開關電源的小信號模型和環(huán)路原理及設計

摘要：建立了Buck電路在連續(xù)電流模式下的小信號數(shù)學模型，并根據(jù)穩(wěn)定性原則分析了電壓模式和電流模式控制下的環(huán)路設計問題。

本文以此為基礎進行分析。采用其他拓撲的開關電源分析方法類似。
設計一個具有良好動態(tài)和靜態(tài)性能的開關電源時，控制環(huán)路的設計是很重要的一個部分。而環(huán)路的設計與主電路的拓撲和參數(shù)有極大關系。為了進行穩(wěn)定性分析，有必要建立開關電源完整的小信號數(shù)學模型。在頻域模型下，波特圖提供了一種簡單方便的工程分析方法，可用來進行環(huán)路增益的計算和穩(wěn)定性分析。由于開關電源本質(zhì)上是一個非線性的控制對象，因此，用解析的辦法建模只能近似建立其在穩(wěn)態(tài)時的小信號擾動模型，而用該模型來解釋大范圍的擾動（例如啟動過程和負載劇烈變化過程）并不完全準確。好在開關電源一般工作在穩(wěn)態(tài)，實踐表明，依據(jù)小信號擾動模型設計出的控制電路，配合軟啟動電路、限流電路、鉗位電路和其他輔助部分后，完全能使開關電源的性能滿足要求。開關電源一般采用Buck電路，工作在定頻PWM控制方式。
1 Buck電路電感電流連續(xù)時的小信號模型

圖1為典型的Buck電路，為了簡化分析，假定功率開關管S和D1為理想開關，濾波電感L為理想電感（電阻為0），電路工作在連續(xù)電流模式（CCM）下。Re為濾波電容C的等效串聯(lián)電阻，Ro為負載電阻。各狀態(tài)變量的正方向定義如圖1中所示。

S導通時，對電感列狀態(tài)方程有

L(dil/dt)=Uin－Uo （1）

S斷開，D1續(xù)流導通時，狀態(tài)方程變?yōu)?/P>

L(dil/dt)=－Uo （2）

占空比為D時，一個開關周期過程中，式（1）及式（2）分別持續(xù)了DTs和（1－D）Ts的時間（Ts為開關周期），因此，一個周期內(nèi)電感的平均狀態(tài)方程為

L(dil/dt)=D(Uin－Uo)＋(1－D)(－Uo)=DUin－Uo （3）

穩(wěn)態(tài)時，=0，則DUin=Uo。這說明穩(wěn)態(tài)時輸出電壓是一個常數(shù)，其大小與占空比D和輸入電壓Uin成正比。

由于電路各狀態(tài)變量總是圍繞穩(wěn)態(tài)值波動，因此，由式（3）得

L[d(il+il')/dt]=(D＋d)(Uin＋Uin')－(Uo＋Uo') （4）

式（4）由式（3）的穩(wěn)態(tài)值加小信號波動值形成。上標為波浪符的量為波動量，d為D的波動量。式（4）減式（3）并略去了兩個波動量的乘積項得

L(dil'/dt)=DUin'＋dUin－Uo' （5）

由圖1，又有

iL=C(duc/dt)＋Uo/R0 （6）

Uo=Uc＋ReC(duc/dt) （7）

式（6）及式（7）不論電路工作在哪種狀態(tài)均成立。由式（6）及式（7）可得

iL＋ReC(dil/dt)=1/Ro(Uo＋CRo(duo/dt)) （8）

式（8）的推導中假設ReRo。由于穩(wěn)態(tài)時dil/dt=0，dUo/dt=0，由式（8）得穩(wěn)態(tài)方程為iL=Uo/Ro。這說明穩(wěn)態(tài)時電感電流平均值全部流過負載。對式（8）中各變量附加小信號波動量得

式（9）減式（8）得

iL+ReC(dil/dt)=1/Ro(Uo＋CRo(dUo/dt)) （10）

將式（10）進行拉氏變換得

iL(s)=(Uo(s)/Ro)·[(1+sCRo)/(1+sCRe)] (11)

