一階電路的全響應(yīng)和三要素法

由外加激勵(lì)和非零初始狀態(tài)的儲(chǔ)能元件的初始儲(chǔ)能共同引起的響應(yīng)，稱(chēng)為全響應(yīng)，全響應(yīng)就是微分方程的全解，是方程的特解與其齊次方程的通解之和。

圖8-6-1

如圖8-6-1所示電路，開(kāi)關(guān)S閉合前，電容兩端已有初始電壓，在時(shí)刻，開(kāi)關(guān)S閉合，后，列寫(xiě)電路的KVL方程：

（式8-6-1）

（式8-6-1）與上一節(jié)的（式8-5-1）一樣，同理可得：

（式8-6-2）

根據(jù)換路定則：

由（式8-6-2）得：

因此：

最終得到全響應(yīng)：

（式8-6-3）

現(xiàn)對(duì)（式8-6-3）作一個(gè)變形，即：

（式8-6-4）

回顧用經(jīng)典法求解一階電路過(guò)渡過(guò)程的步驟，發(fā)現(xiàn)一階電路的全響應(yīng)總等于對(duì)應(yīng)的一階線(xiàn)性常系數(shù)微分方程的全解，記為，總有：

（式8-6-5）

式中代表方程特解，代表齊次方程的通解，而總為指數(shù)形式，則：

（式8-6-6）

取時(shí)刻的值：

，

于是得到：

（式8-6-7）

（式8-6-7）就是著名的三要素公式。它是求解一階動(dòng)態(tài)電路的簡(jiǎn)便有效的工具。在（式8-6-7）中包含了一階動(dòng)態(tài)電路的三個(gè)要素：

：是一階線(xiàn)性常系數(shù)微分方程的特解，是一階動(dòng)態(tài)電路在激勵(lì)作用下的強(qiáng)制分量。當(dāng)激勵(lì)是直流或正弦交流電源時(shí)，強(qiáng)制分量即是穩(wěn)態(tài)分量，這時(shí)候，可按直流電路、正弦交流穩(wěn)態(tài)電路的求解方法求得，；

：是響應(yīng)在換路后瞬間的初始值，按§8-3節(jié)中介紹的方法求解：

：是時(shí)間常數(shù)，一個(gè)一階電路只有一個(gè)時(shí)間常數(shù)。或，是電路儲(chǔ)能元件兩端的端口等效電阻。

例8-6-1 如圖8-6-2所示電路，，原來(lái)打開(kāi)，C上無(wú)電荷。時(shí)閉合，求；當(dāng)時(shí)，又閉合，求。

圖8-6-2例8-6-1附圖

解：由題意知：

根據(jù)換路定則：

此處激勵(lì)為直流，當(dāng)時(shí)，閉合，的穩(wěn)態(tài)值為，即有：

時(shí)間常數(shù)：

利用三要素公式（式8-6-11）得到：

（V）

當(dāng)，閉合，有：

在的換路時(shí)刻，仍滿(mǎn)足換路定則：

在的換路時(shí)刻，仍滿(mǎn)足換路定則：

的穩(wěn)態(tài)值仍為，則：

時(shí)間常數(shù)：

又因?yàn)閾Q路在進(jìn)行，延遲了，故而根據(jù)三要素公式得到：

（V），

例8-6-2 在圖8-6-3所示電路中，，電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)。時(shí)，開(kāi)關(guān)S閉合，求開(kāi)關(guān)S中的過(guò)渡電流？

圖8-6-3例8-6-2附圖

解： ，電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，可利用相量計(jì)算。由KVL得：

時(shí)刻：

根據(jù)換路定則：

，且：

畫(huà)出時(shí)刻的等效電路（圖略），即可求得：

當(dāng)后，即是穩(wěn)態(tài)開(kāi)關(guān)電流，此時(shí)串聯(lián)支路被S短接，電容C兩端的電荷已放電完畢，故：

時(shí)間常數(shù)：

（s）

根據(jù)三要素公式：