采樣控制系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)特性及其計(jì)算方法

1 引言
當(dāng)前多數(shù)控制方案都采用離散控制器控制連續(xù)被控對(duì)象的方法，這就構(gòu)成了采樣控制系統(tǒng)［１］。連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)共存，是采樣控制系統(tǒng)的顯著特點(diǎn)，也成為精確分析采樣控制系統(tǒng)的難點(diǎn)所在［２］。傳統(tǒng)的采樣控制系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的計(jì)算方法是將連續(xù)被控對(duì)象離散化后，應(yīng)用離散系統(tǒng)理論近似計(jì)算系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，這種計(jì)算方法的缺陷有兩點(diǎn)：一是系統(tǒng)的真實(shí)輸出為連續(xù)輸出，而計(jì)算結(jié)果卻是離散的；另外，計(jì)算過(guò)程中只考慮系統(tǒng)在采樣時(shí)刻點(diǎn)的信息，卻忽略了系統(tǒng)在采樣時(shí)刻之間的信息，因此只能是一種不精確的計(jì)算方法。
本課題受高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專向科研基金資助(HB-097-6820)
本文應(yīng)用采樣控制系統(tǒng)直接設(shè)計(jì)方法［２，３］，基于提升技術(shù)，推導(dǎo)給出了采樣控制系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)計(jì)算方法。
標(biāo)準(zhǔn)采樣控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示，圖中實(shí)線代表連續(xù)信號(hào)，虛線代表離散信號(hào)，y(t)為輸出信號(hào)，u(t)為外部輸入信號(hào)，ψ、ν為數(shù)字信號(hào)，Kd為線性時(shí)不變離散控制器，S、H分別為理想采樣開(kāi)關(guān)和保持器，G為廣義連續(xù)LTI被控對(duì)象，可表示為

由于采樣開(kāi)關(guān)的存在，使采樣控制系統(tǒng)中連續(xù)和離散信號(hào)共存，具有周期時(shí)變性。Bassam A.Bamieh將采樣控制系統(tǒng)進(jìn)行提升化處理，提升后系統(tǒng)為離散時(shí)不變系統(tǒng)，其輸入輸出空間為無(wú)窮維，而系統(tǒng)范數(shù)不變［２，３］。可見(jiàn)，提升技術(shù)雖然解決了采樣控制系統(tǒng)的周期時(shí)變問(wèn)題，但提升后系統(tǒng)的輸入輸出空間是無(wú)窮維，這一問(wèn)題成為采樣控制系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的主要難點(diǎn)。
2 采樣控制系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)特性及其計(jì)算方法
本節(jié)應(yīng)用提升技術(shù)將采樣控制系統(tǒng)Ｆ轉(zhuǎn)化為線性時(shí)不變系統(tǒng)F，然后求解系統(tǒng)F(G，Kd)的時(shí)間響應(yīng)，得到提升輸出。最后，將提升輸出進(jìn)行逆提升處理，從而得到采樣控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)輸出y(t)，如圖2所示。

2.1 采樣控制系統(tǒng)的提升化處理
提升算子L和逆提升算子L－１的作用可做如下直觀解釋［２］：L將定義在t∈［０，＋∞)上的連續(xù)信號(hào)y分割成定義在k∈N上的無(wú)窮個(gè)離散信號(hào)yk，每一個(gè)離散信號(hào)取值于定義在［０，h)上的Banach空間；而L－１是將無(wú)窮個(gè)離散信號(hào)“粘貼”成連續(xù)信號(hào)，如圖3所示，提升技術(shù)具有如下性質(zhì)［４］：
性質(zhì)1：連續(xù)信號(hào)經(jīng)過(guò)提升后，信號(hào)的范數(shù)保持不變，且L·L－１＝Ｉ。
性質(zhì)2：周期時(shí)變的采樣控制系統(tǒng)經(jīng)過(guò)提升化處理后變成輸入輸出空間為無(wú)窮維的線性離散時(shí)不變系統(tǒng)，且提升系統(tǒng)不改變采樣控制系統(tǒng)的范數(shù)和穩(wěn)定性。
性質(zhì)3：提升化處理不改變系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)特性。
根據(jù)提升算子和逆提升算子的定義，只是對(duì)信號(hào)的“分割”或“粘貼”，并不丟失信號(hào)的任何信息，因此提升化處理并不改變信號(hào)的時(shí)域特性，性質(zhì)3顯然成立，證明略。