(s)=（11）一般認為在開關頻率的頻帶范圍內(nèi)輸入電壓是恒定的，即可假設=0并將其代入式（5），將式（5）進行拉氏變換得

sLiL'(s)=d(s)Uin－Uo'(s) （12）

由式（11），式（12）得

Uo'(s)/d(s)=Uin[(1+sCRe)/(s2LC+s(ReC+L/Ro)+1] （13）

iL'(s)/d(s)=[(1+sCRo)/s2LC+s(ReC+L/Ro)+1]·Uin/Ro （14）

式(13)，式(14)便為Buck電路在電感電流連續(xù)時的控制－輸出小信號傳遞函數(shù)。

2 電壓模式控制（VMC）

電壓模式控制方法僅采用單電壓環(huán)進行校正，比較簡單，容易實現(xiàn)，可以滿足大多數(shù)情況下的性能要求，如圖2所示。

圖2中，當電壓誤差放大器（E/A）增益較低、帶寬很窄時，Vc波形近似直流電平，并有

D=Vc/Vs （15）

d=Vc'/Vs （16）

式（16）為式（15）的小信號波動方程。整個電路的環(huán)路結構如圖3所示。圖3沒有考慮輸入電壓的變化，即假設Uin=0。圖3中，（一般為0）及分別為電壓給定與電壓輸出的小信號波動；KFB=UREF/Uo，為反饋系數(shù)；誤差e為輸出采樣值偏離穩(wěn)態(tài)點的波動值，經(jīng)電壓誤差放大器KEA放大后，得；KMOD為脈沖寬度調(diào)制器增益，KMOD=d/=1/Vs；KPWR為主電路增益，KPWR=/d=Uin；KLC為輸出濾波器傳遞函數(shù)，KLC=(1+sCRe)/[S2LC+s(ReC+L/Ro)+1]。

在已知環(huán)路其他部分的傳遞函數(shù)表達式后，即可設計電壓誤差放大器了。由于KLC提供了一個零點和兩個諧振極點，因此，一般將E/A設計成PI調(diào)節(jié)器即可，KEA=KP(1＋ωz/s)。其中ωz用于消除穩(wěn)態(tài)誤差，一般取為KLC零極點的1/10以下；KP用于使剪切頻率處的開環(huán)增益以－20dB/十倍頻穿越0dB線，相角裕量略小于90°。

VMC方法有以下缺點：

1）沒有可預測輸入電壓影響的電壓前饋機制，對瞬變的輸入電壓響應較慢，需要很高的環(huán)路增益；

2）對由L和C產(chǎn)生的二階極點（產(chǎn)生180°的相移）沒有構成補償，動態(tài)響應較慢。

VMC的缺點可用下面將要介紹的CMC方法克服。

3 平均電流模式控制（AverageCMC）

平均電流模式控制含有電壓外環(huán)和電流內(nèi)環(huán)兩個環(huán)路，如圖4所示。電壓環(huán)提供電感電流的給定，電流環(huán)采用誤差放大器對送入的電感電流給定（Vcv）和反饋信號（iLRs）之差進行比較、放大，得到的誤差放大器輸出Vc再和三角波Vs進行比較，最后即得控制占空比的開關信號。圖4中Rs為采樣電阻。對于一個設計良好的電流誤差放大器，Vc不會是一個直流量，當開關導通時，電感電流上升，會導致Vc下降；開關關斷，電感電流下降時，會導致Vc上升。電流環(huán)的設計原則是，不能使Vc上升斜率超過三角波的上升斜率，兩者斜率相等時就是最優(yōu)。原因是：如果Vc上升斜率超過三角波的上升斜率，會導致Vc峰值超過Vs的峰值，在下個周波時Vc和Vs就可能不會相交，造成次諧波振蕩。

采用斜坡匹配的方法進行最優(yōu)設計后，PWM控制器的增益會隨占空比D的變化而變，如圖5所示。

當D很大時，較小的Vc會引起D較大的改變，而D較小時，即使Vc變化很大，D的改變也不大，即增益下降。所以有

d=DV'/Vs （17）

不妨設電壓環(huán)帶寬遠低于電流環(huán)，則在分析電流環(huán)時Vcv為常數(shù)。當Vc的上升斜率等于三角波斜率時，在開關頻率fs處,電流誤差放大器的增益GCA為

