使用串聯(lián)和并聯(lián)RC和RL電路設(shè)計L形匹配網(wǎng)絡(luò)

通過RC和RL電路的品質(zhì)因子（Q因子）以及這些電路的串并聯(lián)轉(zhuǎn)換，了解L形阻抗匹配方程

在本系列的前一篇文章中，我們學習了如何使用史密斯圓圖設(shè)計無源阻抗匹配網(wǎng)絡(luò)。除了使用這種圖形方法，還可以遵循分析方法并使用一些方程來獲得所需的匹配網(wǎng)絡(luò)。

首先，在深入阻抗匹配方程之前，我們需要了解兩個基本概念：RC和RL電路的品質(zhì)因子以及這些電路的串并聯(lián)轉(zhuǎn)換。

RC和RL電路的品質(zhì)因子定義

用Q表示的術(shù)語品質(zhì)因子可以用多種方式定義。當談?wù)搩δ苎b置（即電容器或電感器）時，Q表示我們的儲能裝置有多接近理想。例如，理想的電容器不會耗散任何能量，應(yīng)該有無限的Q?，F(xiàn)在，考慮一個模擬為并聯(lián)RC電路的真實電容器（圖1（a））。

圖1 并聯(lián)RC電路（A）和串聯(lián)RC電路（b）

在這種情況下，電阻器可以表示實際電容器的電阻損耗。對于并聯(lián)RC電路，Q可以定義為：

方程式1

接下來，讓我們看看這個方程式是否有意義。在圖1（a）的電路圖中，當RP變?yōu)闊o窮大時，我們只剩下一個理想的電容器（Q=∞）。這與上述方程一致，該方程在無限RP的極限下產(chǎn)生無限Q。

現(xiàn)在考慮一個帶有串聯(lián)電阻器RS的電容器，如圖1（b）所示。在這種情況下，Q被定義為：

方程式2

在串聯(lián)RC電路中，當RS=0時，獲得了理想的儲能裝置。這也與方程2一致，方程2在RS=0的極限下產(chǎn)生無限Q。在方程式1中，Q被定義為不期望阻抗（RP）與電容性組件阻抗的比率，而方程式2將Q定義為電容性組件的阻抗與耗散性組件的電阻的比率。根據(jù)你的直覺，你認為并行RL（圖2（a））和串行RL（圖2中（b））的品質(zhì)因子是如何定義的？

圖2 并聯(lián)RL電路（a）和串聯(lián)RL電路（b）

并聯(lián)RL電路（QP）和串聯(lián)RL電路（QS）的品質(zhì)因子分別如方程式3和4所示：

方程式3

方程式4

再次注意，當RP趨于無窮大時，方程3產(chǎn)生無窮大的Q；隨著RS變?yōu)?，QS趨于無窮大。記住這些極端情況，您可以很容易地記住每種配置的正確方程。

RL和RC電路串并聯(lián)轉(zhuǎn)換

設(shè)計阻抗匹配網(wǎng)絡(luò)的一個關(guān)鍵步驟是將組件的串聯(lián)連接轉(zhuǎn)換為等效的并聯(lián)連接，反之亦然。在射頻文獻中，這通常被稱為串并聯(lián)轉(zhuǎn)換或并聯(lián)串聯(lián)轉(zhuǎn)換。例如，參考下圖3（a）所示的串聯(lián)RL電路。

圖3 串聯(lián)RL電路（A）及其等效RL電路（b）

在單一頻率下，我們可以通過等效的并聯(lián)RL電路對串聯(lián)RL電路進行建模，如圖3（b）所示。通過將這兩個電路的輸入阻抗相等（ZS=ZP），我們可以根據(jù)串聯(lián)電路的分量值找到并聯(lián)電路的分量。這將產(chǎn)生以下方程組：

方程式5

方程式6

其中Q表示電路的品質(zhì)因子（上一節(jié)中的方程式3和4）。注意，串聯(lián)RL電路（QS）的Q和并聯(lián)等效電路（QP）的Q在兩個電路產(chǎn)生相同阻抗的頻率下是相同的。結(jié)果，等式5和6使用符號Q而不是QS或QP來表示品質(zhì)因子。上述方程可用于將串聯(lián)電路轉(zhuǎn)換為并聯(lián)電路，反之亦然。同樣，我們可以推導出數(shù)學方程，將串聯(lián)RC電路（圖4（a））轉(zhuǎn)換為等效并聯(lián)電路（圖3（b）），反之亦然。

