戴維南定理和諾頓定理

一、戴維南定理

圖2-7-1

二端網(wǎng)絡(luò)也稱為一端口網(wǎng)絡(luò)，其中含有電源的二端網(wǎng)絡(luò)稱為有源一端口網(wǎng)絡(luò)，不含電源的二端網(wǎng)絡(luò)稱為無(wú)源一端口網(wǎng)絡(luò)，它們的符號(hào)分別如圖2-7-1（a）（b）所示。

圖2-7-2

任一線性有源一端口網(wǎng)絡(luò)（如圖2-7-2（a）所示）對(duì)其余部分而言，可以等效為一個(gè)電壓源和電阻相串聯(lián)的電路（如圖2-7-2（b）所示），其中的大小等于該有源一端口網(wǎng)絡(luò)的開路電壓，電壓源的正極與開路端高電位點(diǎn)對(duì)應(yīng)；等于令該有源一端口網(wǎng)絡(luò)內(nèi)所有獨(dú)立源為零（即電壓源短接、電流源開路）后所構(gòu)成的無(wú)源一端口網(wǎng)絡(luò)的等效電阻。這就是戴維南定理，也稱為等效電源定理；與串聯(lián)的電路稱為戴維南等效電路。

要計(jì)算一個(gè)線性有源一端口網(wǎng)絡(luò)的戴維南等效電路，其步驟和方法為：

1、計(jì)算：利有電路分析方法，計(jì)算相應(yīng)端口的開路電壓；

2、計(jì)算：當(dāng)線性有源一端口網(wǎng)絡(luò)A中不含受控源時(shí)，令A(yù)內(nèi)所有獨(dú)立電源為零后得到的無(wú)源一端口網(wǎng)絡(luò)P則為純電阻網(wǎng)絡(luò)，利用無(wú)源一端口網(wǎng)絡(luò)的等效變換就可求出端口等效電阻；當(dāng)線性一端口網(wǎng)絡(luò)A中含有受控源時(shí)，令A(yù)內(nèi)所有獨(dú)立電源為零后得到的一端口網(wǎng)絡(luò)P中仍含有受控源，這時(shí)，可采用加壓法和開路短路法求。

圖2-7-3

例2-7-1 利用戴維南定理求圖2-7-4（a）所示電路中的電流I為多少？

圖2-7-4 例2-7-1附圖

解：將A、B左邊部分電路看作有源一端口網(wǎng)絡(luò)，用戴維南等效電路替代后如圖2-10-4（b）所示。

（1）求：將A、B端口開路，得到圖2-10-4（c）所示電路。

由米爾曼公式得：

（2）求等效電阻：令A(yù)、B以左的三個(gè)獨(dú)立源為零，得到圖2-10-4（d）所示電路，則A、B端口的等效電阻為：

（3）從圖2-10-4（b）中求I：

圖2-7-5 例2-7-2附圖

例2-7-2 在圖2-7-5（a）所示電路中，已知，，求A、B端口的戴維南等效電路。

解：（1）求：圖2-10-5（a）中A、B端口處于開路狀態(tài)，列寫KVL方程：

（2）求等效電阻：下面分別用兩種方法求解。

（i）開路短路法：開路電壓已在（1）中求得，現(xiàn)求A、B端口的短路電流。將A、B端口短接，如圖2-10-5（b）所示，從圖中易看出：

， 即

則受控源則有：

，

（ii） 加壓法：將獨(dú)立電壓源置零后，然后再在A、B端口加上一個(gè)電壓源，如圖2-10-5（c）所示。

列寫KVL方程： ，，又因?yàn)椋?

所以：

最后，得到A、B端口的戴維南等效電路如圖2-7-5（d）所示。

二、最大功率的傳輸條件：

當(dāng)一個(gè)線性有源一端口網(wǎng)絡(luò)化為戴維南等效電路后，在其端口接上可變電阻R，如圖2-10-6所示。當(dāng)已知，那么當(dāng)R為多少時(shí)它能獲得最大功率？獲得的最大功率又為多少？

圖2-10-6

令，得到：（式2-10-1 ）

此時(shí) （式2-10-2）

（式2-10-1）就是最大功率的傳輸條件。若是信號(hào)源內(nèi)阻，R是負(fù)載電阻，則當(dāng)滿足最大功率傳輸條件時(shí)，傳輸效率為50%，即有一半功率消耗在信號(hào)源內(nèi)阻上。

例2-7-3 在圖2-7-7（a）所示電路中，兩個(gè)有源一端口網(wǎng)絡(luò)、串聯(lián)后與R相連，R從改變，測(cè)得時(shí)，；時(shí)，。

（1）當(dāng)R為多少時(shí)，能獲得最大功率？

（2）當(dāng)將圖2-7-7（b）所示電路代替R接于A、B端口時(shí)，，VCVS的控制系數(shù)，求端口電壓。

圖2-7-7例2-7-3附圖

解：（1）首先將兩個(gè)有源一端口網(wǎng)絡(luò)化為戴維南等效電路，分別記為、、、，再將、等效為一個(gè)電壓源，記為，將串聯(lián)的、等效為一個(gè)電阻，于是串聯(lián)的兩個(gè)有源一端口網(wǎng)絡(luò)最后等效為一個(gè)電壓源和一個(gè)電阻的串聯(lián)，如圖2-7-7（c）所示。

代入已知條件： ，

解之得：

所以當(dāng)時(shí)，獲得最大功率：

（2）將圖2-7-7（b）所示電路接于A、B端口，利用節(jié)點(diǎn)電壓法，由米爾曼公式得：

其中：

最后得到：

三、諾頓定理

任一線性有源一端口網(wǎng)絡(luò)（如圖2-7-8（a）所示）對(duì)其余部分而言，可以等效為一個(gè)電流源與一個(gè)電阻相并聯(lián)的電路（如圖2-7-8（b）所示），其中的大小等于有源一端口網(wǎng)絡(luò)端口的短路電流，電流的方向從高電位點(diǎn)流出；等于戴維南定理中的，即等于令有源一端口網(wǎng)絡(luò)內(nèi)所有獨(dú)立源為零后所構(gòu)成的無(wú)源一端口網(wǎng)絡(luò)的等效電阻。

圖2-7-8

要計(jì)算一個(gè)線性有源一端口網(wǎng)絡(luò)A的諾頓等效電路，只要求出網(wǎng)絡(luò)A的短路電流、令網(wǎng)絡(luò)A中所有獨(dú)立源為零后的網(wǎng)絡(luò)P的入端等效電阻即可。諾頓定理中的與戴維南定理中的是完全相同的，因此求解方法也完全相同。

圖2-7-9例2-7-4附圖

例2-7-4 利用諾頓定理計(jì)算圖2-7-9（a）所示電路中的電流I。

解：（1）求短路電流：將A、B端口短接，右邊的電阻被短接，得到圖2-7-9（b）所示電路。

（2）求等效電阻：令左邊12V的電壓源為零，左邊電阻被短接，如圖2-7-9（c）所示。

（3）畫出AB端口以左電路的諾頓等效電路，如圖2-7-9（d）所示。

圖2-7-10例2-7-5附圖

例2-7-5 求圖2-7-10（a）所示電路的諾頓等效電路。

解：（1）求短路電流：將兩端短接，如圖2-7-10（b）所示。

由KVL有：，

由KCL有： ，

（2） 求A、B端口的等效電阻：令2V的電壓源、1A的電流源為零，受控源仍然保留，得到圖2-7-10（c）所示電路。

，，