從阻抗匹配解析射頻傳輸線技術

傳輸線設計是高頻有線網絡、射頻微波工程、雷射光纖通信等光電工程的基礎，為了能讓能量可以在通信網路中無損耗地傳輸，良好的傳輸線設計是重要關鍵。

無線通信加上視頻技術將成為未來的明星產業(yè)，要達到這個目標，負責傳送射頻微波信號的介質除空氣之外，就是高頻的傳輸線。人類目前無法控制大氣層，但是可以控制射頻微波傳輸線，只要設法使通信網路的阻抗能相互匹配，發(fā)射能量就不會損耗。本文將從阻抗匹配的角度來解析射頻微波傳輸線的設計技術。

駐波比（SWR）
兩頻率相同、振幅相近的電磁波能量流（energy flows）面對面地相撞（impinge）在一起，會產生駐波（standing wave），這種電磁波的能量粒子在空間中是處于靜止（stand）狀態(tài)（motionless）的，此暫停運動的時間長度比兩電磁波能量流動的時間要長。因為駐波的能量粒子是靜止不動的，所以，沒有能量流進駐波或從駐波流出來。上述敘述較抽象，但是這里舉個類似的例子，就可說明什么是駐波：做個物理實驗，將兩個口徑、流速都相同的水管，面對面相噴，在兩水管之間將會激起一個上下飛奔的水柱，這個水柱就是駐波。如果是在無地心引力的空間中，這個水柱將靜止在那里不會墜地。

電磁波在傳輸在線流動，入射波和反射波相遇時就會產生駐波。駐波比（standing wave rate；SWR）是駐波發(fā)生時最大電壓和最小電壓的比值（VSWR），或最大電流和最小電流的比值(公式一)：

SWR = (VO + VR)/ (VO - VR) = (IO + IR)/ (IO - IR) = 1＋｜Γ｜/ 1－｜Γ｜

WR可以被用來判定傳輸線阻抗匹配的情況：當SWR=1時，表示沒有反射波存在，電磁波能量能完全傳遞到負載上，也就是傳輸線阻抗完全匹配；當SWR=∞時，表示VO = VR或IO = IR，電磁波能量完全無法傳遞到負載上，傳輸線阻抗完全不匹配。SWR測量儀是高頻傳輸線、發(fā)射機（transmitter）、天線工程師常使用的參數，與它類似的是應用在有線電視纜線（Cable TV cable）的「返回耗損（Return Loss）」或稱作dBRL。兩者的差別有二：(1)dBRL=0表示阻抗完全不匹配，dBRL=∞表示阻抗完全匹配。(2)SWR測量儀是以發(fā)射機為信號來源，自己并沒有發(fā)射源，但dBRL測量儀是用自己的發(fā)射源來測量纜線的阻抗匹配情況。

?史密斯圖（Smith Chart）介紹：
為了達到阻抗匹配的目的，必須使用史密斯圖。此圖為P. Smith于1939年在貝爾實驗室發(fā)明的，直到現在，它的圖形仍然被廣泛地應用在分析、設計和解決傳輸線的所有問題上。它能將復數的負載阻抗（complex load impedance）映射（map）到復數反射系數（complex reflection coefficients）的Γ平面上，這種映射過程稱作「正?；╪ormalization）」。如(圖一)所示，大小不同的圓弧代表實數（rL）與虛數（xL）的大小，越往右邊阻抗越大，越往左邊阻抗越小。乍看之下，史密斯圖很類似極坐標（polar coordinate），不過，它的X-Y軸坐標分別是Γr和Γi，而且Γ= |Γ|ejθr =Γr + jΓi ，r代表實數（real number），i代表虛數（image number）。在圖一中，中心線為電阻值，中心線上方區(qū)域為感抗值，中心線下方區(qū)域為容抗值，直徑和中心線重迭的圓代表不同的實數（rL），中心線兩旁的圓弧代表不同的虛數（rL）。正?；撦d阻抗（normalized load impedance）zL = ZL/Z0= 1+Γ/1-Γ，zL= rL+jxL，其實zL就是史密斯圖上的復數，它沒有計量單位（dimensionless），是由實數rL和虛數xL構成的。負載阻抗ZL就是由小寫的zL映射到復數反射系數Γ平面上的。史密斯圖的圓心代表Γ=0，zL=1，ZL= Z0，負載阻抗匹配，如(圖三)所示。

