史密斯圓圖及其與反射系數(shù)和阻抗的關(guān)系

了解史密斯圓圖的歷史和來龍去脈，以及它與反射系數(shù)的關(guān)系，使計(jì)算阻抗更容易。

史密斯圓圖是一種圖形化的射頻設(shè)計(jì)工具，它使我們能夠輕松計(jì)算將給定阻抗轉(zhuǎn)換為另一個阻抗所需的阻抗匹配網(wǎng)絡(luò)的組件。

早在20世紀(jì)30年代，史密斯圓圖就是高頻工作的主要工具。史密斯圓圖是電氣工程師菲利普·哈格·史密斯的發(fā)明。在當(dāng)今的計(jì)算機(jī)中，這種圖形工具作為計(jì)算輔助工具的相關(guān)性可能已經(jīng)降低；然而，它仍然是直觀可視化RF電路不同參數(shù)的有用工具。以至于所有射頻電路和系統(tǒng)模擬器以及測量設(shè)備，如網(wǎng)絡(luò)分析儀，都可以直接在史密斯圓圖上顯示其輸出?？紤]到其廣泛使用，有必要對史密斯圓圖有深入的了解，以便能夠使用不同的射頻模擬器和測量設(shè)備。

史密斯圓圖對于通過手工計(jì)算設(shè)計(jì)阻抗匹配網(wǎng)絡(luò)也非常有幫助。使用史密斯圓圖設(shè)計(jì)阻抗匹配網(wǎng)絡(luò)是快速、直觀的，在實(shí)踐中通常足夠準(zhǔn)確。

史密斯圓圖上的反射系數(shù)：一個性能良好的參數(shù)

史密斯圓圖基本上是反射系數(shù)的極坐標(biāo)圖（以及我們稍后將討論的一些其他圖）。考慮到史密斯圓圖的廣泛傳播，您可能會正確地猜測反射系數(shù)參數(shù)在基于射頻的工作中至關(guān)重要。使用低頻電路的模擬設(shè)計(jì)人員通常使用阻抗概念來分析和建模他們的電路。當(dāng)頻率超過幾百兆赫時，阻抗的概念在一定程度上失去了用處。在較高頻率下，反射系數(shù)的概念可能更有用。

為了更好地理解反射系數(shù)的獨(dú)特特征，請考慮圖1中的圖表，該圖表顯示了以任意阻抗ZL終止的傳輸線。

圖1傳輸線以任意阻抗終止

傳輸線沿線不同點(diǎn)的輸入阻抗由方程1給出：

方程式1

其中Γ在（d）中，距離負(fù)載d處的反射系數(shù)如方程2所示：

方程式2

在方程2中，β是相位常數(shù)，Γ0是常見的負(fù)載反射系數(shù)，這導(dǎo)致了方程3：

方程式3

方程式3很容易理解；它給出了給定ZL的負(fù)載反射系數(shù)。例如，如果ZL=50+j50Ω，Z0=50Ω，我們得到Γ0=0.2+j0.4。方程式2顯示了反射系數(shù)如何沿線變化。如您所見，（d）中Γ的大小是恒定的，等于Γ0的大?。ň哂猩鲜鲋档?.447）；然而，其相位角隨距負(fù)載的距離呈線性變化。

例如，如果βd（稱為線路的電氣長度）為45°，則（d）中Γ的相位角為Γ0減去90°的相位（63.4°-90°=-26.6°）。圖2中的極坐標(biāo)圖顯示了如何從Γ0中圖形化地獲得（d）中的Γ。

圖2:使用上述示例和方程的極坐標(biāo)圖示例

可以看出，對于給定的Γ0，沿（d）中Γ線的反射系數(shù)位于半徑為|Γ0|的圓上?？傊瓷湎禂?shù)是一個表現(xiàn)良好的射頻參數(shù)，因?yàn)樗姆妊鼐€是恒定的，其相位角隨線的長度呈線性變化。線路阻抗的情況并非如此。在負(fù)載不匹配的情況下，輸入阻抗沿線路連續(xù)變化。對于|Γ0|=1，輸入阻抗的大小可以在零到無窮大之間的任何地方。

高頻反射系數(shù)——測量的易用性和可靠性

反射系數(shù)在高頻工作中是一個更具吸引力的參數(shù)還有另一個原因。阻抗的概念自然會讓我們想到雙端口網(wǎng)絡(luò)表示，如阻抗參數(shù)、導(dǎo)納參數(shù)和混合參數(shù)。為了通過實(shí)驗(yàn)確定這些表示的參數(shù)，我們需要斷開或短路適當(dāng)?shù)木W(wǎng)絡(luò)端口。然而，在高頻下，很難提供短路和開路條件，特別是在寬頻范圍內(nèi)。此外，有源高頻電路在端接開路或短路時可能會振蕩。

另一方面，反射系數(shù)的概念與S參數(shù)表示密切相關(guān)。使用這種類型的網(wǎng)絡(luò)表示，網(wǎng)絡(luò)的適當(dāng)端口在線路的特性阻抗中終止。例如，下圖（圖3）測量了兩個S參數(shù)，即S11（輸入反射系數(shù)）和S21（從端口1到端口2的透射系數(shù)）。

