lyapunov指數(shù)解析

混沌系統(tǒng)的基本特點(diǎn)就是系統(tǒng)對(duì)初始值的極端敏感性，兩個(gè)相差無(wú)幾的初值所產(chǎn)生的軌跡，隨著時(shí)間的推移按指數(shù)方式分離，lyapunov指數(shù)就是定量的描述這一現(xiàn)象的量。

　　Lyapunov指數(shù)是衡量系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的一個(gè)重要定量指標(biāo),它表征了系統(tǒng)在相空間中相鄰軌道間收斂或發(fā)散的平均指數(shù)率。對(duì)于系統(tǒng)是否存在動(dòng)力學(xué)混沌, 可以從最大Lyapunov指數(shù)是否大于零非常直觀的判斷出來(lái): 一個(gè)正的Lyapunov指數(shù),意味著在系統(tǒng)相空間中,無(wú)論初始兩條軌線的間距多么小,其差別都會(huì)隨著時(shí)間的演化而成指數(shù)率的增加以致達(dá)到無(wú)法預(yù)測(cè),這就是混沌現(xiàn)象。

　　Lyapunov指數(shù)的和表征了橢球體積的增長(zhǎng)率或減小率,對(duì)Hamilton 系統(tǒng),Lyapunov指數(shù)的和為零; 對(duì)耗散系統(tǒng),Lyapunov指數(shù)的和為負(fù)。如果耗散系統(tǒng)的吸引子是一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),那么所有的Lyapunov指數(shù)通常是負(fù)的。如果是一個(gè)簡(jiǎn)單的m維流形(m = 1或m = 2分別為一個(gè)曲線或一個(gè)面) ,那么,前m 個(gè)Lyapunov指數(shù)是零,其余的Lyapunov指數(shù)為負(fù)。不管系統(tǒng)是不是耗散的,只要λ1 > 0就會(huì)出現(xiàn)混沌。

　　微分動(dòng)力系統(tǒng)L yapunov指數(shù)的性質(zhì)

　　對(duì)于一維(單變量) 情形,吸引子只可能是不動(dòng)點(diǎn)(穩(wěn)定定態(tài)) 。此時(shí)λ是負(fù)的。對(duì)于二維情形, 吸引子或者是不動(dòng)點(diǎn)或者是極限環(huán)。對(duì)于不動(dòng)點(diǎn),任意方向的δxi , 都要收縮, 故這時(shí)兩個(gè)Lyapunov指數(shù)都應(yīng)該是負(fù)的, 即對(duì)于不動(dòng)點(diǎn), (λ1 ,λ2 ) = ( - , - ) 。至于極限環(huán),如果取δxi 始終是垂直于環(huán)線的方向,它一定要收縮,此時(shí)λ 0;當(dāng)取δxi沿軌道切線方向,它既不增大也不縮小,可以想像,這時(shí)λ = 0。事實(shí)上,所有不終止于定點(diǎn)而又有界的軌道(或吸引子) 都至少有一個(gè)Lyapunov指數(shù)等于零,它表示沿軌線的切線方向既無(wú)擴(kuò)展又無(wú)收縮的趨勢(shì)。所以極限環(huán)的Lyapunov指數(shù)是(λ1 ,λ2 ) = (0, - ) 。

　　在三維情形下有

　　(λ1 ,λ2 ,λ3 ) = ( - , - , - ) :穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn);

　　(λ1 ,λ2 ,λ3 ) = (0, - , - ) :極限環(huán);

　　(λ1 ,λ2 ,λ3 ) = (0, 0, - ) :二維環(huán)面;

　　(λ1 ,λ2 ,λ3 ) = ( +, +, 0) :不穩(wěn)極限環(huán);

　　(λ1 ,λ2 ,λ3 ) = ( +, 0, 0) :不穩(wěn)二維環(huán)面;

　　(λ1 ,λ2 ,λ3 ) = ( +, 0, - ) :奇怪吸引子。

　　李雅譜諾夫指數(shù)小于零，則意味著相鄰點(diǎn)最終要靠攏合并成一點(diǎn)，這對(duì)應(yīng)于穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)和周期運(yùn)動(dòng);若指數(shù)大于零，則意味著相鄰點(diǎn)最終要分離，這對(duì)應(yīng)于軌道的局部不穩(wěn)定，如果軌道還有整體的穩(wěn)定因素（如整體有界、耗散、存在捕捉區(qū)域等），則在此作用下反復(fù)折疊并形成混沌吸引子。指數(shù)越大，說(shuō)明混沌特性越明顯，混沌程度越高