有限帶寬信號采樣和混疊的數(shù)學分析

接下來對g(f)進行采樣。我們可以利用數(shù)學形式表示該操作，即g(f)乘以一個時間間隔為t的沖激函數(shù)序列。通過將g(f)與沖激函數(shù)相乘，我們得到對應(yīng)于沖激函數(shù)發(fā)生時刻的g(f)值，其它任何時間的乘積都為零。這類似于以fsampling = 1/t的頻率對g(f)采樣。該操作可用公式1表示，采樣后的新信號稱為s(t)：

下一步是找出已采樣信號s(t)的頻譜。通過對公式1進行傅立葉變換可得到：

計算上面的積分比較復(fù)雜。為了簡化計算，注意到s(t)是g(f)與沖激脈沖序列的乘積。同時我們還知道時域的乘法對應(yīng)頻域的卷積。(關(guān)于這一結(jié)論的證明可參考任何有關(guān)傅立葉變換的資料。) 因此，s(f)可以表示為：

注意公式3中的星號表示卷積，而不是相乘。我們已經(jīng)知道原始信號的頻譜g(f)，因此只需要算出沖激函數(shù)序列的傅立葉變換。我們知道沖激函數(shù)序列是一個周期函數(shù)，因而可以用傅立葉級數(shù)表示。如下式：

其中傅立葉系數(shù)為：

公式5中積分的上下限只指定為一個周期。當處理沖激函數(shù)時，這沒有問題。然而，為了使上面的表達式具有更好的通用性，可以進行如下代換處理：用一個從負無窮到正無窮的傅立葉積分代替該積分，并用單個沖激函數(shù)—t周期信號的基本信號替代周期性的沖激函數(shù)序列。因而，公式5可以改寫為：

這樣一來沖激函數(shù)序列可采用以下易于進行傅立葉變換的簡化表達式：

考慮到一個信號可以從其傅立葉變換積分得到，如下式：

并且：

最終表達式如下：

根據(jù)以上結(jié)果，再重新考慮已采樣的基帶信號。其傅立葉變換表達式如下：

兩個信號a(f)和b(f)的卷積定義為：

則s(f)可表示為：

計算的結(jié)果為公式13，通常稱為采樣定理。它表明在時域里按周期t (秒)采樣得到的信號會以1/t的頻率重復(fù)原始信號的頻譜，如圖2所示。這一結(jié)果反過來可以清楚且直觀地回答先前的問題：如何采樣模擬信號才能夠保持原始信號的全部信息？

混疊效應(yīng)

為保留原始基帶信號的所有信息，必須確保每一個重復(fù)頻譜“輪廓”之間不發(fā)生交疊。如果相互交疊(這種現(xiàn)象稱為混疊)，就不可能再從采樣信號中恢復(fù)出原始信號。這會使高頻成分混疊到低頻頻段，如圖3所示。

為了避免混疊，必須滿足以下條件：1/t > 2，或1/t > 2bw。該結(jié)論也可用采樣頻率表示為：

因此，不會產(chǎn)生混疊的最小采樣頻率為2bw。這就是眾所周知的奈奎斯特定律。

圖3給出了產(chǎn)生混疊的采樣信號。注意高頻信號分量fh呈現(xiàn)為低頻分量。您可以用一個低通濾波器來恢復(fù)原始頻譜，并將其它頻譜分量濾掉(衰減)。當使用截止頻率為的低通濾波器恢復(fù)信號時，它無法將混疊的高頻信號濾掉，從而造成有用信號的劣化。

考慮到混疊會惡化有用信號，再來考慮帶通信號這類特定的有限帶寬信號。帶通信號的低頻邊界不是零。如圖4所示，帶通信號的信號能量分布在l與>u之間，其帶寬定義為u - l。因此，帶通信號和基帶信號的主要區(qū)別在于它們的帶寬定義：基帶信號的帶寬等于它的最高頻率，而帶通信號的帶寬為最高頻率和最低頻率之差。

