有源濾波器中的相位關(guān)系
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二階濾波器段
二階濾波器有各式各樣的電路結(jié)構(gòu)。這里要討論的是Sallen－Key、多路反饋、狀態(tài)變量結(jié)構(gòu)，及其類似的雙二階濾波結(jié)構(gòu)。它們是最常見的結(jié)構(gòu)，而且與本文的內(nèi)容相關(guān)。關(guān)于各種不同結(jié)構(gòu)的更為完整的信息可參見文后的參考文獻。
Sallen－Key低通濾波器
廣 泛使用的Sallen-Key結(jié)構(gòu)也被稱為電壓控制電壓源（VCVS）型，是MIT的林肯實驗室（參見文獻3）的R.P. Sallen和 E.L. Key于1955年提出的結(jié)構(gòu)。圖10示出了一個Sallen－Key二階低通濾波器的電路原理圖。這一結(jié)構(gòu)受到廣泛歡迎的一個原因是它的性能基本與運放的性能無關(guān)，因為放大器主要作為一個緩沖器來使用。由于在基本的Sallen－Key電路中，連接成跟隨器的運放并不用于產(chǎn)生電壓增益，故對它的增益－帶寬要求并不重要。這意味著，對于給定的運放帶寬而言，與運放的動態(tài)特性受到可變反饋環(huán)路特性影響的那些電路結(jié)構(gòu)相比，利用這一固定的（單位）增益可以設(shè)計出頻率更高的濾波器。通過濾波器后，信號的相位保持不變（同相結(jié)構(gòu)）。圖4示出一個Q＝0.707（或者，阻尼比α＝1/Q=1.414—— Butterworth響應(yīng)特性）的Sallen－Key低通濾波器的相移－頻率關(guān)系圖。為了簡化比較，這將作為下面所考慮的二階濾波器段的性能標準。
圖10. 2極點、Sallen-Key低通濾波器
Sallen-Key高通濾波器
通過互換決定頻率網(wǎng)絡(luò)上的電容和電阻的位置，可將Sallan-Key低通電路變換為高通結(jié)構(gòu)，正如圖11所示的那樣，而且同樣采用單位增益的緩沖器。其相移－頻率關(guān)系示于圖5中（左軸）。這是同相、二階、高通響應(yīng)。
圖11. 2極點、Sallen-Key高通濾波器
Sallen－Key濾波器的放大器增益可以通過在運放反相輸入上連接一個電阻衰減器組成的反饋網(wǎng)絡(luò)來提高。不過，改變增益將影響到?jīng)Q定頻率網(wǎng)絡(luò)的表達式，而且需要重新計算元件的值。該放大器的動態(tài)特性也需要更嚴格的考察，因為它們在環(huán)路中引入了增益。
多路反饋（Multiple-Feedback，MFB）低通濾波器
多路反饋濾波器是一種單放大器電路結(jié)構(gòu)，反饋環(huán)路是基于運放的積分器（反相配置），如圖12所示。因此，運放參數(shù)對傳遞函數(shù)之間的影響要大于 Sallen－Key的實現(xiàn)方案。要產(chǎn)生一個高Q、高頻電路是很困難的，因為運放在高頻段的開環(huán)增益有限。一條指導(dǎo)方針是，運放的開環(huán)增益應(yīng)該至少比諧振（或者截止）頻率處的幅值響應(yīng)高出20dB（即10倍于之），包括濾波器的Q值造成的峰值。由于Q值而造成的尖峰將具有如下的幅值
(5)
式中：H是電路的增益。
圖12. 2極點、多路反饋（MFB）、低通濾波器
該多路反饋濾波器會使信號反相。這等價于讓濾波器自身的相移增加了180°。圖4示出了相位－頻率變化關(guān)系（右軸）。這將被稱為反相、二階、低通響應(yīng)。值得注意的是，在得到給定響應(yīng)特性的條件下，多路反饋結(jié)構(gòu)中的最大和最小元件值之間的差異要大于Sallen－Key實現(xiàn)方案中的。
多路反饋（MFB）、高通濾波器
上面關(guān)于多路反饋、低通濾波器的評述也適用于高通的情形。圖13示出一個多路反饋、高通濾波器的原理圖，其理想的相移-濾波特性則示于圖5中（右軸）。這被稱為反相、二階、高通響應(yīng)特性。
圖13. 2極點、多路反饋（MFB）高通濾波器
要保證這種濾波器的具體電路實現(xiàn)在高頻情況下的穩(wěn)定性是十分困難的，因為它是在一個微分器的基礎(chǔ)上構(gòu)建的，與所有的微分器電路所類似的是，它在更高的頻率上閉環(huán)增益更大，因此會對噪聲產(chǎn)生放大作用。
狀態(tài)變量型濾波器
圖14示出了一種狀態(tài)變量實現(xiàn)方案。該結(jié)構(gòu)是最靈活和最精確的實現(xiàn)方案，付出的代價是電路元件的數(shù)量大大增加，其中包括了3個運放。所有3個主要的參數(shù)（增益、Q和ω0）都可以獨立調(diào)節(jié)，而且可以同時提供低通、高通和帶通輸出。該濾波器的增益也是獨立的變量。
由于狀態(tài)變量濾波器的所有參數(shù)都可以獨立調(diào)節(jié)，故其元件值的散布變得很小。而且由于溫度和元件公差所帶來的失配也可以最小化。與上面的多路反饋電路類似的是，積分器部分所使用的運放的增益帶寬積也成為電路的限制條件。