圖3顯示兩個S參數(shù)的示例圖

S參數(shù)相對于其他類型的網(wǎng)絡(luò)表示的一個主要優(yōu)點(diǎn)是，在實(shí)踐中可以實(shí)現(xiàn)S參數(shù)測量所需的寬帶電阻終端。這使我們能夠進(jìn)行準(zhǔn)確和可重復(fù)的射頻測量。

史密斯圓圖的發(fā)明

1933年，AT&T工程師Philip Smith發(fā)明了史密斯圓圖，以簡化傳輸線的輸入阻抗計(jì)算。如上所述，史密斯圓圖是反射系數(shù)的極坐標(biāo)圖。然而，在那些日子里，工程師們習(xí)慣于使用阻抗概念；反射系數(shù)圖對他們沒有多大意義。

首先，我們設(shè)定了一個背景來認(rèn)識史密斯發(fā)明的意義。S參數(shù)是由K.Kurokawa在20世紀(jì)60年代引入的。在史密斯圓圖發(fā)明30多年后的20世紀(jì)60年代，也引入了使用S參數(shù)將RF分量表征到千兆赫區(qū)域的網(wǎng)絡(luò)分析儀。Smith至少認(rèn)識到了反射系數(shù)相對于阻抗的一些優(yōu)點(diǎn)，并決定使用Γ概念來解決他所涉及的問題。為了能夠與其他工程師就阻抗參數(shù)的熟悉術(shù)語進(jìn)行交流，Smith還決定包括一些阻抗圖，以便很容易地找到給定反射系數(shù)的等效阻抗，反之亦然。通過繪制Γ平面中恒定電阻和電抗的輪廓，創(chuàng)建了熟悉的史密斯圓圖（圖4）。

圖4史密斯圓圖示例

在大多數(shù)史密斯圓圖中，Γ平面的實(shí)軸和虛軸沒有顯示，因?yàn)檎娴牟恍枰@式顯示它們。這給我們留下了一些分別對應(yīng)于恒定電阻和電抗輪廓的圓和弧。讓我們看看這些輪廓是如何獲得的，以及我們?nèi)绾谓忉屗鼈儭?/p>

史密斯圓圖歸一化阻抗

史密斯圓圖基于Γ0和阻抗之間的關(guān)系（方程3）。值得注意的是，方程式3描述了這兩個參數(shù)之間的一對一關(guān)系，因此知道一個參數(shù)就等于知道另一個參數(shù)。此外，史密斯圓圖是使用如下定義的歸一化阻抗繪制的：

方程式4

其中r和x是歸一化阻抗的實(shí)部和虛部。繪制歸一化阻抗使我們能夠?qū)哂胁煌瑓⒖甲杩沟南到y(tǒng)使用相同的圖表。然而，我們需要記住，我們從圖表中讀取的阻抗應(yīng)該乘以Z0，以找到我們系統(tǒng)的實(shí)際阻抗值。此外，請注意，使用歸一化阻抗不會改變Γ0方程。為了用歸一化阻抗表示Γ0，我們將方程3的分子和分母都除以Z0，這顯然不會改變方程。Γ0方程以z表示如下：

方程式5

因此，雖然史密斯圓圖上顯示的阻抗是歸一化的，但反射系數(shù)不是。方程5是確定給定z如何產(chǎn)生其相應(yīng)Γ的映射函數(shù)。這個方程實(shí)際上是雙線性變換。這個名字源于它是兩個線性函數(shù)的比值。雙線性變換將圓映射為圓。記住，對于數(shù)學(xué)家來說，直線也是圓的特例。

恒定電阻圈

作為雙線性變換，方程5將常數(shù)r（或具有常數(shù)實(shí)部的阻抗）的線映射到Γ平面中的圓。例如，線z=0+jx被變換為以Γ平面原點(diǎn)為中心的半徑為1的圓（見圖5中的藍(lán)線和藍(lán)圓）。

圖5雙線性變換示例

類似地，該變換將線z=1+jx映射到以u=0.5和v=0為中心的半徑為0.5的圓。一般來說，可以證明具有常數(shù)r的阻抗被轉(zhuǎn)換為半徑為 $\frac{1}{r+1}$ 中心在 $u=\frac{r}{r+1}$ and v = 0

恒定電抗循環(huán)

對于某些x值，阻抗與恒定電抗的映射如圖6所示。

圖6阻抗與恒定電抗的示例映

 同樣，方程5的雙線性變換將常數(shù)x的線（或具有常數(shù)虛部的阻抗）映射到Γ平面中的圓。請注意，上圖中僅顯示了這些圓中位于單位圓內(nèi)的部分。當(dāng)使用被動載荷時，|Γ|不能超過單位。這意味著阻抗在單位圓內(nèi)具有r≥0的映射。這就是為什么在處理史密斯圓圖時，我們通常對單位圓內(nèi)的區(qū)域感興趣。只有一部分恒定電抗圓落在單位圓內(nèi)，因此，這些曲線看起來像一些弧形而不是完整的圓。

一般來說，具有常數(shù)x的阻抗被轉(zhuǎn)換為半徑為 $\frac{1}{x}$

以u=1為中心v=1x

史密斯圓圖是反射系數(shù)與上述恒定電阻和電抗輪廓疊加的極坐標(biāo)圖（上圖4）。

在下一篇文章中，我們將通過史密斯圓圖查看阻抗計(jì)算的幾個不同示例