數(shù)學(xué)在自動(dòng)控制中的應(yīng)用

1 引言
隨著工業(yè)自動(dòng)化技術(shù)的發(fā)展，PLC／DCS系統(tǒng)在工業(yè)控制的自動(dòng)化、生產(chǎn)設(shè)備運(yùn)行的安全可靠性、生產(chǎn)工況監(jiān)控的實(shí)時(shí)性、生產(chǎn)信息獲取的自動(dòng)化及準(zhǔn)確性、改變操作人員的工作環(huán)境及減少他們的勞動(dòng)強(qiáng)度、對(duì)故障的及時(shí)發(fā)現(xiàn)和排除等方面，起到越來越重要的作用。在自動(dòng)化技術(shù)教學(xué)，尤其是PLS／DCS控制系統(tǒng)的教學(xué)中，學(xué)生對(duì)一些程序、算法較難理解，基于此，這里介紹數(shù)學(xué)在自動(dòng)控制中的應(yīng)用。

2 PLC對(duì)模擬量的處理
用PLC控制模擬量，實(shí)際是將連續(xù)的模擬量轉(zhuǎn)換成對(duì)應(yīng)的數(shù)字量來控制操作。以伺服電機(jī)控制閥門的正反轉(zhuǎn)為例說明。在現(xiàn)場(chǎng)工作環(huán)境較惡劣時(shí)，使用伺服放大器實(shí)現(xiàn)閥門自動(dòng)控制會(huì)導(dǎo)致設(shè)備故障率高，因此在實(shí)際控制過程中，使用PLC程序模擬閥門控制中的放大和比較功能，再通過開關(guān)量輸出模塊，實(shí)現(xiàn)對(duì)閥門的無伺服驅(qū)動(dòng)控制。當(dāng)PLC用數(shù)字量給定值與反饋值相比較來控制電機(jī)動(dòng)作時(shí)(另外還有執(zhí)行機(jī)構(gòu)的慣性等)，會(huì)使執(zhí)行電動(dòng)機(jī)不斷的動(dòng)作(正向或反向運(yùn)轉(zhuǎn))，造成設(shè)備故障率高，壽命減少。而實(shí)際上，由于系統(tǒng)誤差、人為因素，同時(shí)考慮到反饋滯后及控制對(duì)象等因素的影響，在控制中不必也不可能對(duì)小量的變化過于重視。
PLC對(duì)“小量”的處理，使用一個(gè)叫“死區(qū)(Deadband)”的變量，在高級(jí)語言中，也叫做“檻值”，是指控制參數(shù)的變化量未超過此值時(shí)，設(shè)備無動(dòng)作變化。其目的是使設(shè)備的動(dòng)作不因控制參數(shù)的小量變化而改變，從而在滿足控制要求的情況下，減少設(shè)備的頻繁動(dòng)作，從而減少設(shè)備的故障率，提高設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)率和使用壽命。

3 模型建立
3．1 模擬量的離散化
PLC／DCS控制系統(tǒng)使用的是數(shù)字量，而從現(xiàn)場(chǎng)采集的控制信息卻是以模擬信號(hào)傳輸?shù)?，因此，需要進(jìn)行D／A和A／D轉(zhuǎn)換。D／A轉(zhuǎn)換實(shí)際是將原本線性對(duì)應(yīng)的連續(xù)函數(shù)轉(zhuǎn)換成階梯函數(shù)，A／D轉(zhuǎn)換則是把數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換成模擬量信號(hào)。

設(shè)可控參數(shù)變量為X(浮點(diǎn)數(shù))，其取值范圍是[Xmin，Xmax]，具體到閥門，范圍為[0．0，100．0]；對(duì)應(yīng)的PLC控制變量為Y型(整型變量)，其范圍是[Ymin，Ymax]，以施耐德的Quantum04310 PLC為例，范圍為[0，4 095]；設(shè)閥門死區(qū)的大小為Xdb，對(duì)應(yīng)變量Y的死區(qū)為Ydb，兩者之間的關(guān)系為：

則PLC的輸出變量Yout與控制參數(shù)的實(shí)際值(閥門開度X)之間形成如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：

它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖1所示。

如當(dāng)Xdb=2．0時(shí)，取Ydb=80；當(dāng)閥門開度X在52～53．9之間變化時(shí)，Yout=2 080。此模型也適用于所有模擬量的PLC控制，及郵資、話費(fèi)等的控制。

3．2 控制過程
無論是開環(huán)控制還是閉環(huán)控制，甚至是PID自動(dòng)控制，都會(huì)用到比較。通過比較反饋值與實(shí)際給定值，用差的正負(fù)來控制設(shè)備的正轉(zhuǎn)或反轉(zhuǎn)接觸器的吸合。此控制相當(dāng)于一個(gè)符號(hào)函數(shù)，即：

