一階電路的零輸入響應(yīng)

僅含一個(gè)獨(dú)立儲(chǔ)能元件的電路稱為一階電路。當(dāng)電路中沒有激勵(lì)，僅由儲(chǔ)能元件的初始儲(chǔ)能引起的響應(yīng)，稱為零輸入響應(yīng)。

一、RC電路的零輸入響應(yīng)

如圖8-4-1所示電路，開關(guān)S原在位置1，電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，電壓源電壓為，則。在時(shí)刻，S由1切換至2，下面推求零輸入響應(yīng)、。

圖8-4-1

當(dāng)，S切換至2后，由得：

（式8-4-1）

將代入上式得：

（式8-4-2）

（式8-4-2）是一個(gè)一階線性常系數(shù)齊次微分方程，其特征方程為：

特征根為：

齊次方程的通解為：

（式8-4-3）

（式8-4-3）中的積分常數(shù)A由初始條件確定。由換路定則得：，代入（式8-4-3），則有：

于是：

（式8-4-4）， （式8-4-5）

（式8-4-5）中的負(fù)號(hào)表示實(shí)際的電容放電電流方向與假設(shè)的參考方向相反。還可以這樣求，即：

圖8-4-2繪出了、的曲線圖，它們都按指數(shù)規(guī)律衰減。

圖8-4-2

在（式8-4-4）和（式8-4-5）中，含，具有時(shí)間的量綱，因而稱為電路的時(shí)間常數(shù)。當(dāng)C為1法拉，R為1歐姆時(shí)，為1秒。時(shí)間常數(shù)的大小反映了過渡過程進(jìn)展的快慢。越大，過渡過程維持的時(shí)間越長(zhǎng)、過渡過程進(jìn)行得越慢；越小，過渡過程維持的時(shí)間越短、過渡過程進(jìn)行得越快。

下面以電容電壓的衰減曲線為例，介紹求時(shí)間常數(shù)的圖解法。在圖8-4-3中，從衰減曲線上任一點(diǎn)P作切線，它與t軸的交點(diǎn)為，從P點(diǎn)作t軸的垂直線，與t軸的交點(diǎn)為P’，則：

通過實(shí)驗(yàn)得出或i的衰減曲線，再由圖解法求出，這在實(shí)際工作中是一種有用的方法。

圖8-4-3

時(shí)間常數(shù)的大小取決于電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與激勵(lì)無關(guān)。串聯(lián)電路的時(shí)間常數(shù)。R、C愈大，愈大。當(dāng)R一定、C愈大，則電容C上儲(chǔ)存的初始能量越大，放電時(shí)間愈長(zhǎng)；當(dāng)C一定、R愈大，則放電電流愈小，放電時(shí)間愈長(zhǎng)。

二、電路的零輸入響應(yīng)

如圖8-4-4所示電路，電壓源電壓為，開關(guān)S原置于位置1，且電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，此時(shí)電感相當(dāng)于短接，。當(dāng)時(shí)，開關(guān)S由1切換至2，求零輸入響應(yīng)、。

圖8-4-4

開關(guān)切換至2后，如圖8-4-4選定參考方向，由得到：

（式8-4-7）

（式8-4-7）是一個(gè)一階線性常系數(shù)齊次微分方程，其特征方程為：

特征根為：

（式8-4-8）

齊次方程的通解為：

（式8-4-9）

（式8-4-9）中的積分常數(shù)A由初始條件確定。

由換路定則：

（式8-4-10）

由（式8-4-9）：

于是：

， （式8-4-11）

可見換路后，電流從初值按指數(shù)規(guī)律衰減，最終衰減至零，如圖8-4-5所示。

圖8-4-5

電阻電壓：

（式8-4-12）

電感電壓：

（式8-4-13）

、相差一個(gè)負(fù)號(hào)，兩者的變化規(guī)律都與電流相同。它們隨時(shí)間變化曲線亦示于圖8-4-5中。

在（式8-4-11）至（式8-4-13）中，含，具有時(shí)間的量綱，當(dāng)R為1歐姆，L為1亨利，則為1秒，與電路中的時(shí)間常數(shù)一樣，它反映了過渡過程進(jìn)展的快慢。