線性電路分析——節(jié)點(diǎn)法詳析

一． 定義
以獨(dú)立節(jié)點(diǎn)電位為待求變量，根據(jù)KCL對(duì)各獨(dú)立節(jié)點(diǎn)KCL約束方程，而對(duì)電路進(jìn)行分析的方法稱為節(jié)點(diǎn)電位法，簡(jiǎn)稱節(jié)點(diǎn)法。獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)等于獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即(n-1)個(gè)。非獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的電位取零，稱為參考節(jié)點(diǎn)，也稱接地，并用符號(hào)┴ 。節(jié)點(diǎn)法對(duì)平面網(wǎng)絡(luò)與立體網(wǎng)絡(luò)均適用。 二． 獨(dú)立節(jié)點(diǎn)電位變量的完備性與獨(dú)立性
獨(dú)立節(jié)點(diǎn)電位變量的完備性是指電路中所有的支路電壓，都可由獨(dú)立節(jié)點(diǎn)電位求得。例如圖3-5-1所示電路，它有四個(gè)節(jié)點(diǎn)，五個(gè)支路電流。對(duì)四個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)如圖中所示，并取節(jié)點(diǎn)(1)(2)(3)(4)為參考節(jié)點(diǎn)，即取節(jié)點(diǎn)(4)的電位φ4=0，則節(jié)點(diǎn)(1),(2),(3)即為獨(dú)立節(jié)點(diǎn)。設(shè)它們的電位分別為φ1，φ2，φ3。今若φ1，φ2，φ3已知，則各支路電壓即均可求得為：

圖3-5-1 節(jié)點(diǎn)法 可見獨(dú)立節(jié)點(diǎn)電位變量具有完備性。
獨(dú)立節(jié)點(diǎn)電位變量的獨(dú)立性是指各獨(dú)立節(jié)點(diǎn)電位之間不受KVL約束，彼此獨(dú)立，不能互求。例如對(duì)外網(wǎng)孔回路，我們可KVL方程
即 　　　　　φ1-φ3+φ3-φ4+φ4-φ1=0
即　　　　　　0=0
此式恒為一等式，即不管φ2, φ3, φ4為何值都恒成立。對(duì)其它回路也能得到同樣結(jié)果。所以，獨(dú)立節(jié)點(diǎn)電位變量具有獨(dú)立性。
由于獨(dú)立節(jié)點(diǎn)電位變量具有完備性與獨(dú)立性，所以可作為電路分析的變量。
三． 獨(dú)立節(jié)點(diǎn)KCL約束方程的列寫與求解
在圖3-5-1所示電路中，設(shè)各支路電流的大小和參考方向如圖中所示。于是對(duì)三個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)可列出方程：
此方程組稱為獨(dú)立節(jié)點(diǎn)電流約束方程，簡(jiǎn)稱節(jié)點(diǎn)方程。解此方程組即可得各獨(dú)立節(jié)點(diǎn)電位φ1，φ2，φ3。
在式（3-5-4）中，令G11=G1+G5，G22=G1+G2+G3，G33=G3+G4+G5，它們分別為節(jié)點(diǎn)(1)，(2)，(3)的自電導(dǎo)，為正值；令G12=G21=-G1，G13=G31=-G5，G23=G32=-G3;G12，G21均稱為節(jié)點(diǎn)(1)與節(jié)點(diǎn)(2) 互電導(dǎo)，G13，G31均稱為節(jié)點(diǎn)(1)與節(jié)點(diǎn)(3)的互電導(dǎo)，G23，G32均稱為節(jié)點(diǎn)(2)與節(jié)點(diǎn)(3)的互電導(dǎo)?；ル妼?dǎo)為負(fù)值。令is11= is1，is22=0，is33=- is4，它們分別為流入各該節(jié)點(diǎn)的電流源電流的代數(shù)和，流入節(jié)點(diǎn)者取+號(hào)，流出節(jié)點(diǎn)者取-號(hào)。這樣式（3-5-4）即可寫為

可見節(jié)點(diǎn)方程的列寫也是很有規(guī)律的。
將上式寫成矩陣形式即為：

即 GΦ=in （3-5-7）

稱為節(jié)點(diǎn)電導(dǎo)矩陣，為一對(duì)稱陣：

為獨(dú)立節(jié)點(diǎn)電位列向量；

為節(jié)點(diǎn)電流源電流列向量。式（3-5-6）或（3-5-7）即為矩陣形式的節(jié)點(diǎn)方程。 求解式（3-5-7）得： Φ=G‾¹in （3-5-8）

四． 支路電壓與支路電流的求解
將所求得的φ1，φ2，φ3代入式（3-5-1）即可求得各支路電壓。在求支路電流時(shí)，同樣應(yīng)先設(shè)定它們的大小和參考方向橫。若設(shè)定4各支路電流的大小和參考方向如圖3-5-1中所示，則即可根據(jù)式（3-5-3）求得各支路電流。
五． 節(jié)點(diǎn)法的一般步驟
（1）.畫出電路圖。
（2）.選取參考節(jié)點(diǎn)，并設(shè)定各獨(dú)立節(jié)點(diǎn)電位的大小和正負(fù)性，一般都是取各獨(dú)立節(jié)點(diǎn)為+極端，參考接點(diǎn)為-極端。
（3）.對(duì)各獨(dú)立節(jié)點(diǎn)列寫KCL約束方程，方程個(gè)數(shù)與獨(dú)立節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)相等。
（4）.聯(lián)立求解KCL約束方程組，即可得各獨(dú)立節(jié)點(diǎn)電位。
（5）.設(shè)定各支路電流的大小和參考方向，根據(jù)所求得的獨(dú)立節(jié)點(diǎn)電位，即可求得各支路電壓和支路電流。至此，求解工作即告完畢。
最后要指出的是，節(jié)點(diǎn)法的應(yīng)用極為廣泛。這是因?yàn)椋海?）它既適用與平面網(wǎng)絡(luò)，也適用與非平面網(wǎng)絡(luò)；（2）在實(shí)際電路中，其獨(dú)立節(jié)點(diǎn)數(shù)往往要比網(wǎng)孔數(shù)少。
例3-5-1 列出圖3-5-3（a）所示電路的節(jié)點(diǎn)方程并求解

圖3-5-3 例3-5-1的電路

解：該電路的特點(diǎn)是在其中的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間有一2V的理想電流源，無(wú)法將它等效變換為電流源。對(duì)與此種電路，若選電壓源的一端（例如負(fù)端）作為參考接點(diǎn)，則電壓源另一端的電位即為已知，即φ1=2V
這樣，該電路就只有兩個(gè)未知的節(jié)點(diǎn)電位φ2和φ3。對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)方程為

代入數(shù)據(jù)，聯(lián)立求解以上三式即得 φ1 =2V，φ2=1.5V, φ3=0.5V.
但若選參考節(jié)點(diǎn)如圖3-5-3(b)所示，則由于三個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)電位φ1，φ2，φ3均為未知，故必須對(duì)三個(gè)對(duì)立節(jié)點(diǎn)列出方程，且應(yīng)設(shè)定流過電壓源中的電流大小為i0與參考方向，如圖3-5-3（b）中所示。于是可列出方程為

聯(lián)解得 1=2.5V,φ2=2V, φ3=0.5V, i0=3A.