圖4 示例串聯(lián)RC電路（a）及其等效并聯(lián)電路（b）

方程式5也適用于RC電路的串并聯(lián)轉(zhuǎn)換。然而，請記住，現(xiàn)在Q項是RC電路的品質(zhì)因子（方程式1和2）。電容值由以下方程式關(guān)聯(lián)：

方程式7

上述方程式有簡單的解釋。方程式5顯示，并聯(lián)等效電阻比相應(yīng)的串聯(lián)電阻大（1+Q2）倍。此外，假設(shè)Q相對較大，串聯(lián)和并聯(lián)電路的無功分量幾乎相同。讓我們看一個例子來澄清上述討論。

示例1：并聯(lián)和串聯(lián)RC電路的輸入阻抗

假設(shè)RF塊的輸入阻抗可以通過RP=50Ω和CP=3.88 pF的并聯(lián)RC電路進行建模，如下圖5所示。

圖5 示例并聯(lián)RC電路RP=50Ω，CP=3.88 pF

找到1 GHz下的等效串聯(lián)RC電路。

通過應(yīng)用方程式1，可以得出并聯(lián)RC電路的Q值：

將Q=1.225代入方程式5和7，我們得到：

等效串聯(lián)電路如圖6所示。

圖6 RS=20Ω和CS=6.47pF的等效串聯(lián)電路

圖7中以極坐標形式繪制了兩個電路的輸入阻抗。

圖7 并聯(lián)和串聯(lián)RC電路的輸入阻抗

極坐標圖使我們能夠通過一條曲線顯示阻抗實部和虛部的影響。

請注意，阻抗僅在單一頻率下相等（在我們的例子中，在對應(yīng)于1 GH的兩條曲線的交點處）。在該頻率下，輸入阻抗計算為ZS=ZP?20-j24.12Ω。如果我們考慮大約1 GHz的窄頻率范圍，我們可以假設(shè)這兩個電路具有相同的輸入阻抗。

示例2：使用串并聯(lián)轉(zhuǎn)換設(shè)計匹配網(wǎng)絡(luò)

使用前一個例子的結(jié)果設(shè)計一個匹配網(wǎng)絡(luò)，在1 GHz下將RL=50Ω轉(zhuǎn)換為20Ω。

在前面的例子中，我們看到RP=50Ω和CP=3.88 pF的并聯(lián)RC電路等效于RS=20Ω和CS=6.47 pF的串聯(lián)RC電路?；谶@些信息，我們可以將3.88 pF電容器與RL=50Ω并聯(lián)，以產(chǎn)生所需的20Ω電阻部分。我們只需要從等效串聯(lián)電容器（CS）中消除無功分量。CS=6.47 pF的電抗在1 GHz時約為-j24.12Ω。我們可以使用3.84nH的串聯(lián)電感器來產(chǎn)生約+j24.12Ω的電抗。這個串聯(lián)電感器抵消了CS的電抗，使我們的純電阻阻抗為20Ω。最終的匹配網(wǎng)絡(luò)如圖8所示。

圖8 匹配網(wǎng)絡(luò)圖示例

現(xiàn)在我們已經(jīng)建立了品質(zhì)因子和串并聯(lián)轉(zhuǎn)換的概念，我們可以討論設(shè)計阻抗匹配網(wǎng)絡(luò)的分析方法。

兩個電阻端子的L形阻抗匹配

二元無損匹配網(wǎng)絡(luò)，稱為L形，廣泛應(yīng)用于射頻電路中。我們在上述示例（圖8）中設(shè)計的電路實際上是一個L形匹配網(wǎng)絡(luò)?，F(xiàn)在讓我們看看如何為任意負載（RL）和源（RS）阻抗設(shè)計這些匹配網(wǎng)絡(luò)。為了將RL轉(zhuǎn)換為RS，我們可以想象兩種不同類形的解決方案，如下圖9所示。

