頻率響應法是通過系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性和閉環(huán)頻率特性的一些特征量間接地表征系統(tǒng)瞬態(tài)響應的性能，因而這些特征量又被稱為頻域性能指標。常用的頻域性能指標包括：開環(huán)頻率特中的相位裕量、增益裕量；閉環(huán)頻率特中的諧振峰值、頻帶寬度和諧振頻率等。在時域分析中，控制系統(tǒng)包括靜態(tài)性能指標和動態(tài)性能指標。雖然這些頻域性能指標沒有時域性能指標那樣直觀，但對于二階系統(tǒng)而言，它們與時域性能指標間有著確定的對應關系；在高階系統(tǒng)中，只要存在一對閉環(huán)主導極點，則它們也有著近似的對應關系。
5.6.1 開環(huán)頻率特性中相位裕量與時域性能指標的關系 關于開環(huán)頻率特性低頻段與閉環(huán)系統(tǒng)靜態(tài)性能的關系我們在5.3.4中已作了分析，此處我們著重研究二階系統(tǒng)的相位裕量 、剪切頻率 與阻尼比 間的關系。 當 時， ，即 求解上式，得 據(jù)此求得 的相角為 由相位裕量的定義得 圖5－59為 與 的關系曲線。 1、 與超調(diào)量的關系 在前面第三章已知，超調(diào)量 和阻尼比 之間的定量關系為 將式（5－62）和式（5－63）的函數(shù)關系，以 為橫坐標， 和 為縱坐標，繪制于同一張圖上，如圖5－60所示。這樣，根據(jù)給定的相位裕量 就可由圖5－60直接得到時域特性的最大超調(diào)量 。反之，當要求超調(diào)量不超過某一允許的 值時，也可以從圖5－60中求得應有的相信裕量 。
| 圖5－59 二階系統(tǒng)的相位裕量與阻尼比關系 |
圖5－60 二階系統(tǒng)相位裕量、最大超調(diào)量與阻尼比關系
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2、 與調(diào)整時間的關系 相位裕量 與調(diào)整時間 之間的定量關系。仍以二階系統(tǒng)為例，在第三章已求得調(diào)整時間 的近似表達式 將式（5－60）代入式（5－64）可得 再由式（5－62）和式（5－65）可得 將式（5－66）的函數(shù)關系繪成曲線，如圖5－61所示（圖中畫的是 的關系式）。 如果有兩個系統(tǒng)，其相位裕量 相同，那么他們的最大超調(diào)量 （時域）是大致相同的，但他們的調(diào)整時間 并不一定相同。由式（5－66）可知， 與剪切頻率 成反比，即越大，時域的調(diào)整時間 越短。所以剪切頻率 在頻率特性中是一個很特殊的重要參數(shù)，它不僅影響系統(tǒng)的相位裕量，還影響動態(tài)過程的調(diào)整時間
上述的頻域性能與時域性能的定量關系都是基于二階系統(tǒng)得出來的。對于高階系統(tǒng)，只要存在一對閉環(huán)主導極點，就可以利用上述二階系統(tǒng)分析的一些定量關系，以簡化系統(tǒng)的設計 5.6.2 閉環(huán)頻率特性及其特征量 由于開環(huán)和閉環(huán)頻率特性間有著確定的關系，因而可以通過開環(huán)頻率特性求取系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性。對于單位反饋系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為 對應的閉環(huán)頻率特性為 上式描述了開環(huán)頻率特性與閉環(huán)頻率特性之間的關系。如果已知 曲線上的一點，就可由式（5－67）確定閉環(huán)頻率特性曲線上相應的一點。 對于非單位反饋系統(tǒng)，如圖5－62a，則可先將其等效為如圖5－62b的系統(tǒng)，然后按上法先求圖5－62b中單位反饋系統(tǒng)的頻率特性 ，再與頻率特性 相乘，即可得到總的閉環(huán)頻率特性。 用這種方法逐點繪制閉環(huán)頻率特性曲線，在工程上，常用等M圓、等N圓和Nicoles圖線來表示閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性，并用用圖解法去繪制。顯然這是既繁瑣又費時間的工作。現(xiàn)在這些工作可由計算機軟件實現(xiàn)，例如在Matlab中就有專門的繪制等M圓、等N圓和Nicoles圖線的函數(shù)，從而大大提高了繪圖的效率和精度。本節(jié)我們不對閉環(huán)頻率特性的繪制方法進行研究，僅對閉環(huán)頻率特性與時間性能指標間的關系作些分析。 1． 