機器人控制系統(tǒng)運動學(xué)方程
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為了解此系統(tǒng)的反向運動方程，必須確定平臺種類以及執(zhí)行器匯聚點的位置，因為腳長就是點與點之間的距離。平臺執(zhí)行器所處位置用基點坐標(biāo)系表示如下：
上述等式的下標(biāo)表明了向量的參考坐標(biāo)系。這里，點的位置實際上是齊次坐標(biāo)，以(x, y, z, w) 或者 (x/w, y/w, z/w)的形式表述，為了簡化討論，這里的w我們可以令其等于1。R是變換矩陣，可以將平臺點（Ppi）也就是平臺系數(shù)轉(zhuǎn)換成(Bpi)，也就是基座系數(shù)。R是3×4的矩陣，包括3×3的旋轉(zhuǎn)矩陣和3×1的平移矩陣。
在R等式中，“s”代表正弦函數(shù)；“c”代表余弦函數(shù)。上述等式中的旋轉(zhuǎn)矩陣是單位矩陣，用來變換roll、pitch和yaw三個向量的方向。平移矩陣就是一個簡單的向量。由于（Bbi）的值是已知的，所以一旦知道了(Bpi)的值，就可以通過計算兩點的距離得到腳的長度。
上面的等式實際上很簡單，但是由于引入了矩陣?yán)碚?，所以有很多項。下面是最終的反向運動方程（對于腳“i”）。
此系統(tǒng)的前向運動學(xué)方程相對復(fù)雜一些，由于處理上的要求，前向方程也不容易解。這里，比直接解方程更好的方法是使用迭代法，初始估計值代入方程、更新，然后重復(fù)，直到估計值的誤差小于某一限定值。具體的計算方法在此就不再贅述，此方法對于以下的過程都可以通用。此方法是前文提及的牛頓迭代法的推廣。關(guān)于此方法有很多相關(guān)文章，本文在此著重討論前向運動方程的應(yīng)用。第一步是估計初始姿態(tài)K，或者換種說法，估計(α , , γ, x, y, z)的值。對于一個運動控制器，初始估計值通常是(α , , γ, x, y, z)的受控位置。從此估計值，反推運動學(xué)方程，可以計算出執(zhí)行器的長度，稱之為 (g1, g2, g3, g4, g5, g6) ，或者以向量的形式寫成g.，數(shù)學(xué)表達式如下：g = I(k)。
然后，基于估計值算出的長度與來自反饋設(shè)備的實際長度I相比較，得到“估值誤差”e，可以寫成e = g – l。
如果估值誤差小于某一個限定值，那么此過程就此結(jié)束。如果估值誤差不小于這個限定值，那么，就需要一個更好的估計值。這個過程一直重復(fù)，直到估計值足夠完美（此時，這個估計值就被作為方程的解?。榱死斫馊绾螐臄?shù)學(xué)上確定一個“更好的估計值”，首先考慮下面這個簡單的微積分學(xué)例子。假設(shè)我們有一個通用函數(shù)y = f(x)，f是非線性的。如果我們要計算由x的變化所導(dǎo)致的y的變化，下面的等式有效：
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