靜電場的能量

一個物體帶了電是否就具有了靜電能？為了回答這個問題，讓我們把帶電體的帶電過程作下述理解：物體所帶電量是由眾多電荷元聚集而成的，原先這些電荷元處于彼此無限離散的狀態(tài)，即它們處于彼此相距無限遠的地方，使物體帶電的過程就是外界把它們從無限遠聚集到現(xiàn)在這個物體上來。在外界把眾多電荷元由無限遠離的狀態(tài)聚集成一個帶電體系的過程中，必須作功。根據(jù)功能原理，外界所作的總功必定等于帶電體系電勢能的增加。因為電勢能本身的數(shù)值是相對的，是相對于電勢能為零的某狀態(tài)而言的。按照通常的規(guī)定，取眾多電荷元處于彼此無限遠離的狀態(tài)的電勢能為零，所以帶電體系電勢能的增加就是它所具有的電勢能。于是我們就得到這樣的結(jié)論：一個帶電體系所具有的靜電能就是該體系所具有的電勢能，它等于把各電荷元從無限遠離的狀態(tài)聚集成該帶電體系的過程中，外界所作的功。

那么帶電體系所具有的靜電能是由電荷所攜帶呢，還是由電荷激發(fā)的電場所攜帶？也就是，能量定域于電荷還是定域于電場？在靜電學(xué)范圍內(nèi)我們無法回答這個問題，因為在一切靜電現(xiàn)象中，靜電場與靜電荷是相互依存，無法分離的。隨時間變化的電場和磁場形成電磁波，電磁波則可以脫離激發(fā)它的電荷和電流而獨立傳播并攜帶了能量。太陽光就是一種電磁波，它給大地帶來了巨大的能量。這就是說，能量是定域于場的，靜電能是定域于靜電場的。

既然靜電能是定域于電場的，那么我們就可以用場量來量度或表示它所具有的能量。

電容器充電的過程可以理解為，不斷把微量電荷dq從一個極板移到另一個極板，最后使兩極板分別帶有電量+Q和-Q。當(dāng)兩極板的電量分別達到+q和-q時，兩極板間的電勢差為u_AB，若繼續(xù)將電量dq從負極板移到正極板，外力所作的元功為

,

式中C是電容器的電容。電容器所帶電量從零增大到Q的整個過程中，外力所作的總功為

.

外力所作的功A等于電容器這個帶電體系的電勢能的增加，所增加的這部分能量，儲存在電容器極板之間的電場中，因為原先極板上無電荷，極板間無電場，所以極板間電場的能量，在數(shù)值上等于外力所作的功A，即

. (9-77)

若電容器帶電量為Q時兩極板間的電勢差為U_AB ，則平行板電容器極板間電場的能量還可以表示為

,(9-78)

和

(9-79)

設(shè)電容器極板上所帶自由電荷的面密度為s，極板間充有電容率為e的電介質(zhì)，電場強度可以表示為

,

極板上的電量可以表示為

Q = s S = e E S , (9-80)

式中S是電容器極板的面積。如果電容器兩極板間的距離為d，則電勢差U_AB 與電場強度的關(guān)系可以寫為

U_AB = E d . (9-81)

將式(9-80)和式(9-81)代入式(9-78)，得

,

由此可以求得電容器中靜電能的能量密度

.(9-82)

式(9-82)雖然是從平行板電容器極板間電場這一特殊情況下推得的，可以證明這個公式是普遍成立的。這個公式表明，如果電場中一點的電場強度為E，那么在該點附近單位體積內(nèi)所具有的電場能量為eE²/2 。這個公式不僅適用于各向同性電介質(zhì)中的靜電場，也適用于真空中的靜電場。在真空中，e =e₀ ，式(9-82)成為

.(9-83)

公式(9-82)既適用于勻強靜電場，也適用于非勻強電場，還適用于變化的電場。對于非勻強電場，空間各點的電場強度是不同的，而在體元dt內(nèi)可視為恒量，所以體元dt內(nèi)的電場能量為

,

整個電場的能量可以表示為

,(9-84)

積分在整個電場中進行。

在各向異性電介質(zhì)中，一般說來D與E的方向不同，這時電場能量密度應(yīng)表示為

, (9-85)

式(9-84)應(yīng)由下式代替

. (9-86)