GCA[d(iLRs)/dt]=GCA(Vo/L)Rs=Vsfs （18）

GCA=Vc'/(iL'Rs)=VsfsL/(UoRs) （19）

高頻下，將式（14）分子中的“1”和分母中的低階項忽略，并化簡，得

iL'(s)=[d(s)Uin]/sL （20）

由式（17）及式（20）有

(iL'Rs)/Vc'=[Rsd(s)Uin/(sL)]/[d(s)Vs/D]=(RsUinD)/(sLVs) （21）

將式（19）與式（21）相乘，得整個電流環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

(RsUinD/sLVs)·(VsfsL)/(UoRs)=fs/s （22）

圖7

將s=2πfc代入上式，并令上式等于1時，可得環(huán)路的剪切頻率fc=fs/(2π)。因此，可將電流環(huán)等效為延時時間常數(shù)為一個開關周期的純慣性環(huán)節(jié)，如圖6所示。顯然，當電流誤差放大器的增益GCA小于最優(yōu)值時，電流響應的延時將會更長。

GCA中一般要在fs處或更高頻處形成一個高頻極點，以使fs以后的電流環(huán)開環(huán)增益以－40dB/dec的斜率下降，這樣雖然使相角裕量稍變小，但可以消除電流反饋波形上的高頻毛刺的影響，提高電流環(huán)的抗干擾能力。低頻下一般要加一個零點，使電流環(huán)開環(huán)增益變大，減小穩(wěn)態(tài)誤差。

整個環(huán)路的結構如圖7所示。其中KEA，KFB定義如前?？梢娤鄬MC而言（參見圖3），平均CMC消除了原來由濾波電感引起的極點（新增極點fs很大，對電壓環(huán)影響很小），將環(huán)路校正成了一階系統(tǒng),電壓環(huán)增益可以保持恒定，不隨輸入電壓Vin而變，外環(huán)設計變得更加容易。

4 峰值電流模式控制（PeakCMC）

平均CMC由于要采樣濾波電感的電流，有時顯得不太方便，因此，實踐中經(jīng)常采用一種變通的電流模式控制方法，即峰值CMC，如圖8所示。電壓外環(huán)輸出控制量（Vc）和由電感電流上升沿形成的斜坡波形(Vs)通過電壓比較器進行比較后，直接得到開關管的關斷信號（開通信號由時鐘自動給出），因此，電壓環(huán)的輸出控制量是電感電流的峰值給定量，由電感電流峰值控制占空比。

峰值CMC控制的是電感電流的峰值，而不是電感電流（經(jīng)濾波后即負載電流），而峰值電流和平均電流之間存在誤差，因此，峰值CMC性能不如平均CMC。一般滿載時電感電流在導通期間的電流增量設計為額定電流的10％左右，因此，最好情況下峰值電感電流和平均值之間的誤差也有5％，負載越輕誤差越大，特別是進入不連續(xù)電流（DCM）工作區(qū)后誤差將超過100％，系統(tǒng)有時可能會出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象。在剪切頻率fc以下，由圖6可知平均CMC的電流環(huán)開環(huán)增益可升到很高（可以>1000），電流可完全得到控制，但峰值CMC的電流環(huán)開環(huán)增益只能保持在10以內(nèi)不變（峰值電流和平均值之間的誤差引起），因此，峰值CMC更適用于滿載場合。

峰值CMC的缺點還包括對噪音敏感，需要進行斜坡補償解決次諧波振蕩等問題。但由于峰值CMC存在逐周波限流等特有的優(yōu)點，且容易通過脈沖電流互感器等簡單辦法復現(xiàn)電感電流峰值，因此，它在Buck電路中仍然得到了廣泛應用。

5 結語

采用平均狀態(tài)方程的方法可以得到Buck電路的小信號頻域模型，并可依此進行環(huán)路設計。電壓模式控制、平均電流模式控制和峰值電流模式控制方法均可用來進行環(huán)路設計，各有其優(yōu)缺點，適用的范圍也不盡相同。