圖14. 2極點、狀態(tài)變量濾波器
其中低通濾波段的相移－頻率特性屬于一個反相的二階型響應(yīng)（參見圖4，右軸），高通段電路將具有反相高通響應(yīng)（參見圖5，右軸）。
雙二階（biquad）
狀 態(tài)變量濾波器的一個近親是雙二階型（參見圖15）。該電路的名稱最早是由J. Tow于1968年使用的（見參考文獻6），后來由L.C. Thomas 于1971年使用（見文獻5），其工作是基于如下的事實：傳遞函數(shù)是兩個二階項之比。該電路與狀態(tài)變量電路之間存在輕微的區(qū)別。在這一結(jié)構(gòu)中，不能提供單獨的高通輸出。不過它具有兩路低通輸出，其中一路是同相的（LOWPASS1），另一路是反相的（LOWPASS2）。
圖15. 標準的雙二階2極點電路
由于添加了第四個放大器電路，故可以實現(xiàn)高通、陷波（低通、標準和高通）以及全通型濾波器。圖16示出一個帶有高通電路的雙二階電路的原理圖。
圖16. 2極點雙二階濾波器（帶有高通段）
其中LOWPASS1段的相移－頻率特性屬于同相、二階、低通型響應(yīng)（參見圖4的左軸）。LOWPASS2段將具有反相的二階型響應(yīng)（參見圖4，右軸）。HIGHPASS段的相移特性屬于反相特性（參見圖5，右軸）。
結(jié)論
我們已經(jīng)看到用于構(gòu)建一個濾波器的拓撲將影響其實際的相位響應(yīng)。這會是確定所用的拓撲時需要考慮的一個因素。表1對本文中討論的各種低通濾波器結(jié)構(gòu)的相移范圍進行了比較。
相移特性隨Q的變化特性
上述的2階響應(yīng)的Q值都是0.707。圖17示出了Q的變化對低通濾波器的相位響應(yīng)的影響（對高通濾波器的影響也 類似）。圖中繪出了Q = 0.1，0.5，0.707，1，2，5，10和20時的相位響應(yīng)曲線。值得注意的是，Q值較低的情況下，在遠低于截止頻率的頻率上相位就開始發(fā)生變化。
圖17. 相移隨Q值的變化特性
雖然幅值響應(yīng)隨Q值的變化并非本文的主題，但也是一個令人感興趣的問題。圖18示出了Q值在上述范圍內(nèi)變化時一個2階濾波器的幅值響應(yīng)特性。
當高Q電路應(yīng)用于多級濾波器時，高Q電路的響應(yīng)特性的尖峰現(xiàn)象也是令人感興趣的問題。雖然在理論上這些電路段以何種順序來級聯(lián)并無差異，而在實踐中，把Q值較低的電路段置于高Q電路段之前將更為有利，這是為了讓尖峰現(xiàn)象不致于超出濾波器的動態(tài)范圍。雖然該圖是針對低通段的，但高通響應(yīng)也存在類似的尖峰。
圖18. 隨著Q值的變化，2極點濾波器的幅值尖峰特性的變化
高階次濾波器
傳遞函數(shù)可以級聯(lián)起來，構(gòu)成更高階次的響應(yīng)特性。當濾波器響應(yīng)串連起來后，其在任意頻率上的dB增益（以及衰減）和相角都相加起來。正如我們在前面指出的那樣，多極點濾波器一般是利用級聯(lián)的二階電路段搭建的，對于奇次階濾波器，可以另外添加一段一階電路。兩個級聯(lián)的一階電路段并不能像單個二階濾波段那樣提供很寬的Q值變化范圍。
圖19示出一個通過傳遞函數(shù)級聯(lián)所構(gòu)成的4階濾波器。這里，我們可以看到，濾波器是由兩個二階段所構(gòu)成的。
圖19. 傳遞函數(shù)的級聯(lián)所構(gòu)成的4極點濾波器
圖 20示出了構(gòu)建一個4階濾波器的3種方式對相位響應(yīng)的影響。第一種結(jié)構(gòu)是利用兩個Sallen－Key（SK）Butterworth段搭建的。第二種是利用兩個多路反饋（MFB） Butterworth段搭建的。第三種是利用一個SK段和一個MFB段搭建的。但是，正如兩個級聯(lián)的一階電路段并不能構(gòu)成一個二階電路段一樣，2個級聯(lián)的2階Butterworth段并不能等效于一個4階Butterworth段。第一段Butterworth濾波器的f0為1，Q值為0.5412（α＝1.8477）。第二段的f0為1，Q值為1.3065（α＝0.7654）。
正如前面所提到過的那樣，SK段是同相型的，而MFB是反相型的。圖20對這3種4階電路的相移特性進行了比較。其中SK和MFB濾波器具有相同的相位響應(yīng)特性，因為兩個反相段產(chǎn)生了同相響應(yīng)（－1×－1＝＋1）。利用混合拓撲結(jié)構(gòu)（SK和MFB）構(gòu)建的濾波器的響應(yīng)特性將偏移180° （+1 × –1 = –1）。
圖20. 不同結(jié)構(gòu)的4階電路的相位響應(yīng)
請注意，正如可以預(yù)料到的那樣，總的相移特性是一個2階電路段的兩倍360° vs. 180°。高通濾波器將擁有類似的相位響應(yīng)，但偏移相差180°。
該級聯(lián)的思想可以用來搭建更高階次的濾波器，但是，在實踐中，超過8階的濾波器很難實現(xiàn)。將來的文章將對帶通、陷波（帶阻）和全通濾波器的相位關(guān)系進行考察。
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