將阻抗轉換到Γ平面后，就能得出代表傳輸線匹配或不匹配的反射系數（公式二）：

Γ=
ZL-Z0

ZL+Z0
　

圖一　史密斯Z坐標圖
　

圖二　無耗損傳輸線電路
　

在上式中，Γ就是（電壓）反射系數，它的定義是：反射波（reflected voltage wave）的電壓振幅與入射波（incident voltage wave）的電壓振幅之比值；ZL是負載阻抗（load impedance），Z0是特性阻抗（characteristic impedance）。當ZL = Z0時，達到阻抗匹配，Γ為零。如(圖二)所示，假設ZL = Z0，電壓源（Vg）產生的功率幾乎可以完全供給負載使用，而從負載反射回電壓源的功率非常小。對負載應用而言，必須設法求得特性阻抗，并使負載阻抗等于它。亦即，在圖三中的Γ必須盡量在綠色區(qū)域之中。圖三也稱為珈瑪坐標圖（Gamma-centric chart），有別于圖一的Z坐標圖（Z- centric chart）。
　

圖三　史密斯Γ坐標圖
　

理想的無耗損（lossless）傳輸線是依據下列公式來轉換負載阻抗ZL（公式三）：
Z = Z0
ZL cos(l 2/) + j Z0 sin(l 2/)

Z0 cos(l 2/) + j ZL sin(l 2/)

在上式中，l是無耗損傳輸線的長度，l 2/是此傳輸線長度與波長相比的角度值（radian）。從上式和圖二中，可以得出下列重要的結論：
(1)如果ZL = Z0，則無論傳輸線的長度大小為何，輸入端阻抗Z或Zin永遠等于特性阻抗Z0。
(2)Z是以/2為單位做周期變化。
(3)正?；斎胱杩梗╪ormalized input impedance）zin=Zin/Z0= 1+Γl/1-Γl，其中，Γl 的振幅與電壓反射系數Γ的振幅一樣，但是相角差2βl（β=2π/λ），l是傳輸線長度。所以，Γl被稱為「相移電壓反射系數（phase-shifted voltage reflection coefficient）」，而且Γl =Γe-j2βl。因此，如果Γ轉換成（transform）Γl，zL就被轉換為zin了，在史密斯圖上的反射系數角位（angle of reflection coefficient in degrees）是以順時鐘方向，隨傳輸線長度l由0最大增加到0.5λ，這個方向上的刻度稱為「波長朝產生器（wavelengths toward generator；WTG）」方向的刻度，有別于逆時鐘方向的「波長朝負載（wavelengths toward load；WTL）」方向的刻度。
(4)在史密斯圖的圓心處劃一個圓，它將和實數軸與虛數軸相交于數個點，每個點與圓心的距離相等，這個圓稱作「常數｜Γ｜圓」；也叫作「駐波率（standing-wave ratio；SWR）圓」，這是因為駐波率S=1＋｜Γ｜/ 1－｜Γ｜。
如果今天已知傳輸線長度l和zL，利用史密斯圖，就可以很快地求出zin。
(5)純電阻窄頻匹配（resistive narrowband match）時，駐波率剛好等于rL和駐波率圓相交的右邊接點Pmax。雖然rL和駐波率圓相交的接點有兩個Pmax和Pmin，但是左邊接點Pmin的rL值小于1，而且駐波率必須大于或等于1，所以Pmin不予考慮。藉由史密斯圖和已知的負載阻抗，就可以很快地求得在傳輸在線最大電壓或最小電流、最小電壓或最大電流的位置。
上述功能，說明了利用史密斯圖就能得到負載的復數阻抗之匹配值。

阻抗（impedance）和導納（admittance）的轉換
在解決某些類型的傳輸線問題時，為求方便起見都使用導納來表示。導納是阻抗的倒數，其數學定義是：Y=1/Z=G+jB，G稱作電導（conductance），B稱作電納。正?；瘜Ъ{y是正常化阻抗z的倒數，所以y=1-Γ/1+Γ。如果在史密斯圖上順時鐘移轉λ /4（互成反方向），zL將轉換成zL。雖然，Y參數（=[Y][V]）的導納和Z參數（[V]=[Z]）的阻抗，都只能代表低頻電路的特性，但是與代表高頻電路特性的S參數（[V-]=[S][V+]）類似的Y參數是由四種導納變數構成的，藉由Y參數（一般是從所測量的S參數轉換而來）可以得到晶體管閘阻抗之值，這在深次微米設計中是非常重要的。S參數是被用來表示射頻微波多端口網絡（multiple network）中多電波的電路特性。

