從信號(hào)分析的運(yùn)用中回眸傅里葉算法

傅立葉變換是數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域一種很重要的算法。但是該算法到底有何意義呢？

要知道傅立葉變換算法的意義，首先要了解傅立葉原理的意義。傅立葉原理表明：任何連續(xù)測(cè)量的時(shí)序或信號(hào)，都可以表示為不同頻率的正弦波信號(hào)的無(wú)限疊加。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測(cè)量到的原始信號(hào)，以累加方式來(lái)計(jì)算該信號(hào)中不同正弦波信號(hào)的頻率、振幅和相位。

和傅立葉變換算法對(duì)應(yīng)的是反傅立葉變換算法。該反變換從本質(zhì)上說(shuō)也是一種累加處理，這樣就可以將單獨(dú)改變的正弦波信號(hào)轉(zhuǎn)換成一個(gè)信號(hào)。

因此，可以說(shuō)，傅立葉變換將原來(lái)難以處理的時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號(hào)（信號(hào)的頻譜），可以利用一些工具對(duì)這些頻域信號(hào)進(jìn)行處理、加工。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號(hào)轉(zhuǎn)換成時(shí)域信號(hào)。

從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眼光來(lái)看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性組合或者積分。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。

傅立葉變換屬于調(diào)和分析的內(nèi)容。"分析"二字，可以解釋為深入的研究。從字面上來(lái)看，"分析"二字，實(shí)際就是"條分縷析"而已。它通過(guò)對(duì)函數(shù)的"條分縷析"來(lái)達(dá)到對(duì)復(fù)雜函數(shù)的深入理解和研究。從哲學(xué)上看，"分析主義"和"還原主義"，就是要通過(guò)對(duì)事物內(nèi)部適當(dāng)?shù)姆治鲞_(dá)到增進(jìn)對(duì)其本質(zhì)理解的目的。比如近代原子論試圖把世界上所有物質(zhì)的本源分析為原子，而原子不過(guò)數(shù)百種而已，相對(duì)物質(zhì)世界的無(wú)限豐富，這種分析和分類無(wú)疑為認(rèn)識(shí)事物的各種性質(zhì)提供了很好的手段。

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，也是這樣，盡管最初傅立葉分析是作為熱過(guò)程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征。"任意"的函數(shù)通過(guò)一定的分解，都能夠表示為正弦函數(shù)的線性組合的形式，而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)類，這一想法跟化學(xué)上的原子論想法何其相似！奇妙的是,現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)傅立葉變換具有非常好的性質(zhì),使得它如此的好用和有用,讓人不得不感嘆造物的神奇:

1. 傅立葉變換是線性算子,若賦予適當(dāng)?shù)姆稊?shù),它還是酉算子;

2. 傅立葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似;

3. 正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù),從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時(shí)不變的物理系統(tǒng)內(nèi),頻率是個(gè)不變的性質(zhì),從而系統(tǒng)對(duì)于復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)可以通過(guò)組合其對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的響應(yīng)來(lái)獲取;

4. 著名的卷積定理指出:傅立葉變換可以化復(fù)雜的卷積運(yùn)算為簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算,從而提供了計(jì)算卷積的一種簡(jiǎn)單手段;

5. 離散形式的傅立葉變換可以利用數(shù)字計(jì)算機(jī)快速的算出(其算法稱為快速傅立葉變換算法(FFT))。

正是由于上述的良好性質(zhì),傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率、統(tǒng)計(jì)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。