什么是拉普拉斯變換

拉普拉斯變換：拉普拉斯變換（英文：Laplace Transform)，是工程數(shù)學(xué)中常用的一種積分變換。

如果定義： f(t),是一個關(guān)于t,的函數(shù)，使得當(dāng)t0,時(shí)候，f(t)=0,；s, 是一個復(fù)變量；

mathcal 是一個運(yùn)算符號，它代表對其對象進(jìn)行拉普拉斯積分int_0^infty e^ ,dt；F(s),是f(t),的拉普拉斯變換結(jié)果。

則f(t),的拉普拉斯變換由下列式子給出：

F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt

拉普拉斯逆變換，是已知F(s),，求解f(t),的過程。用符號 mathcal ^ ,表示。

拉普拉斯逆變換的公式是：

對于所有的t>0,；

f(t)

= mathcal ^ left

=frac int_ ^ F(s),e^ ,ds

c,是收斂區(qū)間的橫坐標(biāo)值，是一個實(shí)常數(shù)且大于所有F(s),的個別點(diǎn)的實(shí)部值。
為簡化計(jì)算而建立的實(shí)變量函數(shù)和復(fù)變量函數(shù)間的一種函數(shù)變換。對一個實(shí)變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復(fù)數(shù)域中作各種運(yùn)算，再將運(yùn)算結(jié)果作拉普拉斯反變換來求得實(shí)數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，往往比直接在實(shí)數(shù)域中求出同樣的結(jié)果在計(jì)算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運(yùn)算步驟對于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數(shù)方程來處理，從而使計(jì)算簡化。在經(jīng)典控制理論中，對控制系統(tǒng)的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎(chǔ)上的。引入拉普拉斯變換的一個主要優(yōu)點(diǎn)，是可采用傳遞函數(shù)代替微分方程來描述系統(tǒng)的特性。這就為采用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統(tǒng)的整個特性（見信號流程圖、動態(tài)結(jié)構(gòu)圖）、分析控制系統(tǒng)的運(yùn)動過程（見奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、根軌跡法），以及綜合控制系統(tǒng)的校正裝置（見控制系統(tǒng)校正方法）提供了可能性。

用 f(t)表示實(shí)變量t的一個函數(shù)，F(xiàn)(s)表示它的拉普拉斯變換，它是復(fù)變量s＝σ＋jowega;的一個函數(shù)，其中σ和owega; 均為實(shí)變數(shù),j2＝-1。F(s)和f(t)間的關(guān)系由下面定義的積分所確定：


如果對于實(shí)部σ ＞σc的所有s值上述積分均存在，而對σ ≤σc時(shí)積分不存在，便稱 σc為f(t)的收斂系數(shù)。對給定的實(shí)變量函數(shù) f(t)，只有當(dāng)σc為有限值時(shí)，其拉普拉斯變換F(s)才存在。習(xí)慣上,常稱F(s)為f(t)的象函數(shù),記為F(s)＝L[f(t)];稱f(t)為F(s)的原函數(shù),記為ft＝L-1[F(s)]。

函數(shù)變換對和運(yùn)算變換性質(zhì) 利用定義積分，很容易建立起原函數(shù) f(t)和象函數(shù) F(s)間的變換對，以及f(t)在實(shí)數(shù)域內(nèi)的運(yùn)算與F(s)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的運(yùn)算間的對應(yīng)關(guān)系。表1和表2分別列出了最常用的一些函數(shù)變換對和運(yùn)算變換性質(zhì)。