■史密斯圖應用范例
應用上述原理和方法，將一般的50-Ω無耗損傳輸線之一端接有負載阻抗ZL =（25+j50）Ω，使用史密斯圖可以得到：
(1)電壓反射系數：zL= ZL/Z0=（25+j50）/50=0.5+j1，從史密斯圖中可以查出反射系數的相角為83°，用尺可以量得反射系數的振幅為0.62；所以，電壓反射系數Γ= 0.62ej83°。
(2)電壓駐波比（SWR）：使用圓規(guī)在史密斯圖上，以Γ=0為圓心，劃一個圓（駐波率圓）通過0.62ej83°，這個圓和Γr相交在兩點，其中一點的rL值大于1，為4.26，亦即電壓駐波比S=4.26。
(3)距負載最近的最大電壓與最小電壓的位置：最大電壓在駐波率圓和Γr相交的點上，查史密斯圖，此點的位置是0.25λ，負載的位置是0.135λ，所以它和負載的距離是lmax=0.25λ-0.135λ=0.115λ；最小電壓和最大電壓的距離差0.25λ，所以它和負載的距離是lmin=0.115λ+0.25λ=0.365λ。
(4)若此傳輸線長度為3.3λ，可求出其輸入阻抗和輸入導納：3.3λ除以0.5λ后剩余0.3λ，從負載阻抗在史密斯圖上的位置順時鐘移動（WTG）0.3λ，就是輸入阻抗的位置。因此，輸入阻抗的位置是在0.135λ+0.3λ=0.435λ直線上，它與駐波率圓相交于一點，查史密斯圖，此點即是正?；斎胱杩箊in=0.28-j0.4，經轉換可求得輸入阻抗Z in=zinZ0=(0.28-j0.4)*50=(14-j20)Ω；從zin順時鐘移動0.25λ并與駐波率圓相交于一點，可以得到正?；斎雽Ъ{yin=1.15+j1.7，經轉換可求得輸入導納Yin=yinY0=yin/ Z0=(1.15+j1.7)/50=（0.023+j0.034）S（全名為Siemens，是導納的基本計量單位）。

?使用史密斯圖反求負載阻抗
假設：只知道一條50Ω無耗損傳輸線的駐波比S=3，距負載最近的最小電壓位置是5cm，其次是20cm，試求負載阻抗。
解決方法：因為最小電壓的間距為λ / 2，所以，λ = 40cm。距負載最近的最小電壓在史密斯圖上的位置就是5/40=0.125λ。在史密斯圖上劃駐波率圓，半徑為3，此圓與Γr相交于兩點，rL值小于1的點就是距負載最近的最小電壓，在駐波率圓上，從此點逆時鐘移動0.125λ，可以得到負載的正常化阻抗zL=0.6 - j0.8。經轉換后，就可得出負載阻抗ZL=Z0*zL=(30 - j40)Ω。

阻抗匹配
阻抗匹配是電路學里的重要議題，也是射頻微波電路的重點。一般的傳輸線都是一端接電源，另一端接負載，此負載可能是天線或任何具有等效阻抗ZL的電路。傳輸線阻抗和負載阻抗達到匹配的定義，簡單說就是：Z0=ZL。在阻抗匹配的環(huán)境中，負載端是不會反射電波的，換句話說，電磁能量完全被負載吸收。因為傳輸線的主要功能就是傳輸能量和傳送電子訊號或數字數據，一個阻抗匹配的負載和電路網絡，將可確保傳輸到最終負載的電磁能量值能達到最大量。

最簡單的阻抗匹配方法是設計負載電路使其滿足ZL= Z0的條件。可惜這是理想的情況，在設計實務上，因為負載電路必須先滿足其它必需的條件，否則負載電路就無法提供應用所需的性能，這通常都會影響它和傳輸線的阻抗匹配。解決方案是在傳輸線與最終負載之間加入阻抗匹配網絡（impedance-matching network），加入此網絡的目的就是為了減少傳輸線和此網絡之間的電波反射作用。如果阻抗匹配網絡是無耗損的，而且其輸入阻抗ZL等于傳輸線的特性阻抗Z0，則能量將可以透過它全部到達負載端。

阻抗匹配網絡可以由數個集成組件（lumped elements）或具有特定長度和終端方式（短路或開路）的數節(jié)（sections）傳輸線構成。若是使用集成組件，通常是選用電容和電感，而不用電阻，這是為了避免奧姆耗損（ohmic losses）。因為阻抗匹配網絡必須將負載阻抗ZL= RL +jXL的RL、XL分別與傳輸線特性阻抗Z0相對應的電阻與電抗值匹配，為了達到這兩種轉換，它至少需要「兩個調整參數」或「兩個自由度（two degrees of freedom）」。(圖四)是單株短路線（shorted single-stub）阻抗匹配網絡，其等效電路如(圖五)所示。兩個自由度是由圖四中，長度各為d和l的兩節(jié)傳輸線提供的。
　

