基于TMS32OLF24O7的FFT算法的實(shí)現(xiàn)及應(yīng)用

傅立葉變換是一種將信號(hào)從時(shí)域轉(zhuǎn)變?yōu)轭l域表示的變換形式，它是數(shù)字信號(hào)處理中對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析時(shí)經(jīng)常采用的一種方法。信號(hào)的一些特性在時(shí)域總是表現(xiàn)得不明顯，通過傅里葉算法，將其變換到頻域，其特性就一目了然。例如，來(lái)自供電系統(tǒng)的干擾在時(shí)域上總是不易識(shí)別，但是在頻域上就可以很清晰地看到50～60 Hz的離散諧波。

　　在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中，實(shí)際上是以離散傅立葉變換(DFT)的方式處理數(shù)據(jù)。由于DFT的運(yùn)算量比較大，并不適用于嵌入式控制系統(tǒng)，所以實(shí)際應(yīng)用中常使用DFT 的快速算法一快速傅立葉變換(FFT)。雖然FFT 比DFT的計(jì)算量減少了很多，但用普通單片機(jī)來(lái)實(shí)現(xiàn)FFT多點(diǎn)、實(shí)時(shí)運(yùn)算還是比較困難的。DSP(數(shù)字信號(hào)處理器)具有運(yùn)算速度快和精度高的特點(diǎn)，恰好滿足FFT的要求，能較好地解決這個(gè)問題。

　　1 快速傅里葉變換的原理

　　非周期性連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)的傅里葉變換可以表示為

　　式中計(jì)算出來(lái)的是信號(hào)x(t)的連續(xù)頻譜。但是，在實(shí)際的控制系統(tǒng)中能夠得到的是連續(xù)信號(hào)x(t)的離散采樣值x(nT)。因此需要利用離散信號(hào)x(nT)來(lái)計(jì)算信號(hào)x(t)的頻譜。

　　有限長(zhǎng)離散信號(hào)x(n)，n=0，1，…，N-1的DFT定義為：

　　可以看出，DFT需要計(jì)算大約N2次乘法和N2次加法。當(dāng)N較大時(shí)，這個(gè)計(jì)算量是很大的。利用WN的對(duì)稱性和周期性，將N點(diǎn)DFT分解為兩個(gè)N／2點(diǎn)的 DFT，這樣兩個(gè)N／2點(diǎn)DFT總的計(jì)算量只是原來(lái)的一半，即(N／2)2+(N／2)2=N2／2，這樣可以繼續(xù)分解下去，將N／2再分解為N／4點(diǎn) DFT等。對(duì)于N=2m 點(diǎn)的DFT都可以分解為2點(diǎn)的DFT，這樣其計(jì)算量可以減少為(N／2)log2N次乘法和Nlog2N次加法。圖1為FFT與DFT-所需運(yùn)算量與計(jì)算點(diǎn)數(shù)的關(guān)系曲線。由圖可以明顯看出FFT算法的優(yōu)越性。

　　將x(n)分解為偶數(shù)與奇數(shù)的兩個(gè)序列之和，即

　　x1(n)和x2(n)的長(zhǎng)度都是N／2，x1(n)是偶數(shù)序列，x2(n)是奇數(shù)序列，則

　　其中X1(k)和X2(k)分別為x1(n)和x2(n)的N／2點(diǎn)DFT。由于X1(k)和X2(k)均以N／2為周期，且WN k+N/2=-WN k，所以X(k)又可表示為：

　　上式的運(yùn)算可以用圖2表示，根據(jù)其形狀稱之為蝶形運(yùn)算。依此類推，經(jīng)過m-1次分解，最后將N點(diǎn)DFT分解為N／2個(gè)兩點(diǎn)DFT。圖3為8點(diǎn)FFT的分解流程。

　　FFT算法的原理是通過許多小的更加容易進(jìn)行的變換去實(shí)現(xiàn)大規(guī)模的變換，降低了運(yùn)算要求，提高了與運(yùn)算速度。FFT不是DFT的近似運(yùn)算，它們完全是等效的。