FFT的前世今生

從直觀上講，時(shí)域分析清晰易見，示波器即是進(jìn)行時(shí)域觀察的主要工具，可觀察波形形狀,測量脈寬，相差等信息。但對于信號的進(jìn)一步分析，比如測量各次諧波在所占的比重和能量分布，時(shí)域上的分析就力不從心了，但是利用從連續(xù)時(shí)間傅里葉變換發(fā)展而來的快速傅里葉變換FFT進(jìn)行分析就很有意義了。通信系統(tǒng)中必不可少的要使用頻譜分析技術(shù)，例如頻分復(fù)用技術(shù)。 頻譜分析一般利用快速傅里葉變換FFT計(jì)算頻率譜和功率譜，可直接用來提取特征頻率和譜特征。因?yàn)橛?jì)算機(jī)只能夠處理離散的數(shù)據(jù)點(diǎn)，但FFT是傅里葉變換的一種近似，與傅里葉變換存在差別，且具有固有的局限：柵欄現(xiàn)象。本文就在上一篇《FFT的前世今生》的基礎(chǔ)上，從測試測量的角度，談一談在示波器的FFT運(yùn)算中容易被大家忽略的一些問題。

頻率分辨率與時(shí)基設(shè)置(TimeBase)

頻率分辨率的定義是：在使用FFT運(yùn)算時(shí)，在頻率譜上所能得到的最小的兩個(gè)頻率點(diǎn)間的間隔。

ΔF=Fs/N=1/NT=1/Tp

稱ΔF為頻率分辨率，即：采樣率/采樣點(diǎn)數(shù)，ΔF越小說明頻率分辨率越高。ΔF僅與信號的實(shí)際長度成反比，即待分析的信號持續(xù)時(shí)間越長，ΔF越小，頻率分辨率越高。

柵欄效應(yīng)與頻率分辨率：

示波器輸入的信號一般都為非周期的連續(xù)信號

()axt

，它的頻譜也是連續(xù)的，但是示波器所做的工作

是將 ( ) a x t 進(jìn)行等間隔采樣并且截?cái)?，然后進(jìn)行FFT的運(yùn)算得到一個(gè)離散的頻譜圖，相當(dāng)于對連續(xù)的頻譜圖也進(jìn)行了采樣。這樣有一部分頻譜分量將被“擋在”采樣點(diǎn)之外，就好像我們在通過一個(gè)柵欄觀察頻譜圖，這種現(xiàn)象稱為“柵欄效應(yīng)”。這樣就有可能發(fā)生一些頻譜的峰點(diǎn)或谷點(diǎn)被柵欄所攔住，不可能被我們觀察到。

不管是時(shí)域采樣還是頻域采樣，都有相應(yīng)的柵欄效應(yīng)。只是當(dāng)時(shí)域采樣滿足采樣定理時(shí)，柵欄效應(yīng)不會有什么影響。而頻域采樣的柵欄效應(yīng)則影響很大，“擋住”或丟失的頻率成分有可能是重要的或具有特征的成分，使信號處理失去意義。

柵欄效應(yīng)是制約頻譜分析諧波分析精度的一個(gè)瓶頸。柵欄效應(yīng)在非同步采樣的時(shí)候，影響尤為嚴(yán)重。在非同步采樣時(shí)，由于各次諧波分量并未能正好落在頻率分辨點(diǎn)上，而是落在兩個(gè)頻率分辨點(diǎn)之間。這樣通過FFT不能直接得到各次諧波分量的準(zhǔn)確值，而只能以臨近的頻率分辨點(diǎn)的值來近似代替，這就是柵欄效應(yīng)降低頻譜分析精度的原因。

由此我們可以得出這樣的結(jié)論：減小柵欄效應(yīng)可用通過提高頻譜采樣間隔也就是頻率分辨率的方法來解決。間隔小，頻率分辨率高，被“擋住”或丟失的頻率成分就會越少。但是頻率分辨率的提高會增加采樣點(diǎn)數(shù)，使計(jì)算工作量增加。

我們可以通過兩種方式增加頻率分辨率：

a：物理分辨率=采樣頻率/采樣點(diǎn)數(shù)。

物理分辨率的實(shí)際意義在于它可以衡量FFT實(shí)際上可以區(qū)分的頻率分量的間隔。提高物理分辨率的方法一般是通過增加數(shù)據(jù)的有效長度，這相當(dāng)于在模擬域增加了矩形窗的寬度。從而在模擬域減小了sinc主旁瓣寬度，減小了相鄰頻率分量的混疊。

這種增加采樣點(diǎn)的方法主要針對無限長序列的FFT計(jì)算。對于無限長序列，不像有限長序列那樣必須補(bǔ)零來提高視在分辨率，無限長序列可以通過增加數(shù)據(jù)長度來提高物理分辨率。

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b：視在分辨率=采樣頻率/分析點(diǎn)數(shù)

在序列尾部補(bǔ)零的方法可以使得分析點(diǎn)數(shù)增大，故補(bǔ)零的方法可以提高頻譜的視在分辨率。對序列的尾部補(bǔ)零的方法主要針對有限長序列。對于有限長序列，有時(shí)只能用補(bǔ)零或者插值來改善頻率分辨率。通過補(bǔ)零處理，使得頻域采樣密度增大，得到高密度譜。補(bǔ)零的方法所得到的頻譜圖所改善的只是圖形的視在分辨率，并不能得到頻譜的更多細(xì)節(jié)。

增加采樣點(diǎn)數(shù)，增加了輸入序列的階次，從而提供頻譜的更多細(xì)節(jié)，這是真正的分辨率(物理分辨率)。對序列只補(bǔ)零而不增加數(shù)據(jù)，輸入序列和它的頻譜階次依舊沒有提高，只是把頻譜畫的密一些，所以改善的只是圖形的視在分辨率，并不能得到頻譜的更多細(xì)節(jié)。增加序列的長度能夠改善頻譜的真正分辨率，這是基本的規(guī)律。

上面的討論可知，改善分辨率的具體方法有如下兩種

(1)對有限長序列采取尾部補(bǔ)零的方法提高視在分辨率

(2)對無限長序列通過真正增加采樣點(diǎn)來提高物理分辨率

有限長序列和無限長序列是針對實(shí)際信號來說的，例如非周期的但是包含無限長信息的信號可以稱為無限長序列，嚴(yán)格的周期信號和脈沖信號(脈沖之前和之后無限長時(shí)間內(nèi)都是無效信息)都可以稱為有限長序列，當(dāng)然實(shí)際上嚴(yán)格的周期信號是不存在的。對于示波器來說，時(shí)間窗口內(nèi)采集到的可以是有限長序列的全部信息或者是無限長序列的一部分信息。所以，如果采集到的是有限長序列的全部信息，那么只能通過補(bǔ)零的方式增加視在分辨率，如果采集到的是無限長序列的一部分信息，那么可以通過增加時(shí)間窗口的長度(不是采樣點(diǎn))來增加物理頻率分辨率。