閉環(huán)頻率特性的諧振峰值 與諧振頻率 在本章第三節(jié)，針對二階系統(tǒng)我們給出了二階振蕩環(huán)節(jié)的諧振峰值 和諧振頻率 的概念，閉環(huán)系統(tǒng)的幅值在諧振頻率 處所取得的最大值 ，稱為諧振峰值。如圖5－63所示。 2． 截止頻率和頻帶寬度 圖5－63為 時閉環(huán)對數(shù)幅頻特性的一般形狀。當幅頻值下降到低于零頻率值以下3dB時，對應的頻率 稱為截止頻率，即有 對應于閉環(huán)幅頻值不低于－3dB的頻率范圍  ，通常稱為系統(tǒng)的頻帶寬度。系統(tǒng)的頻帶寬度反映了系統(tǒng)復現(xiàn)輸入信號的能力，具有寬的帶寬的系統(tǒng)，其瞬態(tài)響應的速度快，調(diào)整的時間也小。 例5－11 試比較兩個系統(tǒng)帶寬的大小，并驗證... 設有二個控制系統(tǒng)，它們的傳遞函數(shù)分別為 系統(tǒng)I： 系統(tǒng)Ⅱ： 試比較兩個系統(tǒng)帶寬的大小，并驗證具有較大帶寬的系統(tǒng)比具有較小帶寬的系統(tǒng)響應速度快，對輸入信號的跟隨性能好。 | 圖5－64a 兩系統(tǒng)的閉環(huán)對數(shù)幅頻特性 |
| 圖5－64b 兩系統(tǒng)的單位階躍響應曲線 |
解 圖5－64a為上述兩系統(tǒng)的閉環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線（圖中虛線為其漸近線）。由圖可見，系統(tǒng)I的帶寬為 ，系統(tǒng)Ⅱ的帶寬為 ，即系統(tǒng)I的帶寬是系統(tǒng)Ⅱ帶寬的三倍。圖5－64b表示了兩系統(tǒng)的階躍響應曲線。顯然，系統(tǒng)I較系統(tǒng)Ⅱ具有較快的階躍響應，并且前者跟蹤階躍輸入的性能也明顯優(yōu)于后者。 需要指出，寬的帶寬雖然能提高系統(tǒng)響應的速度，但也不能過大，否則會降低系統(tǒng)過濾高頻噪聲的能力。因此在設計系統(tǒng)時，對于頻帶寬度的確定必須兼顧系統(tǒng)的響應速度和抗高頻干擾的要求，采取一種折衷的方案。
5.6.3 閉環(huán)頻域特性與時域響應性能指標的關系
對于二階系統(tǒng)，其時域響應與頻域響應之間有著確定的對應關系。標準二階系統(tǒng)對應的閉環(huán)頻率特性為 式中 當 時，系統(tǒng)有諧振產(chǎn)生，由本章第三節(jié)討論可知，其諧振峰值分別為 由式（5－70）得 1、諧振峰值 和最大超調(diào)量 的關系 為了便于對諧振峰值 和最大超調(diào)量 作比較，把 和 與 的關系曲線都畫在圖5－65中。由圖可見， 和 均隨著 的減小而增大。顯然，對于同一個系統(tǒng)，若在時域內(nèi)的 大，則在頻域中的 必然也是大的；反之亦然。為了使系統(tǒng)具有良好的相對穩(wěn)定性，在設計系統(tǒng)時，通常取 值在 之間，對應的 將坐落在 之間。 把式（5－70）代入式（5－63），則得 如果已知 ，則由上式可求得對應的 。 | 圖5－65 諧振峰值 和最大超調(diào)量 的關系 |
2、諧振峰值 和調(diào)整時間 、峰值時間 關系 根據(jù)在第三章中導出二階系統(tǒng)的上升時間和調(diào)整時間的關系式，并考慮到式（5－69），則得 由式（5－70）有： 將式（5－75）的函數(shù)關系用曲線表示，如圖5－66?？梢?，峰值時間 與諧振峰值  成正比，而峰值時間 與諧振頻率 成反比。調(diào)整時間 與 和 的關系和峰值時間 與它們的關系相同。同時上述兩式表明，如果已知 和  ，就能從上述關系式中求出 和  。 3、頻帶寬度與峰值時間、調(diào)整時間的關系 根據(jù)頻帶寬度的定義，當 時，二階系統(tǒng)的幅頻為 求解上式，得 同理，注意到式（5－73）、（5－74），并對照式（5－69），則得 由式（5－78）和（5－79）可知，對于給定的 ，  和 均與 成反比。這就是說， 越大，則系統(tǒng)響應的速度就越快。 把式（5－70）代入式（5－78）、（5－79），可求得 上述兩式把時域性能指標 、 與頻域性能指標 和 聯(lián)系起來，如果已知 和 ，就能從上述關系式中求出 和 。 對于高階系統(tǒng)，系統(tǒng)的頻率響應與時域響應間的對應關系可通過經(jīng)驗公式聯(lián)系，也通過傅氏積分，即， 由于這種積分變換較復雜，因而不可能像二階系統(tǒng)那樣簡單地描述頻域響應與時域響應間的對應關系，其積分一般借助于計算機輔助算法，且目前這些算法均比較成熟。如果高階系統(tǒng)中有一對共軛主導極點，則上述二階系統(tǒng)的時域響應與頻域響應間的對應關系就可近似地應用于高階系統(tǒng)中去。 | 
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