勻的衰減和群延遲（至少在原則上）。要了解更多信息，您可以參考Thomas H.Lee的《CMOS射頻集成電路的設(shè)計(jì)》一書(shū)。

高階模式傳播

除了損耗分量外，還有另一個(gè)因素限制了傳輸線的可用帶寬。隨著頻率越來(lái)越高，信號(hào)的波長(zhǎng)最終變得與傳輸線的橫截面尺寸相當(dāng)。在這種情況下，會(huì)產(chǎn)生與我們通常預(yù)期不同的電磁場(chǎng)配置。這些模式被稱為高階傳播模式。高階模的傳播速度不同于主模的傳播速率。因此，我們通常試圖在傳輸線的第一高階模式以下操作傳輸線。例如，根據(jù)導(dǎo)體的尺寸和所采用的電介質(zhì)類型，可以指定同軸線工作高達(dá)約18GHz，以避免高階模的傳播。