拉普拉斯變換的基本定理

本節(jié)介紹拉普拉斯變換（也稱(chēng)為拉氏變換）的基本性質(zhì)，了解掌握了這些性質(zhì)，可以更加方便地求解各種拉普拉斯正反變換。

一、線(xiàn)性定理

設(shè) 則：

（式9-2-1）

式中為常系數(shù)。

例9-2-1 求、和的拉氏變換。

解：

同理：

二、微分定理

設(shè) ，則：

（式9-2-1）

同理可推廣得到的高階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換式：

例9-2-2：

已知，求。

解：由于，由（式9-2-2）得：

同理：

三、積分定理

設(shè)，則：

（式9-2-3）

例9-2-3 求。

解：斜坡函數(shù)是單位階躍函數(shù)的積分，由（式9-2-3）得：

四、時(shí)域位移（延時(shí)）定理

設(shè)，則：

（式9-2-4）

例9-2-4：求圖9-2-1所示函數(shù)的拉普拉斯變換式。

解：由圖可知：

五、復(fù)頻域位移定理

設(shè)，則：

（式9-2-5）

例9-2-5：已知

求：和的拉普拉斯反變換。

解：利用復(fù)頻域位移定理：

六、卷積定理：

設(shè)，則：

（式9-2-6）

例9-2-6．求的拉普拉斯反變換式。

解：已知，利用卷積定理得：

同理可推得：

七、初值定理

設(shè)，則

例9-2-7．設(shè)，驗(yàn)證初值定理。

解：

又：

，所以，得證！

八、終值定理：

設(shè)，則

例9-2-8．仍設(shè)，驗(yàn)證終值定理。

解：

，又

所以，得證!

注意：利用終值定理求的前提條件是必須存在，且是唯一確定的值。