圖四　單株短路線阻抗匹配網絡
　

因為此單株阻抗匹配網絡是以并聯的方式形成，所以也稱作「分路腳線（shunt stub）」。計算它時，使用導納Y會比使用阻抗Z方便。

其匹配程序是由兩個基本步驟構成的：(1)選定d的長度：藉此將負載導納YL轉換成Yd，Yd = Y0 + jB。(2)選定l的長度：藉此將輸入導納Ys轉換等于-jB。

如圖五所示，因為Yin= Yd+Ys，所以輸入的等效導納Yin= Y0，這就達到阻抗匹配的目的了。簡單地說，阻抗匹配網絡的目的就是要消除輸入阻抗的電抗（reactance）X值。
　

圖五　單株短路線阻抗匹配網絡的等效電路
　

阻抗匹配網絡設計范例
一條50Ω無耗損傳輸線一端連接天線，此天線的阻抗是ZL=（25-j50）Ω，試求單株短路腳線的位置和長度d和l。
解決方法如下：
(1)求得正?；撦d阻抗zL=ZL/Z0=0.5 - j1，在史密斯圖中可以找到zL的位置。
(2)以圓規(guī)在史密斯圖上，以zL的振幅為半徑劃駐波率圓。
(3)在zL相反方向的駐波率圓上，可以找到負載導納yL=0.4+j0.8，它是位于史密斯圖上順時鐘0.115λ直線和駐波率圓相交的點上。
(4)因為yin=Yin/Y0，所以yin必須等于1，才能使Yin= Y0，即yin = ys+yd = 1。史密斯圖上的gL=1圓和駐波率圓相交于兩個點，這兩個點可以求得兩個不同的yd，亦即會有兩組解決方案。查史密斯圖后，可以發(fā)現這兩個點分別是：1+j1.58、1 - j1.58。
(5)當yin = 1+j1.58時，它是在史密斯圖順時鐘0.178λ的位置。d=(0.178-0.115) λ=0.063λ，這就是短路腳線和負載之間的距離。因為yin = ys+yd，所以可以求得ys= -j1.58，位于史密斯圖順時鐘0.34λ的位置上。因為短路的正?；妼恰?，所以，短路腳在線的正?；撦d電導是位于史密斯圖順時鐘0.25λ的位置上，短路腳線到分路點的距離l就等于(0.34-0.25) λ=0.09λ。
(6)同理，當yin = 1- j1.58時，可以求得d=0.207λ、ys= j1.58、l=0.41λ。
雖然，使用離散（discrete）組件也可以達到阻抗匹配的目的，但是當頻率不斷增加或成幾何級數衰減時，傳輸線和腳線（stub）的成本效益比最高。腳線是傳輸線的一小部份，它只是單純地被用來消除輸入電抗，對其它電路組件是無害的。它以兩種身份加入：一是開路ZL=∞、一是短路ZL=0。從前面的Z方程式中可以發(fā)現，當使用開路腳線時，輸入阻抗等于-Z0cot(l*2/)j，這是一個電容；當使用短路腳線時，輸入阻抗等于Z0 tan(l*2/)j，這是一個電感。添加腳線之后，自然就具備了與離散電抗組件（電感和電容）相同的性能，而且效果更好、成本更省。在許多射頻調諧器（RF tuner）、消除電磁干擾（EMI）、天線的電路中，除了常見到離散電抗組件以外，常常還可以看到一些短短一截的腳線，其目的就是要消除輸入電抗，使輸入阻抗和傳輸線的特性阻抗能夠完全匹配。

結語
上面的計算，如今大多數都是使用儀器自動測量，例如：網絡分析儀（network analyzer）、時域反射測量儀（TDR；Time Domain Reflectometry），再經軟件運算求出。雖然如此，身為射頻微波電路設計者必須清楚了解其背后的原理和方法，才能克服隨時可能發(fā)生的特殊傳輸線問題。

傳輸線設計是高頻有線網絡、射頻微波工程、雷射光纖通訊等光電工程的基礎，為了能讓能量可以在通訊網路中無損耗地傳輸，良好的傳輸線設計是重要關鍵。

國內目前有許多原是模擬產品設計制造的業(yè)者，正試圖轉型跨入射頻微波電路的領域，例如：電源供應器、計算機監(jiān)視器、家電、網絡通訊芯片設計等業(yè)者，但是，大都仍然停留在過去必須向國外原廠要參考電路圖的習慣，缺乏如傳輸線設計等基礎技能和獨自開發(fā)設計的經驗，這是業(yè)者必須努力自我提升的地方。