從前面的討論可知，采樣信號以1/t的周期重復(fù)原始信號的頻譜。因為這個頻譜實際上包括從0hz到原始帶通信號低頻截止頻率之間的零幅值頻帶，所以實際的信號帶寬要比u低。因此可以在頻域內(nèi)做一定的頻率偏移，從而允許采樣頻率低于當信號頻譜占據(jù)整個零至u范圍時要求的采樣頻率。例如，假定信號帶寬為u/2，采樣頻率取為u即可滿足奈奎斯特定律，采樣信號的頻譜如圖5所示。

該采樣過程沒有產(chǎn)生混疊，因此如果有理想的帶通濾波器，可完全從采樣信號中恢復(fù)出原始信號。在本例中，注意到基帶和帶通信號的差別是非常重要的。對于基帶信號，帶寬和相應(yīng)的采樣頻率只由最高頻率決定。而帶通信號的帶寬通常都要比最高頻率小。

以上特性決定了從采樣信號中恢復(fù)原始信號的方法。對于最高頻率相同的基帶信號和帶通信號，只要采用合適的帶通濾波器來隔離原始信號頻譜 (圖5中的白色矩形部分)，帶通信號就可以采用較低的采樣頻率。由于信號頻譜中包括陰影部分，用于基帶信號恢復(fù)的低通濾波器在這種情況下無法恢復(fù)出原始帶通信號，如圖5所示。所以如果要用低通濾波器恢復(fù)圖5中的帶通信號，采樣頻率必須在2u以上以避免混疊。

有限帶寬信號必須在滿足奈奎斯特定律的情況下才能被完全恢復(fù)。對于帶通信號，只有用帶通濾波器時奈奎斯特采樣頻率才可以避免混疊。否則就必須使用更高的采樣頻率。在實際應(yīng)用中選擇轉(zhuǎn)換器采樣頻率時，這一點很重要。

還要注意的是對有限帶寬信號的假設(shè)。從數(shù)學上分析，一個信號不可能是真正有限帶寬的。傅立葉變換定律告訴我們，如果一個信號的持續(xù)時間是有限的，則它的頻譜就會延展到無限頻率范圍，如果它的帶寬是有限的，則它的持續(xù)時間是無限的。很顯然，我們找不到一個持續(xù)無限時間的時域信號，所以也不可能有真正的有限帶寬信號。不過絕大部分實際信號的頻譜能量都集中在有限帶寬內(nèi)，因此前面的分析對這些信號仍然有效。

采樣正弦信號

采樣正弦信號可以非常簡單和方便地展示發(fā)生混疊時高頻成分呈現(xiàn)為低頻成分這一固有現(xiàn)象。純粹正弦信號的頻譜僅包括相應(yīng)頻點上的尖峰信號 (沖激函數(shù))，出現(xiàn)混疊時，尖峰會從一個頻點移到另一個頻點。

以下結(jié)果是用125msps、12位adc max19541測試得出的。圖6所示為輸入信號頻率fin = 11.5284mhz時變換器輸出信號的頻譜。數(shù)據(jù)顯示主尖峰正好出現(xiàn)在該頻點上。頻譜中還有一些其它的尖峰，它們是由轉(zhuǎn)換器的非線性引起的諧波，和本文的討論主題無關(guān)。由于采樣頻率fsampling = 125mhz，遠大于奈奎斯特定律要求的兩倍輸入頻率，所以不會出現(xiàn)混疊。

接下來考慮如果把輸入頻率提高到fin = 183.4856mhz，主尖峰的位置會發(fā)生什么變化。該輸入頻率大于fsampling/2，可以想象會有混疊出現(xiàn)。圖7給出了得到的頻譜，主尖峰落在58.48mhz頻點，這就是混疊信號。換言之，在58.48mhz頻點出現(xiàn)了一個原始信號中不包含的頻率信號。注意圖6和圖7中都只給出了奈奎斯特頻率以下的頻譜，因為頻譜是周期性的，圖中的顯示部分已經(jīng)包含了所有必要信息。