為使問(wèn)題簡(jiǎn)化，設(shè)式(1)所示被控對(duì)象模型滿足D２１＝Ｄ２２＝０，提升后采樣控制系統(tǒng)中廣義被控對(duì)象模型為


2.2 采樣控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)特性
提升系統(tǒng)的閉環(huán)狀態(tài)空間表示為，

由于提升系統(tǒng)是線性時(shí)不變離散系統(tǒng)，故系統(tǒng)的閉環(huán)狀態(tài)空間表示為

但［kh,(k+1)h)時(shí)間段內(nèi)，由于B1u是定積分，因此是常值，同時(shí)區(qū)間［kh,(k+1)h)內(nèi)卻是變化的，所以在區(qū)間［kh,(k+1)h)內(nèi)隨時(shí)間t′變化。假設(shè)系統(tǒng)初態(tài)為零，對(duì)于任意時(shí)刻t(0≤t＜∞)，在輸入信號(hào)u(t)作用下，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為

可見(jiàn)根據(jù)式(2)，對(duì)于任意時(shí)刻t，都存在yk(t′)與之對(duì)應(yīng)，所以由式(2)表示的采樣控制系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)是連續(xù)的，而且式(2)中，

以上算子表達(dá)式說(shuō)明式(2)描述的采樣控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)考慮了采樣時(shí)刻之間系統(tǒng)的信息，并且在任意時(shí)變輸入信號(hào)下，算子都具有精確解，這樣，式(2)真實(shí)地反映了采樣控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)特性。
2.3 采樣控制系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)計(jì)算方法

當(dāng)外部輸入信號(hào)為任意時(shí)變信號(hào)時(shí)，算子的計(jì)算方法是首先將積分區(qū)間n等分，然后應(yīng)用近似求和的方法計(jì)算積分項(xiàng)，n值選取越大，計(jì)算結(jié)果越精確，計(jì)算公式如下：



3 計(jì)算實(shí)例

根據(jù)前述內(nèi)容計(jì)算采樣控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，響應(yīng)曲線如圖5和圖6所示。
圖5為單位階躍信號(hào)下的響應(yīng)曲線，圖6為頻率0.5Hz、單峰1°的正弦輸入下［０，５］秒內(nèi)的輸出響應(yīng)，曲線1是應(yīng)用本文方法計(jì)算出的時(shí)間響應(yīng)曲線，由于考慮了采樣時(shí)刻之間系統(tǒng)的信息，所以響應(yīng)曲線是光滑曲線，而曲線2是首先將低通濾波器和連續(xù)被控對(duì)象離散化，得到純離散系統(tǒng)后計(jì)算出的響應(yīng)曲線，在一個(gè)周期［kh,(k+1)h)時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)輸出為常值，故響應(yīng)曲線為階梯狀。

另外，當(dāng)t′＝０時(shí)，即只考慮采樣時(shí)刻的響應(yīng)時(shí)，若外部輸入為常值，提升系統(tǒng)簡(jiǎn)化為通常的離散系統(tǒng)，故圖5中曲線1與曲線2在采樣時(shí)刻存在重合點(diǎn)；而當(dāng)外部輸入為任意時(shí)變信號(hào)時(shí)，由于離散系統(tǒng)理論認(rèn)為在［kh,(k+1)h)區(qū)間內(nèi)，外部輸入信號(hào)為常值u(kh)，卻沒(méi)有考慮連續(xù)輸入信號(hào)在［kh,(k+1)h)間內(nèi)的變化，因而相對(duì)于真實(shí)系統(tǒng)的輸出產(chǎn)生