圖9 任意負載（RL）和源（RS）阻抗解的示例電路

在上圖中，X分量表示匹配元件的電抗。對于給定的RL和RS，只能使用上述解決方案之一。為了確定正確的選擇，讓我們應(yīng)用串并聯(lián)轉(zhuǎn)換。這在圖10中產(chǎn)生了以下等效圖。

圖10 將串并對話應(yīng)用于圖9后的兩個示例等效圖

圖10（a）中電路的電阻部分是RL的（1+Q2）倍，而圖10（b）中電路中的電阻部分等于RL除以（1+Q2）。這意味著圖9（a）中的電路將RL轉(zhuǎn)換為更高的電阻；然而，圖9（b）中的電路將RL轉(zhuǎn)換為較低的電阻。因此，在設(shè)計L形截面時，串聯(lián)元件應(yīng)連接到電阻較小的端子。因此，L形截面的并聯(lián)組件應(yīng)連接到具有較大值的端子。根據(jù)我們迄今為止開發(fā)的洞察力，我們可以采取以下步驟來設(shè)計L形截面：

 1.用較大的值RHigh和另一個RLow命名終端。并使用以下方程式計算電路的品質(zhì)因子：

方程式8

2.在RLow旁邊放置串聯(lián)電抗元件，在RHigh旁邊放置并聯(lián)元件。這將產(chǎn)生兩個子網(wǎng)絡(luò)：一個串聯(lián)，另一個并聯(lián)，如圖11所示。

圖11 示例串聯(lián)和并聯(lián)子網(wǎng)絡(luò)

上圖還提供了串聯(lián)和并聯(lián)子網(wǎng)絡(luò)的Q方程。在匹配發(fā)生的頻率處，子網(wǎng)絡(luò)的品質(zhì)因子與方程8給出的品質(zhì)因子相同，即QS=QP=Q。

請注意，在上述電路圖中，輸入電壓源實際上為零，因為這里的目的是提供負載和源阻抗之間的匹配。最終電路圖實際上包括與RLow或RHigh串聯(lián)的電壓源（下圖12顯示了最終電路）。

圖12 匹配兩個電阻阻抗的示例

3.有QS、QP和終端電阻，我們可以找到電抗值XS和XP。最后，在感興趣的頻率下計算電感器和電容器值。

注意，XS和XP可以是電容器或電感器；然而，它們不是同一類形的。換句話說，要將純電阻負載轉(zhuǎn)換為另一個純電阻阻抗，我們需要一個由電感器和電容器組成的L形截面。由兩個電容器或兩個電感器組成的L形截面不能提供兩個電阻阻抗之間的匹配。因此，如下圖12所示，在提供兩個電阻阻抗之間的匹配時，總共有四種不同的選項。

讓我們來看一個例子。

示例3：使用Q因子設(shè)計和轉(zhuǎn)換匹配網(wǎng)絡(luò)

設(shè)計一個匹配網(wǎng)絡(luò)，在1 GHz下將RL=10Ω轉(zhuǎn)換為50Ω。

通過應(yīng)用方程式8，可以找到所需的品質(zhì)因子：

將串聯(lián)元件放置在RL（較低電阻）旁邊，我們得到以下L形截面（圖13）：

在RL旁邊放置一個系列組件后的L形截面。

圖13 在RL旁邊放置一個系列組件后的L形截面

對于圖13（a）中的電路，我們有：

在1 GHz下，上述方程產(chǎn)生L3=3.18 nH和C3=fc6.37 pF。對于圖13（b）中的電路，我們有以下方程組：

在1 GHz下，分量值為C4=7.96 pF和L4=3.98 nH。

L形匹配網(wǎng)絡(luò)設(shè)計總結(jié)

L形匹配網(wǎng)絡(luò)可以使用基于史密斯圓圖的圖形方法或一些簡單的方程來設(shè)計。在這篇文章中，我們推導了分析方法的方程，并看了一些例子。阻抗匹配網(wǎng)絡(luò)設(shè)計的一個關(guān)鍵步驟是RL和RC電路的串并聯(lián)轉(zhuǎn)換。值得一提的是，串并聯(lián)轉(zhuǎn)換也有助于分析組件模形，以發(fā)現(xiàn)不同類形損耗的組合效應(yīng)。