非正弦周期信號電路的穩(wěn)態(tài)計(jì)算

對于非正弦周期信號激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)電路，無法用直流電路或正弦交流電路的計(jì)算方法來分析計(jì)算，而必須先把非正弦周期信號激勵(lì)用傅里葉級數(shù)分解為不同頻率的正弦分量之和，然后再分別計(jì)算各個(gè)頻率分量激勵(lì)下的電路響應(yīng)。最后用疊加定理把各響應(yīng)分量進(jìn)行疊加獲得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。其計(jì)算過程的主要步驟可分為三步：

（1）把給定的非正弦周期激勵(lì)源分解為傅里葉級數(shù)表達(dá)式，即分解為直流分量與各次諧波分量之和，根據(jù)展開式各項(xiàng)收斂性及所需精度確定所需諧波項(xiàng)數(shù)；

（2）分別計(jì)算直流分量和各頻率諧波分量激勵(lì)下的電路響應(yīng)。直流分量用直流電路分析方法，此時(shí)電感短路、電容開路；對于不同頻率的正弦分量，采用正弦電路相量分析計(jì)算方法，這時(shí)需注意電路的阻抗隨頻率而變化，各分量單獨(dú)計(jì)算時(shí)應(yīng)作出對應(yīng)電路圖；

（3）應(yīng)用疊加定理把輸出響應(yīng)的各諧波分量相加得到總的響應(yīng)值，注意疊加前應(yīng)把各諧波響應(yīng)表達(dá)成時(shí)域瞬時(shí)式（因?yàn)椴煌l率的相量式相加是無意義的）。

下面用具體例子來說明線性電路的周期非正弦穩(wěn)態(tài)分析。

例6-2-1 電路如圖6-2-1所示，已知，，，電源電壓，基波角頻率，試求流過電阻的電流及電感兩端電壓。

圖 6-2-1

解：本題的激勵(lì)電壓源已分解成各次諧波分量，因此可直接進(jìn)行各次諧波的計(jì)算。對于直流分量的計(jì)算，可用一般直流電路的解題方法，畫出對應(yīng)直流電路如圖6-2-2a所示，已知，則得

對于基波分量，其對應(yīng)電路如圖6-2-2b所示，，ab端入端阻抗：

圖 6-2-2

電感兩端電壓：

即有：

，

對于三次諧波分量，其等效電路如圖6-2-2c所示，，其入端阻抗為：

電感兩端電壓：

即有：

，

對于五次諧波，等效電路如圖6-2-2d所示，有，ab端入端阻抗為：

電感兩端電壓：

即有：

，

最后得到流經(jīng)電阻的電流值為：

從計(jì)算結(jié)果可看出，電路對不同頻率的分量呈現(xiàn)不同的特性。當(dāng)三次諧波激勵(lì)時(shí)，入端阻抗特別大，因此產(chǎn)生的電流分量較小，這是由于接近電路諧振頻率點(diǎn)的緣故。

下面討論非正弦周期信號的有效值和功率問題。前面已定義了周期信號的有效值為：

對于非正弦周期信號電流，可展為傅里葉級數(shù)：

代入有效值表達(dá)式有：

把根號內(nèi)的平方展開，可得兩類表達(dá)式，一類是同頻率電流分量的平方，可計(jì)算得：

第二類為不同頻率的電流乘積，由三角函數(shù)的正交性可知，不同頻率的二個(gè)正弦函數(shù)乘積在上積分為零，即有：

于是可得周期非正弦交流電流的有效值為：

（6-2-1）

式中，I_k為各次諧波的有效值。同理可推得非正弦周期電壓有效值為：

（6-2-2）

非正弦周期信號的功率：

，

式中，

，

平均功率為：

將、展開式代入，其乘積的表達(dá)式由同頻率正弦量與不同頻率正弦量乘積組成，考慮到三角函數(shù)在上的正交性，可推得：

（6-2-3）

式中，為k次諧波電壓與電流相位差。由式可知，非正弦信號的平均功率等于各諧波信號平均功率之和。