自動控制系統(tǒng)的設(shè)計--基于根軌跡的串聯(lián)校正設(shè)計

與頻域法相似，利用根軌跡法進行系統(tǒng)的設(shè)計也有兩種方法：1）常規(guī)方法；2）Matlab方法。Matlab的根軌跡方法允許進行可視化設(shè)計，具有操作簡單、界面直觀、交互性好、設(shè)計效率高等優(yōu)點。目前常用的Matlab設(shè)計方法有：1）直接編程法；2）Matlab控制工具箱提供的強大的Rltool工具；3）第三方提供的應(yīng)用程序，如CTRLLAB等。本節(jié)在給出根軌跡的設(shè)計思路的基礎(chǔ)上，將重點介紹第一、二種方法。

6.4.1 超前校正
關(guān)于超前校正裝置的用途，在頻率校正法中已進行了較詳細的敘述，在此不再重復(fù)。

利用根軌跡法對系統(tǒng)進行超前校正的基本前提是：假設(shè)校正后的控制系統(tǒng)有一對閉環(huán)主導(dǎo)極點，這樣系統(tǒng)的動態(tài)性能就可以近似地用這對主導(dǎo)極點所描述的二階系統(tǒng)來表征。因此在設(shè)計校正裝置之前，必須先把系統(tǒng)時域性能的指標轉(zhuǎn)化為一對希望的閉環(huán)主導(dǎo)極點。通過校正裝置的引入，使校正后的系統(tǒng)工作在這對希望的閉環(huán)主導(dǎo)極點處，而閉環(huán)系統(tǒng)的其它極點或靠近某一個閉環(huán)零點，或遠離s平面的虛軸，使它們對校正后系統(tǒng)動態(tài)性能的影響最小。

是否采用超前校正可以按如下方法進行簡單判斷：若希望的閉環(huán)主導(dǎo)極點位于校正前系統(tǒng)根軌跡的左方時，宜用超前校正，即利用超前校正網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生的相位超前角，使校正前系統(tǒng)的根軌跡向左傾斜，并通過希望的閉環(huán)主導(dǎo)極點。 （一）根軌跡超前校正原理
設(shè)一個單位反饋系統(tǒng)，G0(s)為系統(tǒng)的不變部分，Gc(s)為待設(shè)計的超前校正裝置，
Kc為附加放大器的增益。繪制G0(s)的根軌跡于圖6—19上，設(shè)點Sd 為系統(tǒng)希望的閉環(huán)極點，則 若為校正后系統(tǒng)根軌跡上的一點，必須滿足根軌跡的相角條件，即

∠Gc(Sd)G0(Sd)=∠Gc(Sd)+G0(Sd)=-π

于是得超前校正裝置提供的超前角為：

(6-21)

顯然在Sd已知的情況下，這樣的Gc(s)是存在的，但它的零點和極點的組合并不唯一，這相當于張開一定角度的剪刀，以Sd為中心在擺動。若確定了Zc和Pc的位置，即確定了校正裝置的參數(shù)。下面介紹三種用于確定超前校正網(wǎng)絡(luò)零點和極點的方法。

（二）三種確定超前校正裝置參數(shù)的方法
零極點抵消法

在控制工程實踐中，通常把Gc(s)的零點設(shè)置在正對希望閉環(huán)極點Sd下方的負實軸上，或位于緊靠坐標原點的兩個實極點的左方，此法一般可使校正后系統(tǒng)的期望閉環(huán)極點成為主導(dǎo)極點。

比值α最大化法

能使超前校正網(wǎng)絡(luò)零點和極點的比值α為最大的設(shè)計方法。按照該法去設(shè)計Gc(s)的零點和極點，能使附加放大器的增益盡可能地小。

以圖6—19上的點O和Sd，以Sd為頂點，線段O 為邊，向左作角γ，角γ的另一邊與負實軸的交點Zc=-1/T，點Zc就是所求 的一個零點。再以線段ZcSd為邊，向左作角
∠PcSdZc，該角的另一邊與負實軸的交點Pc=-1/αT，點 就是所求Gc(s)的一個極點。根據(jù)正弦定理，由圖6—18求得:

(6-22)

(6-23)

于是有:

(6-24)

將夾角γ作為自變量，式（6—24）對γ求導(dǎo)，并令其等于零，即dα/dγ=0
由上式解得對應(yīng)于最大α值時的γ角為

(6-25)

不難看出，當希望的閉環(huán)極點Sd被確定后，式（6—25）中的θ和φ均為已知值，因而由上式可求得γ角，然后由式（6－22）和式（6－23）求得相應(yīng)的零極點。

幅值確定法

設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù):

(6-26)

且令超前校正裝置的傳遞函數(shù)：

(6-27)

若要求校正后系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)K(Kp,Kv,Ka)，則由上式可首先確定k：

(6-28)

在開環(huán)增益k確定后，根據(jù)根軌跡原理，若Sd為校正后的閉環(huán)極點，則它除必須滿足相角條件外，還應(yīng)滿足幅值條件：

(6-29)

上式中，

同樣根據(jù)平面三角形原理，對于△ZcOSd有：

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