式中，X為實(shí)際給定值與反饋值的差，Y為輸出結(jié)果。
圖2給出了X與Y兩者之間的關(guān)系。當(dāng)Y=1時(shí)(即差為正，給定值大于反饋值，閥門開度要加大)，正向接觸器吸合，執(zhí)行開閥門動(dòng)作；當(dāng)Y=-1時(shí)(即差為負(fù)，給定值小于反饋值，閥門開度要減小)，反向接觸器吸合，執(zhí)行關(guān)閥門動(dòng)作；當(dāng)Y=0時(shí)(即差為0，給定值等于反饋值)，不動(dòng)作。

所有使用時(shí)間(計(jì)時(shí)器)、速度等光滑控制的系統(tǒng)都使用類似的算法。

4 PLC控制實(shí)現(xiàn)
4．1 數(shù)據(jù)初始化過程
圖3為數(shù)據(jù)初始化過程(即階梯化的過程)的984梯形圖邏輯(即984LL)。上部分為閥門給定數(shù)據(jù)的初始化過程，保持寄存器401390存放給定值的數(shù)字量，計(jì)算結(jié)果；下部分為閥門反饋數(shù)據(jù)的初始化，輸入寄存器300055存放反饋信號(hào)的數(shù)字量值。分別計(jì)算給定和反饋的階梯值，并保存在 400634～400635和400639～400640中。200為死區(qū)值。

根據(jù)減法功能塊的工作原理，當(dāng)中節(jié)點(diǎn)(給定值400635)小于上節(jié)點(diǎn)(反饋值400640)時(shí)，減法塊上輸出得電，驅(qū)動(dòng)開閥門接觸器吸合，如果在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)，執(zhí)行器還未動(dòng)作，則報(bào)警；同理，當(dāng)中節(jié)點(diǎn)(給定值400635)大于上節(jié)點(diǎn)(反饋值400640)時(shí)，減法塊上輸出得電，驅(qū)動(dòng)關(guān)閥門接觸器吸合，如果在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)，執(zhí)行器還未動(dòng)作，則報(bào)警；當(dāng)給定值400635等于反饋值400640時(shí)，減法塊中輸出得電，執(zhí)行器無動(dòng)作。這就是整個(gè)執(zhí)行器控制的 PLC實(shí)現(xiàn)過程。
4．3 計(jì)時(shí)器和死區(qū)的設(shè)置
在整個(gè)控制過程中，死區(qū)大小的確定很關(guān)鍵。死區(qū)應(yīng)是從生產(chǎn)實(shí)踐中得出的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，它不能太小，太小就失去了其使用意義；太大則失去了控制本身的意義。一般將其設(shè)置在量程的1．5％～3％之間。最好不要超過5％。
另一個(gè)重要數(shù)據(jù)是計(jì)時(shí)器的值。在該例中，計(jì)時(shí)器的值反映閥門從關(guān)閉到完全打開或從完全打開到關(guān)閉整個(gè)過程所需的時(shí)間(即時(shí)限)。實(shí)際應(yīng)用中，計(jì)時(shí)器的值應(yīng)略大于該時(shí)限值。此時(shí)間值還與閥門的機(jī)械性能等有關(guān)，如果抱閘過緊，動(dòng)作執(zhí)行的時(shí)間就會(huì)長(zhǎng)些，尤其是故障發(fā)生時(shí)。不利于及時(shí)調(diào)節(jié)；抱閘過松，動(dòng)作執(zhí)行的時(shí)間會(huì)短些，則容易形成振蕩，不利于控制。所以該數(shù)據(jù)也是經(jīng)驗(yàn)和實(shí)踐相結(jié)合產(chǎn)生的。
4．4 應(yīng)用拓展
速度(轉(zhuǎn)速)、頻率、喂料量等控制參數(shù)的給定與反饋，甚至溫度、壓力等參數(shù)的顯示，都需要設(shè)置死區(qū)，這樣，即使工作站屏幕的刷新頻率再高，也不至于因數(shù)據(jù)變化太快而影響操作員對(duì)顯示數(shù)據(jù)的記錄和分析。目前的PLC／DCS控制軟件中都包含此功能。合理地設(shè)置并靈活地使用死區(qū)，將會(huì)使模擬量的控制更加得心應(yīng)手。

5 結(jié)束語
這里的實(shí)例程序是某制造企業(yè)PLC系統(tǒng)改造時(shí)使用的梯形圖邏輯程序。該系統(tǒng)經(jīng)實(shí)際應(yīng)用證明具有投資少、硬回路改造少，用圖形操作站取代手操器，操作簡(jiǎn)便、用戶界面友好、控制性能高等優(yōu)點(diǎn)，已得到廣泛的應(yīng)用，具有較高的實(shí)用價(jià)值。將數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于控制方法教學(xué)中，可增強(qiáng)學(xué)生對(duì)控制實(shí)現(xiàn)過程的理解。